學(xué)科教育論文-非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題解法探微.doc

學(xué)科教育論文-非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題解法探微有一些數(shù)學(xué)問(wèn)題,例如操作問(wèn)題、邏輯推理問(wèn)題等,不能用通常的數(shù)學(xué)方法來(lái)解；還有一些實(shí)際問(wèn)題,研究的是事物的某種狀態(tài)或性質(zhì),其本身與數(shù)量無(wú)關(guān),也不能用通常的數(shù)學(xué)方法來(lái)解。人們習(xí)慣上將上述的這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題。非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題近年來(lái)在各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽及數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽等賽題中頻頻出現(xiàn),特別是它與實(shí)際問(wèn)題密切聯(lián)系,因此受到廣泛關(guān)注。非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題需要非常規(guī)的特殊解法,本文就最常用的圖解法、賦值法、抽屜原理及邏輯推理等四種方法,結(jié)合實(shí)際例子作一探討。1圖解法例1(柳卡問(wèn)題)假設(shè)每天中午有一艘輪船由哈佛開(kāi)往紐約,同時(shí)也有一艘輪船由紐約開(kāi)往哈佛,航行時(shí)間都為七晝夜,且均沿同一航線(xiàn)航行。問(wèn)今天中午從哈佛開(kāi)出的一艘輪船將會(huì)遇到幾艘從紐約開(kāi)來(lái)的同一公司的輪船?這是十九世紀(jì)在一次世界科學(xué)會(huì)議期間,法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡向在場(chǎng)的數(shù)學(xué)家們提出的一個(gè)問(wèn)題,它難倒了在場(chǎng)的所有數(shù)學(xué)家,連柳卡本人也沒(méi)有徹底解決。后來(lái)有一位數(shù)學(xué)家通過(guò)下面的圖解法,才使問(wèn)題最終得到解決。這種方法是:用兩條橫線(xiàn)分別表示紐約港和哈佛港,某天中午(記作第0天)從哈佛出發(fā)的輪船在第7天中午到達(dá)紐約,用從下到上的一條斜線(xiàn)表示。用從上到下的斜線(xiàn)依次表示每天中午由紐約開(kāi)出的輪船經(jīng)7晝夜到達(dá)哈佛。顯然兩種斜線(xiàn)的交點(diǎn)總數(shù)就是相遇的輪船數(shù),共15艘。值得注意的是,上述圖解法,不但給出這一問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單、美妙、不用數(shù)字計(jì)算的非常規(guī)解法,更有意義的是它可作為一種模型,來(lái)解決這一類(lèi)型的問(wèn)題,請(qǐng)看下例:例2某路電車(chē),由站開(kāi)往站,每5分鐘發(fā)一輛車(chē),全程為20分鐘。有一人騎車(chē)從站到站,在他出發(fā)時(shí)恰有一輛電車(chē)進(jìn)站,當(dāng)他到達(dá)站時(shí)又恰有一輛電車(chē)出站,問(wèn):(1)若騎車(chē)人在中途共遇到對(duì)面開(kāi)來(lái)的10輛電車(chē),則他出發(fā)后多少分鐘到達(dá)站?(2)如果騎車(chē)人由站到站共用50分鐘時(shí)間,則他一共遇到多少輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē)?(3)若騎車(chē)人同某輛電車(chē)同時(shí)出發(fā)由站返回站,騎車(chē)人用40分鐘到達(dá)站時(shí)也恰有一輛電車(chē)進(jìn)站,問(wèn)在中途有多少輛電車(chē)超過(guò)他?解:仿柳卡問(wèn)題圖解法,畫(huà)出下面的圖:由圖可知:(1)騎車(chē)人從站總共遇到12輛從對(duì)面開(kāi)來(lái)的電車(chē)到達(dá)站所用的時(shí)間,恰好等于站開(kāi)出7輛車(chē)的時(shí)間,即35分鐘。(2)若騎車(chē)人一共用50分鐘走完全程(即由0到10的那條由下到上的斜線(xiàn)),可知一共遇到15輛電車(chē)。(3)由上到下畫(huà)一條斜線(xiàn)(由0到8)即表示騎車(chē)人由站出發(fā)40分鐘后到達(dá)站,可見(jiàn)中途共有3輛電車(chē)超過(guò)他。2賦值法賦值法解題,是對(duì)本身與數(shù)量無(wú)關(guān)的問(wèn)題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)值(如1、0與1等)將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問(wèn)題,然后利用整除性、奇偶性或正負(fù)號(hào)等的討論,使問(wèn)題得以解決。例3在圓周上均勻地放4枚圍棋子,然后作如下操作:若原來(lái)相鄰的兩枚棋子是同色,就在其間放一枚黑子；若是異色,就在其間放一枚白子,然后將原來(lái)的4枚棋子取走,以上算一次操作。