第二章課程---《抽樣調查基本原理》.docx

第二章 抽樣調查基本原理第一節(jié) 有關基本概念一、總體總體也叫母體，它是所要認識對象的全體，是具有同一性質的許多單位的集合。組成總體的每個個體叫做單位。總體可以是有限的，也可以是無限的。如果總體中所包含個體的數(shù)目為有限多個，則該總體就是有限總體，反之是無限總體。總體也可區(qū)分成計量總體(由測量值組成的)和計數(shù)總體(由品質特征組成的)。在抽樣以前，必須根據(jù)實際情況把總體劃分成若干個互不重疊并且能組合成總體的部分，每個部分稱為一個抽樣單元，不論總體是否有限，總體中的抽樣單元數(shù)一定是有限的，而且是已知的，因此說抽樣調查的總體總是有限的。抽樣單元又有大小之分，一個大的抽樣單元可以分成若干個小的抽樣單元，最小的抽樣單元就是每一個個體。如一項全國性的調查，如果把省作為一級單元，則可以把縣作為二級單元，鄉(xiāng)作為三級單元，村作為四級單元等等。又如在流動人口抽樣中，可以以居委會作為抽樣單元，而在家計調查中，則以戶為抽樣單元?？傮w應具備同質性、大量性和差異性的特征。在抽樣調查中，通常將反映總體數(shù)量特征的綜合指標稱為總體參數(shù)。常見的總體參數(shù)主要有：1.總體總和Y：例如全國人口數(shù)。Y=yi=y1+y2+yN2.總體均值：例如職工平均工資。=Y/N=yi /N3.總體比率R：是總體中兩個不同指標的總和或均值的比值。如總收入與總支出之比。R=Y/X=/4.總體比例P：是總體中具有某種特性的單元數(shù)目所占比重。如產(chǎn)品的合格率。二、樣本樣本是由從總體中所抽選出來的若干個抽樣單元組成的集合體。抽樣前，樣本是一個n維隨機變量，屬樣本空間；抽樣后，樣本是一個n元數(shù)組，是樣本空間的一個點。樣本是總體的縮影，是總體的代表。抽樣的效果好不好，依賴于樣本對總體是否有充分的代表性。樣本的代表性愈強，用樣本指標對總體全面特征的推斷就愈精確，即推斷的誤差就愈??；反之，如果樣本的代表性愈弱，推斷的誤差就愈大，推斷結果就愈不可靠。如何增強樣本的代表性，使其能達到估計或推斷的預期效果，就必須分析影響樣本代表性的因素，以便加強控制。一般情況下，影響樣本代表性的因素有以下幾個方面：(1)總體標志值分布的離散程度。若總體標志值的分布很集中，即平均離散程度(標準差)很小，從中任抽部分單元做樣本，樣本特征很近似于總體特征，樣本的代表性就強；反之，如果標志值的分布很分散，即平均離散程度很大，從中抽取樣本單元的隨機波動也很大，必將影響樣本的代表性。(2)抽樣單元數(shù)的多少(或稱樣本容量的大小)。抽樣單元數(shù)的多少，影響樣本對總體的代表性。一般說來，樣本容量以大為好，但要根據(jù)實際情況，以掌握適度為宜，要在保證一定可靠程度的情況下，盡可能滿足及時性和經(jīng)濟性的要求，取得好的效益。(3)抽樣方法。抽樣方法一般分為放回抽樣和不放回抽樣。放回抽樣也叫重置抽樣，或重復抽樣。它是在總體N個單元中隨機抽取n個單元時，每次抽取一個單元進行記錄后又放回原來的總體，參加下一個單元的抽取，即下一個單元仍然在原來的全部抽樣單元中抽取，依此類推，直到抽足所需單元數(shù)為止，因而同一個抽樣單元有被重復抽中的可能。不放回抽樣也叫不重置抽樣，或不重復抽樣。它是在每次抽取一個新的單元之前，將已抽中的單元不再放回原來的總體，下一個單元的抽取在剩余的抽樣單元中進行，依次類推，直到抽足所需單元數(shù)為止，因而每個抽樣單元最多只能被抽中一次，不可能重復被抽中。放回抽樣與不放回抽樣相比，不放回抽樣的樣本代表性優(yōu)于放回抽樣。