D8_7方向?qū)?shù)與梯度.ppt

,第八章,第七節(jié),一、方向?qū)?shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、梯度,三、物理意義,方向?qū)?shù)與梯度,一、方向?qū)?shù),定義: 若函數(shù),則稱,為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù).,在點(diǎn),處,沿方向 l (方向角為,) 存在下列極限:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,記作,定理:,則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,證明: 由函數(shù),且有,在點(diǎn) P 可微 ,得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,對(duì)于二元函數(shù),為, ) 的方向?qū)?shù)為,特別:, 當(dāng) l 與 x 軸同向, 當(dāng) l 與 x 軸反向,向角,例1. 求函數(shù),在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向?qū)?shù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 求函數(shù),在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線,朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).,解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為,它在點(diǎn) P 的切向量為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 設(shè),是曲面,在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處,指向外側(cè)的法向量,解:,方向余弦為,而,同理得,方向,的方向?qū)?shù).,在點(diǎn)P 處沿,求函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、梯度,方向?qū)?shù)公式,令向量,這說(shuō)明,方向：f 變化率最大的方向,模 : f 的最大變化率之值,方向?qū)?shù)取最大值：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 定義,即,同樣可定義二元函數(shù),稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度,記作,(gradient),在點(diǎn),處的梯度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明:,函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.,向量,2. 梯度的幾何意義,函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,稱為函數(shù) f 的等值線 .,則L*上點(diǎn)P 處的法向量為,同樣, 對(duì)應(yīng)函數(shù),有等值面(等量面),當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上,點(diǎn)P處的法向量為,指向函數(shù)增大的方向.,3. 梯度的基本運(yùn)算公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4.,證:,試證,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、物理意義,函數(shù),數(shù)量場(chǎng) (數(shù)性函數(shù)),場(chǎng),向量場(chǎng)(矢性函數(shù)),可微函數(shù),梯度場(chǎng),( 勢(shì) ),如: 溫度場(chǎng), 電位場(chǎng)等,如: 力場(chǎng),速度場(chǎng)等,(向量場(chǎng)),注意: 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5.,已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q 在任意點(diǎn),試證,證: 利用例4的結(jié)果,這說(shuō)明場(chǎng)強(qiáng):,處所產(chǎn)生的電位為,垂直于等位面,且指向電位減少的方向.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 方向?qū)?shù), 三元函數(shù),在點(diǎn),沿方向 l (方向角,的方向?qū)?shù)為, 二元函數(shù),在點(diǎn),的方向?qū)?shù)為,沿方向 l (方向角為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 梯度, 三元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度為, 二元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度為,3. 關(guān)系,方向?qū)?shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)存在, 可微,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 設(shè)函數(shù),(1) 求函數(shù)在點(diǎn) M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線,在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);,(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度與(1)中切線方向,的夾角 .,2. P73 題 16,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,曲線,1. (1),在點(diǎn),解答提示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,M (1,1,1) 處切線的方向向量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. P73 題 16,P51 2，3，6，7，8，9，10,作業(yè),第八節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題 1.,函數(shù),在點(diǎn),處的梯度,解:,則,注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱性,(92考研),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,指向