調(diào)性、凹凸性與極值lhy.ppt

,第三章 中值定理 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,第四節(jié),上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù)單調(diào)性的判定,曲線的凹凸性與拐點(diǎn),Music,函數(shù)的單調(diào)性、,凹凸性與極值,單調(diào)遞減,上頁 下頁 返回 結(jié)束,x,y,0,a,b,x,y,0,a,b,函數(shù),的單調(diào)性,的符號密切,相關(guān).,單調(diào)遞增,與導(dǎo)函數(shù),一、 函數(shù)的單調(diào)性,定理 1. 設(shè)f (x)在a, b上連續(xù), (a, b) 內(nèi)可導(dǎo),若在(a, b),則 f (x)在a, b上(嚴(yán)格)單調(diào)遞,(遞減) .,證:,任取,則由拉格朗日中值定理得,故,表明 f (x)在 a, b上單調(diào)遞增.,上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi),設(shè),同理可證單調(diào)遞減情形.,注 1. 將定理中的閉區(qū)間換成其他區(qū)間, 結(jié)論不變.,增,設(shè)在(a, b)內(nèi),例如,上單調(diào)遞增,3. 若 f (x)在a, b上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)除單獨(dú)點(diǎn)外都可導(dǎo),且在可導(dǎo)點(diǎn)滿足,則 f (x)在a, b上,(遞減) .,(嚴(yán)格)單調(diào)遞增,內(nèi)僅有有限個零點(diǎn)，則結(jié)論仍成立.,在,且,只在,處發(fā)生.,但導(dǎo)數(shù),如,當(dāng),時，,不存在,當(dāng),時，,在,上單調(diào)遞增.,上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. (1)確定函數(shù),的單調(diào)性.,(2)證明: x0 時,解: (1),(2),x0 時,即:, x0 時,定義,上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 證明,證明:,設(shè),顯然, f (x)在區(qū)間,上連續(xù),f (x)在,上單調(diào)減少,f (x)在,上單調(diào)增加,x 0 時,即:,x 0 時,即:,不存在的點(diǎn) x) ;,上頁 下頁 返回 結(jié)束,討論(或確定) 函數(shù)單調(diào)性的方法:,2. 求出,的點(diǎn)以及,3. 用上述點(diǎn)x 劃分已知區(qū)間,在各小區(qū)間上逐一考,察函數(shù)的單調(diào)性.,1. 確定 f(x) 的定義域;,單調(diào)區(qū)間所有可能的分界點(diǎn)（包括,如,為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，,函數(shù)在,處不可導(dǎo).,的單調(diào)區(qū)間.,解:,時，,當(dāng),故f (x)的單調(diào)增加區(qū)間為,單調(diào)減少區(qū)間為,上頁 下頁 返回 結(jié)束,f (x) 的定義域?yàn)?列表討論:,例3. 確定函數(shù),的單調(diào)性.,解:,時,當(dāng),故f (x)在區(qū)間,上單調(diào)減少.,上頁 下頁 返回 結(jié)束,f (x) 的定義域?yàn)?不存在.,例4. 確定函數(shù),當(dāng),列表討論:,上單調(diào)增加;,在區(qū)間,時,上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 設(shè) f (x) 在0,1上可導(dǎo),且0 f (x) 1,證明,在(0,1)內(nèi)有且僅有一個x ,使得f (x) = x .,證明:,存在性:,作輔助函數(shù):,F (x) =,f (x) x,F (0) =,f (0), 0 ,F (1) =,f (1) 1, 0 ,在(0,1)內(nèi)至少有一個 ,使得F ()= f () = 0.,f () =,即:,唯一性:,設(shè) F (x) = 0在(0,1)內(nèi)的正根不止一個,x1 ,x2 是它的兩個正根:,由Rolle定理,矛盾!,F (x1) =,F (x2) =0 ,在x1 , x2之間存在 ,使得,證法一反證,唯一性:,證法二,故 F (x) 嚴(yán)格單調(diào)減少,方程F (x)= 0最多有一個實(shí)根.,上頁 下頁 返回 結(jié)束,所以,在(0,1)內(nèi)有且僅有一個x ,使得f (x) = x .,即最多有一個x ,使得f (x) = x,F (x) =,f (x) x,上頁 下頁 返回 結(jié)束,A,B,連結(jié)A, B 兩點(diǎn)的曲線弧的彎曲方向應(yīng)如何表示?,x,y,0,x,y,0,弦總在曲線弧的上方,凹弧,弦總在曲線弧的下方,凸弧,二、曲線的凹凸性,定義,設(shè) f (x) 在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有,則稱 f (x),為凹函數(shù)，稱它的圖形是凹弧;,(2) 若恒有,則稱 f (x),上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 凹弧、凸弧的定義與判定,為凸函數(shù)，稱它的圖形是凸弧.,如圖：,在（a，b）上是凹的,在（a，b）上單調(diào)遞增,(1) 若在(a, b) 內(nèi),則 f (x)在a, b上是凹的 ;,則 f (x)在a, b上是凸的 .,證明思路：結(jié)合定義，運(yùn)用Lagrange中值公式（略）,上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)f (x)在a, b 上連續(xù), 在,(a, b ) 內(nèi) 二階可導(dǎo).,(2) 若在(a, b) 內(nèi),定理2.