圓的方程專項(xiàng)復(fù)習(xí).doc

數(shù)學(xué)備課大師 目錄式免費(fèi)主題備課平臺(tái)！圓的方程專項(xiàng)復(fù)習(xí)一、內(nèi)容黃金組 1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，并會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程二、要點(diǎn)大揭秘 1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓。定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑。如果圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑等于r,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2。如果圓心恰好為原點(diǎn)時(shí)，方程為x2+y2=r2。由圓心坐標(biāo)(a,b)及半徑r的值，可以直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也可直接讀出圓心坐標(biāo)和半徑r的大小。2. 圓的一般式方程任何一個(gè)圓的方程都可以寫成下面形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圓方程。(1) 當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程表示圓，稱為圓的一般式方程，其圓心，半徑。(2) 當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程僅表示一個(gè)點(diǎn)；(3) 當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，方程不表示任何圖形。3. 參數(shù)方程的概念在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，則此方程組就叫這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x,y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程叫做曲線的普通方程。4. 圓的參數(shù)方程若圓心坐標(biāo)為C(a,b)，半徑為r，則稱為圓的參數(shù)方程。其中是以x軸正方向?yàn)槭歼叿较?，方向?yàn)榻K邊方向的角。C是圓心，P是圓上與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。5. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C(x-a)2+(y-b)2=r2，點(diǎn)M(x0，y0)到圓心的距離為d，則有：(1)dr 點(diǎn)M在圓外；(2)d=r 點(diǎn)M在圓上；(3)dr 點(diǎn)M在圓內(nèi)6. 相交兩圓的公共弦所在直線方程：設(shè)圓C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若兩圓相交，則過兩圓交點(diǎn)的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0三、好題解給你(1) 預(yù)習(xí)題例1. 寫出下列各圓的方程： (1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5； 評(píng)注：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2) x2+y2+2by=0解：(1)圓心為(4，-3)，半徑為5；(2)圓心為(0，-b)，半徑為|b|，注意半徑不為b例3. 求下列各圓的一般方程：(1)過點(diǎn)A(5，1)，圓心在點(diǎn)C(8，-3)；(3) 過三點(diǎn)A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)解：(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=0例4. 已知圓的方程是x2+y2=1，求：(1)斜率為1的切線方程；解：(4) 基礎(chǔ)題例1(1)已知兩點(diǎn)P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點(diǎn)M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？解(1)：分析一：從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數(shù)解決解法一：設(shè)圓心C(a，b)、半徑r，則由C為P1P2的中點(diǎn)得：又由兩點(diǎn)間的距離公式得：所求圓的方程為：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：從圖形上動(dòng)點(diǎn)P性質(zhì)考慮，用求曲線方程的一般方法解決解法二：直徑上的四周角是直角，對(duì)于圓上任一點(diǎn)P(x，y)，有PP1PP2化簡(jiǎn)得：x2+y2-10x-12y+51=0即(x-5)2+(y-6)2=10為所求圓的方程解(2)：分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離：因此，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi)例2求過三點(diǎn)O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圓的方程解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圓上，則有解得：D=-8，E=6，F(xiàn)=0，故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0例3. 的方程解：因?yàn)閳A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，(5) 應(yīng)用題例1. 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過兩圓C1x2+y2-2x+10y-24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程(0，2)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上，且圓心在直線l上所以得方程組為故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10例2求以圓C1：x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程。解 由題：兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線的方程4x+3y-2=0，過兩圓交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)為x2+y2-12x-2y-13+( x2+y2+12x+16y-25)=0，即(1+)x2+(1+)y2-12(1-)x-2(1-8)y-13-25=0，配方得圓心坐標(biāo)，公共弦是直徑，則圓心在公共弦上4+3-2=0，=。以公共弦為直徑的圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0。評(píng)注 兩相交圓的公共弦所在直線方程，可以將兩個(gè)圓方程作差，消去x,y的平方項(xiàng)求得。因?yàn)榻稽c(diǎn)坐標(biāo)是兩圓方程的公共解，滿足兩方程的差方程，差方程因消去x,y的平方項(xiàng)后變?yōu)殛P(guān)于x,y的二元一次方程，是一條直線的方程，這直線經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)，即為公共弦方程。同理可知，無論為何值，方程x2+y2-12x-2y-13+(x2+y2+12x+16y-25)=0表示的曲線經(jīng)過兩圓x2+y2-12x-2y-13=0與x2+y2+12x+16y-25=0的公共點(diǎn)。本題也可先求出兩圓的交點(diǎn)后，再求所求圓的圓心及半徑后得出方程。例3 和切點(diǎn)坐標(biāo)分析：求已知圓的切線問題，基本思路一般有兩個(gè)方面：(1)從代數(shù)特征分析；(2)從幾何特征分析一般來說，從幾何特征分析計(jì)算量要小些 圓心O(0，0)到切線的距離為4，把這兩個(gè)切線方程寫成注意到過圓x2+y2=r2上的一點(diǎn)P(x0，y0)的切線的方程為x0x+y0y=r2，(6) 提高題例1 未經(jīng)過原點(diǎn)，且過圓x2+y2+8x-6y+21=0和直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程解法一：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三點(diǎn)在圓上，解法二：設(shè)過交點(diǎn)的圓系方程為：x2+y2+8x-6y+21+(x-y+5)=0例2已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(5,-6)，B(-1,2)，求ABC的外接圓的方程。