因為放回抽樣中，有些單位有被重復抽取的可能，從而使樣本單元數(shù)在總體中的散布面縮小，樣本的代表性減弱，故在實際工作中常采用不放回抽樣。有鑒于此，在本書以后內容中，如沒有特別的聲明，則一般只涉及不放回抽樣。理解了不放回抽樣的方法及有關內容，也就容易理解和掌握放回抽樣的方法。以上三種影響因素中，第一個因素即離散程度的大小，是由事物內部和外部聯(lián)系決定的，是客觀性的因素，人們只能認識了解，不能調節(jié)控制。第二、三兩因素是人們可以選擇和控制的，為主觀因素，只要掌握和控制了這兩個因素，在一定程度上，人們也就能控制樣本的代表性，以期達到抽樣數(shù)目盡可能小，使估計和推斷結論達到預定的精確程度和可靠程度的要求。另外，等概率抽樣與不等概率抽樣相比，以不等概率抽樣的樣本代表性較等概率抽樣為好。一般將反映樣本數(shù)量特征的綜合指標稱之為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量是n元樣本的一個實值函數(shù)，是一個隨機變量，統(tǒng)計量的一個具體取值即為統(tǒng)計值。主要的樣本統(tǒng)計量有：1.樣本總和y：y=yi=y1+y2+yn2.樣本均值：=y/n=yi /n3.樣本比率r：r=y/x=/4.樣本比例p：是樣本中具有某種特性的單元數(shù)目所占比重。三、必要樣本容量和樣本可能數(shù)目樣本中包含的抽樣單元個數(shù)稱為樣本容量，又稱樣本含量或樣本大小(后面還要進一步討論關于必要樣本容量的問題)?？傮w中所含抽樣單元個數(shù)稱為總體容量，樣本容量與總體容量之比為抽樣比，用f表示，即f=n/N。樣本可能數(shù)目則是在容量為N的總體中抽取容量為n的樣本時，所有可能被抽中的不同樣本的個數(shù)。用A表示。當N和n一定時，A的多少與抽樣方法有關，其計算方法列表如下：抽樣方法放回抽樣不放回抽樣考慮順序不考慮順序正確理解樣本可能數(shù)目的概念，對于準確理解和把握抽樣誤差的計算、樣本統(tǒng)計量的抽樣分布、抽樣估計的優(yōu)良標準等一系列理論和方法問題都有十分重要的幫助。四、抽樣框抽樣框是在抽樣前，為便于抽樣工作的組織，在可能條件下編制的用來進行抽樣的、記錄或表明總體所有抽樣單元的框架，在抽樣框中，每個抽樣單元都被編上號碼。抽樣框可以是一份清單(名單抽樣框)、一張地圖(區(qū)域抽樣框)。在與時間有關的調查中，也可以按時間先后順序排列總體中的單元，這樣得到的抽樣框稱為時序抽樣框。抽樣框是設計實施一個抽樣方案所必備的基礎資料，一旦某個單元被抽中，也需依抽樣框在實際中找到這個單元，從而實施調查。編制抽樣框是一個實際的、重要的問題，因此必須要認真對待。一般而言，如果總體中的每個元素在清單上分別只出現(xiàn)一次，且清單上又沒有總體以外的其他元素出現(xiàn)，則該清單就是一個完備的抽樣框。在完備的抽樣框中，每個元素必須且只能同一個號碼對應。但是，在實際中，完備的抽樣框是很少見的，我們常?？赡鼙仨毷褂靡恍┯袊乐厝毕莸某闃涌?，而又必須發(fā)現(xiàn)這些缺陷并加以補救，在這一過程中，可以充分體現(xiàn)出抽樣的藝術性。常見的抽樣框問題可以概括為四種基本類型：(1)缺失一些元素，即抽樣框涵蓋不完全；(2)多個元素對應一個號碼；(3)空白(一些號碼沒有與之對應的元素)或存在異類元素；(4)重復號碼，即一個元素對應多個號碼。抽樣框存在缺陷時，我們首先想到的是如何去避免上述問題：如果已知由這此問題引起的誤差比其他原因產(chǎn)生的誤差小，并且糾正起來又花費太大的話，可以忽略不管，但在描述樣本時，應對此加以說明；重新定義總體以適應抽樣框；改正整個總體清單，也即找出全部缺失元素、分開每一個群、清除所有的空白和異類元素、刪掉重復號碼。