畢業(yè)論文數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國(guó)二等獎(jiǎng)?wù)撐?docVIP

輸油管的布置摘要：針對(duì)兩煉油廠(chǎng)到鐵路線(xiàn)的距離和兩煉油廠(chǎng)間的距離等各種不同情形，分析了車(chē)站與兩煉油廠(chǎng)三者間的關(guān)系，建立了管道建設(shè)費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型。在問(wèn)題一中，建立了四種不同情形下鋪設(shè)管線(xiàn)費(fèi)用最省的方案，利用費(fèi)爾馬點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)的不同費(fèi)用，建立了關(guān)于總費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系式。在問(wèn)題二中，利用第一問(wèn)建立的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合問(wèn)題二的題設(shè)，在計(jì)算城區(qū)管線(xiàn)附加費(fèi)用時(shí)，利用求解加權(quán)平均數(shù)建立了新的函數(shù)關(guān)系式；在問(wèn)題三中，根據(jù)實(shí)際需要，結(jié)合管線(xiàn)費(fèi)用的不同，又建立了相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，解出了最省費(fèi)用時(shí)管線(xiàn)的布置方案。關(guān)鍵詞：管道建設(shè)，最短距離，費(fèi)爾馬點(diǎn)一、 問(wèn)題的重述要在鐵路線(xiàn)的一側(cè)建造兩家煉油廠(chǎng)，同時(shí)在此鐵路線(xiàn)上增建一個(gè)車(chē)站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，于是我們需要建立管線(xiàn)建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。1.針對(duì)兩煉油廠(chǎng)到鐵路線(xiàn)距離和兩煉油廠(chǎng)間距離的各種不同情形，建立管線(xiàn)建設(shè)的設(shè)計(jì)方案。在計(jì)算費(fèi)用時(shí)，還要考慮共用管線(xiàn)費(fèi)用與非共用管線(xiàn)費(fèi)用相同或不同的情形；2.兩煉油廠(chǎng)的具體位置如圖所示，其中A廠(chǎng)位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠(chǎng)位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線(xiàn)用圖中的虛線(xiàn)表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。若所有管線(xiàn)的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元（鋪設(shè)在城區(qū)的管線(xiàn)還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用）， 要求設(shè)計(jì)管線(xiàn)布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用；注：聘請(qǐng)的三家工程咨詢(xún)公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）對(duì)此附加費(fèi)用的估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢(xún)公司公司一公司二公司三 附加費(fèi)用（萬(wàn)元/千米）2124203. 在該實(shí)際問(wèn)題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠(chǎng)的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線(xiàn)鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠(chǎng)成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠(chǎng)成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線(xiàn)費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上。設(shè)計(jì)出管線(xiàn)最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。二、 問(wèn)題分析本文主要研究如何布置輸油管及確定相應(yīng)的車(chē)站位置，使得總建設(shè)費(fèi)用最少。我們把兩煉油廠(chǎng)及車(chē)站的連線(xiàn)看成一個(gè)三角形，當(dāng)共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)的價(jià)格相同時(shí)，要使建設(shè)費(fèi)用最省，我們只要使得兩煉油廠(chǎng)到車(chē)站的距離和最小。