高中數(shù)學(xué) 計數(shù)原理1.3二項式定理1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案新人教A版.docx

1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標1.了解楊輝三角，會用楊輝三角求二項式乘方次數(shù)不大時的各項的二項式系數(shù).2.理解二項式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運用知識點“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)(ab)n的展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式：思考1從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？答案在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和思考2計算每一行的系數(shù)和，你又能看出什么規(guī)律？答案2,4,8,16,32,64，其系數(shù)和為2n.思考3二項式系數(shù)的最大值有何規(guī)律？答案當(dāng)n2,4,6時，中間一項最大，當(dāng)n3,5時中間兩項最大梳理(1)楊輝三角的特點在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即CCC.(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性CC，即二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等增減性與最大值如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么展開式中間一項的二項式系數(shù)最大如果n為奇數(shù)，那么其展開式中間兩項與的二項式系數(shù)相等且同時取得最大值各二項式系數(shù)的和二項展開式中各二項式系數(shù)的和等于2n，即CCCC2n奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，都等于2n1，即CCCCCC2n11楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列()2二項式展開式的二項式系數(shù)和為CCC.()3二項式展開式中系數(shù)最大項與二項式系數(shù)最大項相同()類型一與楊輝三角有關(guān)的問題例1(1)楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被5整除，則具有類似性質(zhì)的行是()A第6行 B第7行 C第8行 D第9行(2)如圖，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，記這個數(shù)列的前n項和為S(n)，則S(16)等于()A144 B146 C164 D461考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點與楊輝三角有關(guān)的問題答案(1)B(2)C解析(1)由題意，第6行為1,6,15,20,15,6,1，第7行為1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去兩端數(shù)字1以外，均能被7整除(2)由題干圖知，數(shù)列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，第15項是C，第16項是C，所以S(16)CCCCCC(CCC)(CCC)(CCCCC)(CCC)CC1164.反思與感悟解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第_行中從左至右的第14個數(shù)與第15個數(shù)的比為23.考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點與楊輝三角有關(guān)的問題答案34解析由題意設(shè)第n行的第14個數(shù)與第15個數(shù)的比為23，它等于二項展開式的第14項和第15項的二項式系數(shù)的比，所以CC23，即，解得n34，所以在第34行中，從左至右第14個數(shù)與第15個數(shù)的比是23.類型二二項式系數(shù)和問題例2已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值：(1)a0a1a2a5；(2)|a0|a1|a2|a5|；(3)a1a3a5.考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題解(1)令x1，得a0a1a2a51.(2)令x1，得35a0a1a2a3a4a5.由(2x1)5的通項Tk1C(1)k25kx5k知a1，a3，a5為負值，所|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.(3)由a0a1a2a51，a0a1a2a535，得2(a1a3a5)135.所以a1a3a5121.引申探究在本例條件下，求下列各式的值：(1)a0a2a4；(2)a1a2a3a4a5；(3)5a04a13a22a3a4.解(1)因為a0a1a2a51，a0a1a2a535.所以a0a2a4122.(2)因為a0是(2x1)5展開式中x5的系數(shù)，所以a02532.又a0a1a2a51，所以a1a2a3a4a531.(3)因為(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以兩邊求導(dǎo)數(shù)得10(2x1)45a0x44a1x33a2x22a3xa4.令x1得5a04a13a22a3a410.反思與感悟二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5.跟蹤訓(xùn)練2在二項式(2x3y)9的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題解設(shè)(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二項式系數(shù)之和為CCCC29.(2)各項系數(shù)之和為a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，將兩式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇數(shù)項系數(shù)之和為.類型三二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例3已知f(x)(3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項考點展開式中系數(shù)最大(小)的項問題題點求展開式中系數(shù)最大(小)的項解令x1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5為奇數(shù)，展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間的兩項，它們分別為T3C(3x2)290x6，T4C(3x2)3270.(2)展開式的通項公式為Tk1C3k，假設(shè)Tk1項系數(shù)最大，則有即k，kN，k4，展開式中系數(shù)最大的項為T5C(3x2)4405.反思與感悟(1)二項式系數(shù)的最大項的求法求二項式系數(shù)的最大項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(ab)n中的n進行討論當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大(2)展開式中系數(shù)的最大項的求法求展開式中系數(shù)的最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需要根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況進行分析如求(abx)n(a，bR)的展開式中系數(shù)的最大項，一般采用待定系數(shù)法設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為A0，A1，A2，An，且第k1項最大，應(yīng)用解出k，即得出系數(shù)的最大項跟蹤訓(xùn)練3寫出(xy)11的展開式中：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)項的系數(shù)絕對值最大的項；(3)項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項；(4)二項式系數(shù)的和；(5)各項系數(shù)的和考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題解(1)二項式系數(shù)最大的項為中間兩項：T6Cx6y5，T7Cx5y6.(2)(xy)11展開式的通項為Tk1Cx11k(y)kC(1)kx11kyk，項的系數(shù)的絕對值為|C(1)k|C，項的系數(shù)的絕對值等于該項的二項式系數(shù)，其最大的項也是中間兩項，T6Cx6y5，T7Cx5y6.(3)由(2)知中間兩項系數(shù)絕對值相等，又第6項系數(shù)為負，第7項系數(shù)為正，故項的系數(shù)最大的項為T7Cx5y6，項的系數(shù)最小的項為T6Cx6y5.(4)展開式中，二項式系數(shù)的和為CCCC211.