當上述方法不能有效利用時，就應該采取其它一些補救措施來抵消抽樣框中存在的缺陷。對此問題的進一步討論將在第十一章進行。第二節(jié) 樣本統(tǒng)計量的抽樣分布標準的統(tǒng)計問題為：總體未知，故需從總體中抽取一個較小的、花費不多的隨機樣本，然后構造樣本統(tǒng)計量，并以其估計總體。問題是用樣本指標估計總體指標的可靠程度如何?為此要研究樣本統(tǒng)計量的抽樣分布。在此之前，有必要先回顧一下有關正態(tài)分布的知識。一、正態(tài)分布如果總體各個體的標志值以總體平均數(shù)為中心，形成鐘型對稱分布，其分布曲線向兩側擴展，逐漸向橫軸逼近，無限延伸出去，但不接觸橫軸，則這種分布就叫做正態(tài)分布，或高斯分布、常態(tài)分布。服從正態(tài)分布的總體稱為正態(tài)總體。正態(tài)分布是由德國數(shù)學家高斯(Carl Friedrich Gauss 17771855)首先發(fā)現(xiàn)的，故此得名。一個正態(tài)分布完全由總體的理論平均數(shù)和理論方差這兩個參數(shù)所決定。其數(shù)學特征為：如果一個隨機變量X服從正態(tài)分布，則其分布的密度函數(shù)(分布曲線方程)為：，（ -x）式中：和2分別為隨機變量X的數(shù)學期望和方差，3.1416，e為自然對數(shù)的底，e2.7183。當=0,2=1時，稱該分布為標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布的密度函數(shù)為，（ -x5,n(1-p)5)時，則樣本成數(shù)P趨于服從正態(tài)分布，其平均數(shù)為p，方差為。因此，標準隨機變量趨于服從標準正態(tài)分布。(二)樣本統(tǒng)計量的精確分布1、2分布設隨機變量YiN(0,1)(i=1,2,，n),且相互獨立，則Y=Y2i服從自由度為n的2分布，記作Y2(n)。2分布的概率密度函數(shù)為式中n是正整數(shù)，(n/2)是(伽馬)函數(shù)當y=n/2時的函數(shù)值。2分布的主要性質有：f(y)恒為正；2分布呈右偏形態(tài)；2分布隨n的不斷增大而逐漸趨于正態(tài)分布?？梢宰C明，2分布2(n)的數(shù)學期望和方差分別為EY=n, DY=2n.2、t分布若XN(0，1)，Y2(n)，且X與Y相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的t分布，記作：Tt(n)。由此也可以推論出關于t分布的如下定義方式：若XN(，2)，2未知，則服從自由度為n-1的t分布，記作：Tt(n-1),其中：。t分布t(n)的概率密度函數(shù)為t分布具有如下性質：t分布對稱于縱軸，與N(0，1)相似；在n30(小樣本)時，t分布的方差大于N(0，1)的方差；在n30(大樣本)時，t分布隨n的增大而趨于N(0，1)?？梢宰C明，t分布t(n)的數(shù)學期望與方差分別為ET=0，DT=n/(n-2).(n2)3、F分布若X2(n1)，Y2(n2)，且X與Y相互獨立，則稱隨機變量服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，記作：FF(n1,n2)。如果XF(n1,n2),則其概率密度函數(shù)為F分布的主要性質有：F分布呈右偏態(tài)；f(x)恒為正；在處取最大值(n12，f01)；隨n1,n2的不斷增大，F(xiàn)分布的右偏程度逐漸減弱，但不會趨向正態(tài)；具有倒數(shù)性質，即若XF(n1,n2)，則1/XF(n1,n2)；若tt(n),則t2(n)F(1,n)。