我們利用費(fèi)爾馬點(diǎn)及相關(guān)性質(zhì)，針對(duì)兩煉油廠(chǎng)到鐵路線(xiàn)的距離和兩煉油廠(chǎng)間距離的各種不同情形設(shè)計(jì)出了相應(yīng)的費(fèi)用最省的管道鋪設(shè)方案。當(dāng)共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)的價(jià)格不同時(shí)，我們可以建立總費(fèi)用（P）與管道接點(diǎn)到鐵路線(xiàn)的距離（h）、管道接點(diǎn)到A煉油廠(chǎng)的距離（t）之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式 進(jìn)而求出費(fèi)用最省時(shí)的h與t值，也就確定了此時(shí)費(fèi)用最省的輸油管的布置。針對(duì)城區(qū)管道的鋪設(shè)需要增加額外費(fèi)用，我們可以建立總費(fèi)用（P）與費(fèi)爾馬點(diǎn)到鐵路線(xiàn)的距離（h）之間的函數(shù)關(guān)系式P（h）=令，可計(jì)算出相應(yīng)的費(fèi)用最省時(shí)的h的值（1.854），再將其代入函數(shù)關(guān)系式，計(jì)算出最省的費(fèi)用Pmin(282.6948 )。當(dāng)管線(xiàn)鋪設(shè)費(fèi)用分別降為輸送A廠(chǎng)成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠(chǎng)成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線(xiàn)費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元時(shí)，利用同上的方法求出相應(yīng)的總費(fèi)用P與費(fèi)爾馬點(diǎn)到鐵路線(xiàn)的距離（h）的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出相應(yīng)的最省費(fèi)用時(shí)的h與費(fèi)用Pmin。三、 模型假設(shè)與約定1. 假設(shè)公司一的加權(quán)平均數(shù)為0.5，公司二、三的加權(quán)平均數(shù)均為0.25；2. 假設(shè)管道交接處不需額外費(fèi)用；3. 假設(shè)每一段管線(xiàn)都為直線(xiàn)；4. 忽略管線(xiàn)鋪設(shè)過(guò)程中造成的非預(yù)期費(fèi)用。四、 符號(hào)說(shuō)明及名詞定義費(fèi)爾馬點(diǎn)：到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)頂角不超過(guò)120度的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120度的點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)頂角超過(guò)120度的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)就是最大的內(nèi)角的頂點(diǎn)。L 表示煉油廠(chǎng)間距 Pn 表示總費(fèi)用 A 表示煉油廠(chǎng)一 B 表示煉油廠(chǎng)二M 表示火車(chē)站位置 a 表示煉油廠(chǎng)一到鐵路線(xiàn)的距離Sn 表示鋪設(shè)管線(xiàn)長(zhǎng)度 n=1,2,3 表示城區(qū)管線(xiàn)每千米所需費(fèi)用 b 表示煉油廠(chǎng)二到鐵路線(xiàn)的距離 p 表示每千米非共用管線(xiàn)的費(fèi)用kp 表示每千米共用管線(xiàn)和附加費(fèi)用的總和 （k1）五、 模型建立與求解問(wèn)題一的模型：1.當(dāng)共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)費(fèi)用相同時(shí)：要使得總費(fèi)用最省，只須使得兩煉油廠(chǎng)到車(chē)站的距離和最小，因此我們可以把兩煉油廠(chǎng)與車(chē)站的連線(xiàn)看成三角形，用費(fèi)爾馬點(diǎn)來(lái)確定最短距離。但由于兩煉油廠(chǎng)間的距離及它們到鐵路線(xiàn)的距離是不確定的，因而會(huì)出現(xiàn)以下幾種情型：當(dāng)，時(shí)，如圖2，點(diǎn)D( x ，0)，使得。 解得：x=當(dāng)車(chē)站建在D的左側(cè)時(shí)，根據(jù)費(fèi)爾馬點(diǎn)定義可知A為費(fèi)爾馬點(diǎn)，當(dāng)車(chē)站位于M點(diǎn)時(shí)所需鋪設(shè)的管線(xiàn)長(zhǎng)度最小(如圖3)，最小長(zhǎng)度為S1：S1=AB+AC= ，此時(shí)對(duì)應(yīng)的費(fèi)用為當(dāng)車(chē)站建在D的右側(cè)時(shí)，根據(jù)費(fèi)爾馬點(diǎn)定義找出費(fèi)爾馬點(diǎn)O，由鐵路線(xiàn)與A，B兩煉油廠(chǎng)及費(fèi)爾馬點(diǎn)的關(guān)系，如圖。當(dāng)O在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由費(fèi)爾馬點(diǎn)定義可知，費(fèi)爾馬點(diǎn)必在弧AB上運(yùn)動(dòng)，則最短距離為：Smin=OA+OB+OM 解得：o1=m1 ， 所以車(chē)站建在費(fèi)爾馬點(diǎn)正下方時(shí)距離和最小。 