(5)令xy1，得展開式中各項的系數(shù)和為CCCC(11)110.1觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是()A8 B6 C4 D2考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點與楊輝三角有關(guān)的問題答案B解析由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4a10，得a6.2(1x)2n1的展開式中，二項式系數(shù)最大的項所在的項數(shù)是()An，n1 Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3考點展開式中系數(shù)最大(小)的項問題題點求展開式中二項式系數(shù)最大(小)的項答案C解析2n1為奇數(shù)，展開式中中間兩項的二項式系數(shù)最大，分別為第項，第項，即第n1項與第n2項，故選C.3已知n展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為64，則n等于()A4 B5C6 D7考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題答案C解析令x1，各項系數(shù)和為4n，二項式系數(shù)和為2n，故有64，所以n6.4設(shè)(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a1a2a3的值為_考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案15解析令x1，得a0a1a2a3a41.又Tk1C(3)4k(2x)k，當(dāng)k4時，x4的系數(shù)a416.由得a0a1a2a315.5已知n的展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37，則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為_考點展開式中系數(shù)的和問題題點多項展開式中系數(shù)的和問題答案解析由CCC37，得1nn(n1)37，解得n8(負值舍去)，則第5項的二項式系數(shù)最大，T5C(2x)4x4，該項的系數(shù)為.1二項式系數(shù)的性質(zhì)可從楊輝三角中直觀地看出2求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定一般地對字母賦的值為0,1或1，但在解決具體問題時要靈活掌握3注意以下兩點：(1)區(qū)分開二項式系數(shù)與項的系數(shù)(2)求解有關(guān)系數(shù)最大時的不等式組時，注意其中k0,1,2，n一、選擇題1如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個數(shù)，當(dāng)a7時，b等于()A20 B21 C22 D23考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點與楊輝三角有關(guān)的問題答案C解析根據(jù)觀察可知，每一行除開始和末尾的數(shù)外，中間的數(shù)分別是上一行相鄰兩個數(shù)的和，當(dāng)a7時，上面一行的第一個數(shù)為6，第二個數(shù)為16，所以b61622.2若n(nN*)的展開式中只有第6項系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項為()A210 B252C462 D10考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式的特定項答案A解析由于展開式中只有第6項的系數(shù)最大，且其系數(shù)等于其二項式系數(shù)，所以展開式項數(shù)為11，從而n10，于是得其常數(shù)項為C210.3已知關(guān)于x的二項式n展開式的二項系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為()A1 B1 C2 D2考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案C解析由條件知2n32，即n5，在通項公式Tk1C()5kkCak中，令155k0，得k3.所以Ca380，解得a2.4(x1)11的展開式中，x的奇次冪的系數(shù)之和是()A2 048 B1 023 C1 024 D1 024考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案D解析(x1)11a0x11a1x10a2x9a11，令x1，則a0a1a2a11211，令x1，則a0a1a2a110，a0a2a4a102101 024.5若x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，則a8的值為()A10 B45C9 D45考點二項式定理題點逆用二項式定理求和、化簡答案B解析x101(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，a8CC45.6設(shè)n的展開式的各項系數(shù)和為M，二項式系數(shù)和為N，若MN240，則展開式中x的系數(shù)為()A150 B150 C300 D300考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)答案B解析由已知條件4n2n240，解得n4，Tk1C(5x)4kk(1)k54kC，令41，得k2，所以展開式中x的系數(shù)為(1)252C150.7已知(2x1)n二項展開式中，奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)的和小38，則CCCC的值為()A28 B281C27 D271考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案B解析設(shè)(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次項的系數(shù)和為A，偶次項的系數(shù)和為B.則Aa1a3a5，Ba0a2a4a6.由已知可知，BA38.令x1，得，a0a1a2a3an(1)n(3)n，即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即BA(3)n.(3)n38(3)8，n8.由二項式系數(shù)性質(zhì)可得，CCCC2nC281.8關(guān)于下列(ab)10的說法，錯誤的是()A展開式中的二項式系數(shù)之和是1 024B展開式的第6項的二項式系數(shù)最大C展開式的第5項或第7項的二項式系數(shù)最大D展開式中第6項的系數(shù)最小考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題答案C解析由二項式系數(shù)的性質(zhì)知CCCC2101 024，故A正確二項式系數(shù)最大的項為C，是展開式的第6項，故B正確由展開式的通項為Tk1Ca10k(b)k(1)kCa10kbk知，第6項的系數(shù)C最小，故D正確二、填空題9已知(1x)10a1a2xa3x2a11x10，若數(shù)列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是_考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點利用二項式系數(shù)的性質(zhì)進行計算答案6解析(1x)n展開式的各項系數(shù)為其二項式系數(shù)，當(dāng)n10時，展開式的中間項第六項的二項式系數(shù)最大，故k的最大值為6.10在n的展開式中，所有奇數(shù)項系數(shù)之和為1 024，則中間項系數(shù)是_考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)答案462解析二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為2n，而所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和與所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，故由題意得2n11 024，n11，展開式共12項，中間項為第六項、第七項，其系數(shù)為CC462.11若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，則log2(a1a3a11)_.考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案7解析令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12，282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2(a1a3a11)log2277.三、解答題12設(shè)(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)求a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題解(1)令x0，則展開式為a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.與式聯(lián)立相減得a1a3a99.(4)由可得，(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2a100)(2)100(2)1001.(5)|a0|a1|a100|，即(2x)