若XF(n1,n2),則其數(shù)學期望和方差分別為第三節(jié) 抽樣誤差一、抽樣調查中的誤差來源誤差就是調查結果與現(xiàn)象的實際結果之間的偏差，它幾乎在所有的統(tǒng)計調查中都或大或小的存在著。在抽樣調查中，按照形成原因的不同，一般可將誤差分成抽樣誤差和非抽樣誤差兩大類。抽樣誤差是用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)時的誤差，它屬于一種代表性誤差。抽樣調查是用樣本來估計總體，對任何一種抽樣方案，可能的樣本會有許多，而實際抽到的只是其中的一個樣本，在概率抽樣中，哪個樣本會被抽到完全是隨機的，抽到的樣本不同，則對總體的估計就可能不同，這就是抽樣誤差產(chǎn)生的根本原因。因此，在抽樣調查中抽樣誤差是不可避免的。但同非抽樣誤差不同的是，抽樣誤差可以計算，并且可以被控制在任意小的范圍內。抽樣誤差通常會隨樣本量的大小而增減。在某些情形下，抽樣誤差與樣本量大小的平方根成反比關系，即在開始階段抽樣誤差隨樣本量的增加而迅速減少，但在一定階段后，這種趨勢便趨于穩(wěn)定。這表明，在經(jīng)過一定階段后，再努力減少抽樣誤差通常是不合算的。所以過了這個階段只要稍微降低一點精度，就可以省下可觀的費用。普查的目的不過是想使抽樣誤差降低為零，要是允許存在誤差，當然就值得用抽樣調查。另外，影響抽樣誤差的因素還有：所研究現(xiàn)象總體變異程度的大小，一般而言，總體變異程度越大，則抽樣誤差可能越大；抽樣的方式方法，如放回抽樣的誤差大于不放回抽樣，各種不同的抽樣組織方式也常會有不同的抽樣誤差。在實際工作中，樣本量和抽樣方式方法的影響是可以控制的，總體變異程度雖不可以控制，但卻可通過設計一些復雜的抽樣技術而將其影響加以控制。非抽樣誤差不是由于抽樣引起的。它又包括調查誤差、無回答誤差、抽樣框誤差以及登記性誤差。它在各種統(tǒng)計調查中都可能會存在。調查誤差是調查所得的觀測值與被調查單元真值不一致所造成的誤差。造成這類誤差的原因可能是測量手段(或儀器)不完善，也可能是被調查者記憶不準確，或對所調查內容缺乏全面了解或不愿意如實回答等。無回答誤差是因樣本中的一部分單元或一部分項目的資料沒有調查到，致使實際樣本較設計樣本縮小而引起的誤差。其產(chǎn)生原因有被調查者拒絕回答問題，或者正好缺乏所需要的信息，或者找不到被抽中的單元等。抽樣框誤差是由于抽樣框不完善所造所的誤差。抽樣框不完善具體表現(xiàn)為存在著抽樣單元的重復或遺漏，這會破壞抽樣的隨機性。登記性誤差是在觀測數(shù)據(jù)的填寫、計算機數(shù)據(jù)錄入、傳輸、計算等環(huán)節(jié)的差錯引起的誤差。非抽樣誤差的控制，須經(jīng)過改進抽查表的設計或測試方式，嚴密組織調查，提高調查員的素質，以及加強調查整理等各環(huán)節(jié)的質量檢查監(jiān)督，或設計特殊調查方式進行處理，才能見效。具體的論述見后面有關章節(jié)。同抽樣誤差相反，非抽樣誤差是隨著樣本量的增加而增大的。由于抽樣調查的訪問和資料整理都比普查更便于進行，因此非抽樣誤差也遠遠小于普查。有時，普查中的非抽樣誤差甚至大于抽樣調查中抽樣誤差與非抽樣誤差的總和。二、抽樣誤差的計算由于從一個總體中抽取容量為n的樣本時，有多種可能的結果，所以樣本指標是隨機變量，而總體指標是唯一確定的常量，故抽樣誤差也是一個隨機變量。設為總體的某個待估參數(shù)，是通過樣本資料計算而得到的關于的估計量，則估計的實際誤差為-，由于是未知，故-是未知的。這表明根據(jù)某一個確定的樣本，無法確定抽樣誤差的大小，因此，關于抽樣誤差的計算，是建立在誤差分布理論基礎上，從統(tǒng)計平均意義角度來考慮的。