S2=OA+OB+OM OA= OB= OM=x解得：S2= ，最省費(fèi)用為P2= 綜合、，則最短距離Smin=min S1，S2 ，最省費(fèi)用為Pmin=min P1，P2 當(dāng)，時(shí)，此時(shí)最短距離同上車(chē)站建在D右側(cè)，即S3=S2= ， 最省費(fèi)用為 當(dāng)L=0，此時(shí)車(chē)站在A、B的正下方C處，則最短距離Smin=b，最省費(fèi)用為P4= (如圖5) 當(dāng)時(shí)，此時(shí)車(chē)站位于AB之間距離最短Smin=L，最省費(fèi)用為P5= (如圖6)2.當(dāng)共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)費(fèi)用不同時(shí)，令非共用管線(xiàn)的價(jià)格為p，共用管線(xiàn)的價(jià)格為kp(k1)，如圖7，設(shè)管線(xiàn)交接點(diǎn)O(t，h)。則建立函數(shù)關(guān)系： P(h,t)= 解得：令 =0=0解得h= 2/(b2-4*b*h+2*b*a+a2-4*a*h+L2+4*h2)(1/2)*(a-2*h+b)*P t= L*(a-h)/(a-2*h+b)問(wèn)題二的模型： 由于II區(qū)域需付附加費(fèi)，因此要盡量使在II區(qū)域內(nèi)的管線(xiàn)短些。但在II區(qū)域的管線(xiàn)變短的過(guò)程中，I區(qū)域的管線(xiàn)則變長(zhǎng)了。根據(jù)第一問(wèn)的分析，我們可知在I區(qū)域時(shí)，距離最短。如圖7；則鋪設(shè)管線(xiàn)的總費(fèi)用：P=P1+P2p=7.2 解得總費(fèi)用： P=P1+P2 = 令，即解得x=0.063，h=1.854則當(dāng)h=1.854時(shí)費(fèi)用最少，Pmin=282.6948 S1 = 6.292 S2 = 12.166 S3 =5.0004管線(xiàn)布置方案如圖7乙所示：?jiǎn)栴}三的模型：當(dāng)管線(xiàn)鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠(chǎng)成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠(chǎng)成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線(xiàn)費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上時(shí)，總費(fèi)用解得令 ，得h=1.80232此時(shí)最小費(fèi)用為Pmin=253.492293六、 模型檢驗(yàn)及改進(jìn)模型的檢驗(yàn)問(wèn)題二模型檢驗(yàn) 問(wèn)題三模型的檢驗(yàn)hP1290.3451.5284.0681.854282.69482282.9352.5287.448hP1259.73291.5254.27331.80232253.49232253.74012.5260.3487模型的改進(jìn)由于在實(shí)際操作過(guò)程中，難免會(huì)產(chǎn)生材料的損失等其他費(fèi)用，因此我們應(yīng)在模型后加上一個(gè)額外費(fèi)用（Q）問(wèn)題二的模型應(yīng)改為：P=P1+P2 = +Q問(wèn)題三的模型應(yīng)該為：+Q參考文獻(xiàn)：1 姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003；2 劉鵬林，林元重，黃清蘭，高等數(shù)學(xué)（上），北京：高等教育出版社，2010；3 萬(wàn)福永，戴浩暉，潘建瑜，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教程（Matlab），北京：科學(xué)出版社，2006；附錄：圖像： 編程：?jiǎn)栴}一：syms a h t L bE1=sym(-P*(a-h)/(a-h)2+t2)(1/2)+(b-h)/(b-h)2+(L-t)2)(1/2)+kp=0)E2=sym(P*t/(a-h)2+t2)(1/2)-P*(L-t)/(b-h)2+(L-t)2)(1/2)=0);h,t=solve(E1,E2)問(wèn)題二：syms a b L x;E1=sym(sqr(3)*(a-x)+sqr(3)*(b-x)-L=0);x=solve(E1);OA=2*(a-x);OB=2*(b-x);OM=x;S2=OA+OB+OMsyms x h L;S1=2*(5-h);S2=2*(8-x-h);S3=(25+x2)(1/2);E1=(3(1/2)*(5-L)+3(1/2)*(8-x-h)=15);P=solve(S1*5.6+S2*6+S3*27.5)syms p h;E1=sym(28.7*2*(-2)*(13-5*1.732-2*h)/(2*(25+(13-5*1.732-2*h)2)(1/2)+7.2 =0);h=solve(E1)問(wèn)題三syms x h t;E1=sym(5.6*x/(5-h)2+x2)(1/2)=6*(15-x)/(15-x)2+(8-t-h)2)(1/2);E2=sym(5.6*(5-h)/(5-h)2+x2)(1/2)+6*(8