(凹凸性判定定理),上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6.,的凹凸性.,解:,上函數(shù)是凹的，,在,上函數(shù)是凸的.,在,連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn) .,2. 拐點(diǎn),(0, 0)點(diǎn)是曲線,的拐點(diǎn)，,上頁 下頁 返回 結(jié)束,注 曲線的拐點(diǎn)要用數(shù)組,來表示,不能寫成,拐點(diǎn)的確定:,設(shè)y=f (x),或,不存在,是曲線的拐點(diǎn);,兩側(cè),不改變符號,不是拐點(diǎn).,則,若在,使,的點(diǎn)是可能的拐點(diǎn).,如,在,處,的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).,解:,令,得,列表討論,曲線在,和,上是凹的,是凸的,點(diǎn),都是拐點(diǎn).,上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 確定曲線,和,f (x) 的定義域?yàn)?例8.利用函數(shù)圖形的凹凸性證明,證明:,當(dāng),因此, 在(0, +) 上,是凹函數(shù),由凹函數(shù)的定義,對,總有,即,上頁 下頁 返回 結(jié)束,令f (t)=,時,內(nèi)容小結(jié),1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別,f (x)在 I 上單調(diào)遞增,f (x)在 I 上單調(diào)遞減,2. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別,拐點(diǎn), 連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn),上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調(diào)增加 ,及,B,1.設(shè)在,上頁 下頁 返回 結(jié)束,有位于同一直線上的三個拐點(diǎn).,2.求證曲線,證,上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,得,從而三個拐點(diǎn)為,因?yàn)?所以三個拐點(diǎn)共線.,上頁 下頁 返回 結(jié)束,A,B,C,定義,總有,(1),則稱 x0 為f (x)的極大值點(diǎn) ,稱 f (x0 )為函數(shù)的極大值 ;,(2),則稱 x0為 f (x)的極小值點(diǎn) ,稱 f (x0 )為函數(shù)的極小值 .,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .,上頁 下頁 返回 結(jié)束,若存在,使對任意的,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 .,極值: 極值點(diǎn)處的函數(shù)值.,1. 極值的概念,三、函數(shù)的極值,上頁 下頁 返回 結(jié)束,注:,(1) 極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,(2) 極大值不一定大于極小值.,(3) 極值不一定是最值.,2. 極值的必要條件,定理1. 如果f (x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且在x0處取得極值, 則,為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn),不是極值點(diǎn),如圖：,則稱x0為f (x) 的駐點(diǎn).,定義 若,3. 若f(x)在點(diǎn)x0不可導(dǎo)， x0也可能是極值點(diǎn).,2. 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).,如:,為其駐點(diǎn),如:,x =0是極小值點(diǎn).但函數(shù)在x =0不可導(dǎo).,上頁 下頁 返回 結(jié)束,注: 1. 可導(dǎo)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn).,可能的極值點(diǎn),駐點(diǎn),有定義,但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),但不是極值點(diǎn).,上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 1 (第一充分條件),內(nèi)可導(dǎo),若,由正變負(fù),3. 如何確定極值點(diǎn),是可能的極值點(diǎn),空心鄰域,若,由負(fù)變正,若,不變號,的極值 .,令,得,導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)是,上頁 下頁 返回 結(jié)束,求極值的步驟:,確定定義域,求導(dǎo)，找可能 極值點(diǎn),極值點(diǎn),極值,判 斷,計 算,例1. 求函數(shù),f (x)的定義域?yàn)?解:,列表討論:,是極大值點(diǎn)，,極大值為,是極小值點(diǎn)，,極小值為