因為，對一個確定的總體按同一種抽樣方法可能得到一系列不同的樣本，對每一個樣本都會有一個估計的實際誤差i-，因此，抽樣誤差可以用所有這些可能的實際誤差的均方誤差表示。也即將抽樣誤差表示為其中為估計量的均方誤差。由于未知，所以在通常情況下，仍然是未知的。但可以分解成：式中第一項是估計量的方差，記作。的平方根稱為估計量的標準誤差或標準差，記作。與之比稱為估計量的變異系數(shù)，記為。式中第二項是估計量的偏倚的平方(即)。一般情況下，均方誤差說明了估計量的準確性，而估計量的方差則表明了其估計結果的精確性。通常將精確度定義為估計量方差的倒數(shù)，而將準確度定義為估計量均方誤差的倒數(shù)。當偏倚為零時，稱為的無偏估計量。此時，的方差就等于它的均方誤差，即如果隨樣本容量n的增大趨近于，則稱為的一致估計。需要說明的是：上面所給出的的計算公式仍然屬于一個理論公式或叫作定義公式，在實際中是無法直接應用的。因此，實際中計算是依據(jù)調查變量的總體方差2進行的，當2未知時，一般用樣本方差s2代替，以對做出估計。有偏的估計并非都是不可用的，有時有偏估計量在某些方面反而比無偏估計量更好。有研究認為，在實踐中當偏倚小于標準誤的十分之一時，偏倚對估計量準確度的影響可以忽略不計。第四節(jié) 抽樣估計要達到對總體的正確認識，樣本的充分代表性和樣本資料的準確性都是必要的前提，然而從樣本到總體的估計方法在這里卻居于突出的重要地位。抽樣估計就是以樣本的實際資料為依據(jù)，計算一定的樣本統(tǒng)計量，并按照一定的方法對總體參數(shù)作出估計和推斷。這也是抽樣調查的目的之所在。一、抽樣估計的特點第一,抽樣估計在邏輯上運用的是歸納推理而不是演繹推理。演繹推理是在封閉的系統(tǒng)中從一般性命題導出特殊結論的邏輯方法，其結論的正確性已全部包含在前提的正確性之中。如在本章第二節(jié)中，我們從一個已知總體開始，討論樣本具有怎么樣的性質，樣本統(tǒng)計量是如何接近總體參數(shù)的，這就是運用了演繹推理的方法。歸納推理與之正好相反，它是在開放的系統(tǒng)中，從研究個別命題達到一般性的結論。其前提正確不一定就能得出正確的結論，結論的正確性還決定于前提以外的許多事實，所以結論必須經(jīng)過事實驗證。統(tǒng)計的認識過程正是從對大量個別事件的認識上升到現(xiàn)象總體的認識。本節(jié)將要討論的抽樣估計即是從抽取的一個已知樣本出發(fā)，對被抽樣未知總體推斷出一般結論，所采用的是歸納推理法。第二,抽樣估計在方法上運用不確定的概率估計法而不是運用確定的數(shù)學分析法。雖然抽樣估計也是利用一定的樣本數(shù)據(jù)來推論總體的數(shù)量特征，但由于樣本數(shù)據(jù)和總體數(shù)量特征之間并不存在嚴格對應的自變量和因變量的關系，因此，不可能運用數(shù)學函數(shù)關系建立一定的數(shù)學模型，用輸入樣本的具體觀察值來推算總體特征值。抽樣估計原則上把由樣本觀察值所決定的統(tǒng)計量看作是隨機事件。在實踐中，抽取一個樣本，并計算出相應的樣本指標，接著需研究的問題便是用這一樣本指標來代表相應的總體指標的可靠程度究竟有多大，這就是概率估計所要解決的。如果說歸納推理不保證從正確的前提一定得到正確的結論，只肯定從正確的前提得到的結論有一定程度的可靠性，那么概率估計就是要具體確定這個一定程度的可靠性是多大。第三,抽樣估計的結論存在著一定程度的抽樣誤差。如前所述，抽樣誤差指是由隨機抽樣中偶然性因素的影響，使得樣本指標和總體指標間存在的某種程度的離差。這種誤差是抽樣估計所固有的，不可避免。抽樣估計結論的可靠程度總是和一定的抽樣誤差聯(lián)系在一起的。