解 由題。設(shè)C(x,y)，則由得 解之得或即頂點(diǎn)C有兩種可能C(,)或C(,)。正三角形的重心就是外接圓圓心，則圓心(a,b)為即，或即。外接圓半徑。圓方程為，或。評(píng)注 正三角形的重心、內(nèi)心、外心合一，本題先求出C的坐標(biāo)，再求重心，即求出圓心，而正三角形外接圓半徑是邊長(zhǎng)的倍，由AB的長(zhǎng)度即得圓半徑。然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可。本題也可以用軌跡法求解；設(shè)外接圓上動(dòng)點(diǎn)P，則APB或者等于60或者等于120，通過AP，BP的斜率與夾角(到角)公式求圓的方程。例3A、B、C為已知直線上的三個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在此直線上，且使APB=BPC，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡解：以B為原點(diǎn)，直線ABC為x軸建立直角坐標(biāo)系，令A(yù)(-a，0)，C(c，0)(a0，c0)，P(x，y)，由到角公式，整理可得方程為：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0當(dāng)a=c時(shí)，則得x=0(y0)，即y軸去掉原點(diǎn)；當(dāng)ac時(shí)，則得(x-與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)四、課后演武場(chǎng)1求下列條件所決定的圓的方程：(1)圓心為 C(3，-5)，并且與直線x-7y+2=0相切；(2)過點(diǎn)A(3，2)，圓心在直線y=2x上，且與直線y=2x+5相切2已知：一個(gè)圓的直徑端點(diǎn)是A(x1，y1)、B(x2，y2)證明：圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=03一個(gè)等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圓的方程4趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m，求這座圓拱橋的拱圓的方程5求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程6等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4，2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3，5)，求另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么答案及提示：1(1)(x-3)2+(y+5)2= 322因?yàn)橹睆降亩它c(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則圓心和半徑分別為所以圓的方程為化簡(jiǎn)得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04如圖建立坐標(biāo)系，得拱圓的方程：x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2y0)5x2+y2-x+7y-32=06所求的軌跡方程為x2+y2-8x-4y+10=0(x3，x5)，軌跡是以【典型例題】例1 求圓心在軸上，且過點(diǎn)A（1，4），B（2，）的圓的方程。解：方法一：設(shè)方法二：設(shè)方法三：設(shè)方法四：，又 CM：設(shè)C（，0）在CM上例2 求過直線與已知圓的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為8的圓的方程。解：設(shè)令令，同理：例3 已知圓滿足：截軸所得弦長(zhǎng)為；被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為；圓心到直線：的距離為的圓的方程。解：設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由、得：又到的或或或或例4（1）已知：，求過點(diǎn)（1，）的切線方程（2）已知：，求過點(diǎn)P（3，1）圓的切線方程。解：（1）（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)：斜率不存在時(shí)，即注：（1）C：，P（，），則過點(diǎn)P圓的切線方程為：（2）C：過圓上一點(diǎn)P（，）與圓相切的直線方程為：（3）C：（），P（，）過P圓的切線方程：例5 已知P（5，0）和圓，過P作直線與圓相交于A、B，求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程。解：方法一：設(shè)AB中點(diǎn)M（），則A（），B（）：， M：，代入中，（）方法二：設(shè)A（，）B（，）且（在已知圓內(nèi)部分）方法三：點(diǎn)M在以O(shè)P為直徑的圓上注：以A（）B（）為直徑的圓的方程是：例6 設(shè)P（）是圓外的一點(diǎn)，過P作圓的切線，試求過兩切點(diǎn)的切點(diǎn)弦所在的直線方程。解：以O(shè)P為直徑的圓：又：為所求直線方程例7 求與軸相切并與圓相外切的動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。解：設(shè)圓心為（）當(dāng)時(shí)，例8 已知中，A（），B（0，2），C（）（是變量），求面積的最大值。點(diǎn)的坐標(biāo)為（）則即是以為圓心，以1為半徑的圓 A，B（）且AB的方程為即則圓心（）到直線AB的距離為 C到AB的最大距離為 的最大值是 【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一. 選擇：1. 點(diǎn)P（）在圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 2. 點(diǎn)M（）是圓（）內(nèi)不為圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系是（）A. 相切B. 相交 C. 相離D. 相切或相交3. 點(diǎn)P（）與圓的位置關(guān)系是（）A. 在圓外B. 在圓內(nèi) C. 在圓上D. 不確定4. 直線（）截圓所得弦長(zhǎng)等于4，則以、為邊長(zhǎng)的三角形一定是（）A. 直角三角形B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形D. 不存在5. 圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（）A. 1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè) D. 4個(gè)6. 圓過點(diǎn)（）的最大弦長(zhǎng)為，最小弦長(zhǎng)為，則等于（）A. B. C. D.解：設(shè)C 7. 已知點(diǎn)P（）在圓上，則、的取值范圍是（）A. B. C. D. 以上都不對(duì)8. 兩圓與的位置關(guān)系是（）A. 內(nèi)切B. 外切C. 相離D. 內(nèi)含二. 填空：1. 圓關(guān)于直線對(duì)稱的方程是。2. 圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是。3. 已知點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（12，0），當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程是。4. 已知A（1，1），C：一束光線從A出發(fā)經(jīng)軸反射到C上的最短距離是。三. 解答題：1. 求與軸切于點(diǎn)（5，0）并在軸上截取弦長(zhǎng)為10的圓的方程。2. 已知圓C與圓C1：相外切，并且與直線：相切于點(diǎn)P（3，），求此圓C的方程。3. 已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、A（，0）（）距離之比為的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀。4. 已知對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P（），不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【試題答案】一.1. D2. C3. A4. A5. C6. A7. C8.