證明:不論原來(lái)4枚棋子的黑白顏色如何排列,最多只須作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子。解因?yàn)橹挥泻诎變缮遄?所以可以用1記黑子,-1記白子。又規(guī)定在同色兩子之間放黑子,正好符合11=1,(-1)(-1)=1；在異色兩子之間放白子,正好符合1(-1)=(-1)1=-1,因此,這樣賦值后就將原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為+1和-1的討論問(wèn)題。將圓周上的4枚棋子依次記為1、2、3、4(繼續(xù)數(shù)下去記5=1,6=2)按上面的賦值方法可知:2=1,+1=1與+1同色-1與+1異色這樣,判斷在與+1兩棋子之間該放黑子還是白子,就由+1的乘積符號(hào)的正、負(fù)來(lái)確定；乘積為+1時(shí)放黑子,為-1時(shí)放白子。按此方法,將各次操作后的正、負(fù)號(hào)列成下表:(將圓周上的棋子排在直線(xiàn)上)第一次操作3412341234411223344112第二次3241操作=314213243142第三次操作12341234123412341234第四次(1234)2操作=1111由上表可見(jiàn),經(jīng)第4次操作后,符號(hào)皆為正,故4枚棋子都應(yīng)放黑子。用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,一般情況下,若圓周上原來(lái)擺著2枚棋子,最多操作2次后一定全剩下黑子。例4有11只杯子都口朝上放著,然后將它們?nèi)我夥紨?shù)只算一次操作(翻過(guò)的也可以再翻)。證明:無(wú)論操作多少次,都不能使11只杯子都口朝下。解將口朝上的杯子記為1,口朝下的記為-1,然后計(jì)算每操作一次后11只杯子乘積的正負(fù)號(hào):開(kāi)始,11只杯子都口朝上,所以乘積的符號(hào)為:111=1。當(dāng)翻動(dòng)個(gè)杯子(為偶數(shù)且10)使其口朝下時(shí),乘積的符號(hào)為:111-(-1)=11=1繼續(xù)討論可知,無(wú)論是小于11的什么偶數(shù),乘積的正負(fù)號(hào)均為正,而11只杯子都口朝下時(shí),乘積為(-1)11=-1,故不可能辦到。本問(wèn)題的一般結(jié)論是:奇數(shù)個(gè)杯子每次翻動(dòng)偶數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)杯子每次翻動(dòng)奇數(shù)個(gè),都不能使所有杯子都口朝下。3抽屜原理抽屜原理是證明“存在性”問(wèn)題的有力工具,其最基本形式是:將+1(或更多)個(gè)元素任意放入個(gè)抽屜中,則至少有一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)(或更多)元素。抽屜原理的正確性簡(jiǎn)單而顯然,但具體運(yùn)用并不容易,困難之處在于怎樣設(shè)置抽屜,把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽屜原理問(wèn)題。例5世界上任意6個(gè)人中,總有3個(gè)人,或彼此都認(rèn)識(shí),或彼此都不認(rèn)識(shí)。這是有名的問(wèn)題,要用抽屜原理來(lái)解。對(duì)6個(gè)人中的任一個(gè)人,不妨設(shè)為來(lái)說(shuō),除外的其余5人可分為同相識(shí)或不同相識(shí)兩類(lèi)(即兩個(gè)抽屜),由抽屜原理可知,至少有一類(lèi)中至少有3個(gè)人。分別討論如下:如果同都認(rèn)識(shí)的那一類(lèi)中至少有3人,若有3人互相都不認(rèn)識(shí),則結(jié)論成立；否則至少有兩個(gè)人互相認(rèn)識(shí),而這兩人又都同認(rèn)識(shí),故有3人互相認(rèn)識(shí),結(jié)論也成立。如果同都不認(rèn)識(shí)的那一類(lèi)中至少有3人,若其中有3人互相認(rèn)識(shí),則結(jié)論成立；否則,至少有兩人彼此不認(rèn)識(shí),但這二人又都與互不認(rèn)識(shí),故這時(shí)有3人互相不認(rèn)識(shí),結(jié)論也成立。此問(wèn)題也可以用染色法來(lái)證明:在平面上用1,26來(lái)代表6個(gè)人,設(shè)它們無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)。將互相認(rèn)識(shí)的兩人連一條紅線(xiàn),否則連一條藍(lán)線(xiàn)。問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為:在這15條連線(xiàn)中要證明至少有一個(gè)同顏色的三角形。證明:考慮由1出發(fā)的5條線(xiàn),因?yàn)橹挥屑t、藍(lán)兩種顏色(兩個(gè)抽屜),所以至少有3條為同色,不妨設(shè)12、13、14為紅色。其次,再考慮234三邊的顏色,若均為藍(lán)色則結(jié)論成立(此三人互相不認(rèn)識(shí))；否則,至少有一條邊為紅色,例如23,則123的三邊都為紅色,結(jié)論也成立(此三人彼此都認(rèn)識(shí))。例6已知某學(xué)者在五年期間內(nèi)每月至少發(fā)表一