通常情況下，總是指出樣本指標和總體指標的誤差在一定范圍內的概率保證程度。二、抽樣估計的方法抽樣估計的方法多種多樣。如果以估計中所依據(jù)的資料不同來區(qū)分，一般可以有簡單估計、比估計和回歸估計等三種方法。簡單估計是單純依靠樣本調查變量的資料估計總體參數(shù)，其估計結果稱為簡單估計量；比估計和回歸估計是同時依據(jù)樣本調查變量以及已知的有關輔助變量的資料來對總體參數(shù)做出估計，其結果分別稱為比估計量和回歸估計量。簡單估計是最簡單、最基本的一種估計方法，在實際中應用也最為廣泛。后面各章節(jié)所討論的估計量若沒有特別的說明一般都是指簡單估計量。同簡單估計相比，比估計和回歸估計比較復雜，但在某些情況下，其估計的效果卻比較好。關于比估計和回歸估計將在第五章作進一步討論。如果以估計結果的表示方式來區(qū)分，則抽樣估計可以有兩種形式，即定值估計和區(qū)間估計。定值估計是指給所要估計的總體參數(shù)只給出一個明確的點估計值，同時確定出估計結果的誤差(一般用方差V()來表示)。區(qū)間估計則是在一定的概率保證程度(置信度)之下，根據(jù)允許的最大絕對誤差范圍(一般稱之為抽樣極限誤差，記作，它常以抽樣標準誤差為標準單位來計量，即=KS(),其中K稱之為概率度，其值同置信度的大小有關，可通過查相關的概率積分表求得。)，確定出一個以點估計值為中心的區(qū)間作為總體待估參數(shù)的估計區(qū)間(也稱為置信區(qū)間)?？梢娫趨^(qū)間估計中，不但要考慮抽樣誤差的可能范圍有多大，而且還必須考慮落到這一范圍的概率是多少。前者是估計的準確性問題，后者是估計的可靠性問題，兩者既相互矛盾又密不可分。計算可靠性的依據(jù)是樣本統(tǒng)計量的抽樣分布理論。在實際問題的研究中常常需要在估計的準確性和可靠性之間進行協(xié)調，一般是先確定其中的一個，然后再推算出另外一個。三、置信區(qū)間在抽樣估計中，是用樣本統(tǒng)計量來推斷對應的總體參數(shù)，根據(jù)前面第二節(jié)的分析，樣本統(tǒng)計量的極限分布呈正態(tài)，而在社會經(jīng)濟現(xiàn)象的抽樣研究中，通常所使用的又是大樣本，因此，可以按照正態(tài)分布的理論，來構造總體參數(shù)估計量的置信區(qū)間。一般地說，若估計量是無偏的，且呈正態(tài)分布，則參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間可以寫成(-KS()，+KS()當調查變量的總體方差2已知時，上述置信區(qū)間可表示為(-Z/2S()，+ Z/2S()即取K= Z/2, Z/2的值可以通過查正態(tài)分布雙側臨界值表加以確定。常用的幾組置信度同Z/2的對應值如下表1-0.800.900.950.95450.9973Z/21.281.641.9623當調查變量的總體方差2未知時，則用相應的樣本方差s2代替。然而，這時有可能會使誤差產(chǎn)生一個增量，特別是當樣本較小時，更容易影響估計的精度。因此，為了保持1-的置信度，就應該適當加寬置信區(qū)間，即用較大的t/2值來代替Z/2。此時，置信區(qū)間就可以表示成(-t/2 ()，+t/2 ()其中t/2的值可通過查t分布臨界值表來確定，在這里自由度為df=n-1；()表示以s2代替2后對抽樣標準誤S()的估計量。我們注意到，當樣本量充分大時，Z值和t值十分接近，因此，即使2未知，也仍然可以取K=Z；但在小樣本條件下，Z值和t值差別較大，所以在實踐中，只有當2未知且樣本量較小(n30)時才用t值，即取K=t。四、估計量的優(yōu)良標準由于抽樣指標是一