將軍飲馬18道典型習(xí)題

“將軍飲馬”常見模型及18道典型習(xí)題何為將軍飲馬？2000多年以前。古希臘的亞歷山大城里住著一位睿智的數(shù)學(xué)家海倫。一天，城里來了一位將軍，聽聞海倫盛名，特來向他請教一個問題。將軍說，每天早上，他都騎著馬兒從營帳出發(fā)，到河邊讓馬兒飲水，然后，再去河岸同一側(cè)的一塊草地上帶著馬兒去吃草，問題時，在河岸的哪個具體位置喝水，行程最短？海倫略做沉思，給出了將軍最佳方案。此之謂“將軍飲馬”。最佳方案為何？且閱下文：一、將軍飲馬常見的5種模型：1、一動兩定（和最?。喝鐖D，點(diǎn)A是將軍和馬居住的營帳，點(diǎn)B是一塊指定的草地，一條小河L潺潺流過，P是將軍帶著馬兒喝水的地方，P點(diǎn)在何處時，將軍和馬兒走過的路PA+PB的值最??？解析：做A點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)A’，連接A’B，與L的交點(diǎn)即為P點(diǎn)。為什么這時PA+PB最小？假設(shè)L上有一點(diǎn)M（與P點(diǎn)不重合）?！逜點(diǎn)與A’關(guān)于L對稱∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP+BP=A’P+BP=A’B而AM+BM=A’M+MB在△A’MB中，兩邊之和大于第三邊∴A’B<A’M+MB；而M為L上任一點(diǎn)（與P點(diǎn)不重合）。∴動點(diǎn)P在A’B與L交點(diǎn)處時AP+BP最小。2、一定兩動：如圖，點(diǎn)A是將軍和馬居住的營帳，小河L1依然像上題中一樣潺潺流過，P是將軍帶著馬兒喝水的地方，不同的是，這次吃草的地方不在是一個指定的點(diǎn)，而是L2所代表的一片草地，Q則是將軍騎馬吃草的地方，水足草飽以后，將軍和馬兒會再回到營帳。那么，P點(diǎn)、Q點(diǎn)在何處時，將軍走過的路AP+PQ+QA的值最??？解析：做A點(diǎn)關(guān)于L1的對稱點(diǎn)A’；做A點(diǎn)關(guān)于L2的對稱點(diǎn)A‘’；連接A’A‘’，與L1和L2的交點(diǎn)即為P、Q。為什么此時，AP+PQ+AQ的和最??？假設(shè)L1上有點(diǎn)M（不與P重合）、L2上有點(diǎn)N（不與Q重合）?！逜點(diǎn)與A’關(guān)于L1對稱；A點(diǎn)與A‘’關(guān)于L2對稱。∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ=A’P+PQ+A”Q=A’A”；AM+MN+AN=A’M+MN+A”N在四邊形A’MNA”中：A’M+MN+A”N>A’A”∴P、Q位于A’A”與L1和L2的交點(diǎn)處時，AP+PQ+AQ的和最小。?延伸閱讀：如果將上述問題改為：P、Q位于何處時，AP+PQ的和最?。课覀冇之?dāng)如何應(yīng)對？解析：做A點(diǎn)關(guān)于L1的對稱點(diǎn)A’；直接過A’點(diǎn)做L2的垂線；垂足則為Q點(diǎn)，A’Q與L1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)。由圖易知：AP+PQ=A’Q?？梢栽贚1、L2上任選兩點(diǎn)M、N（如圖）。AM+MN=A’M+MN>A’N∵A’Q⊥L2∴A’N>A’Q∴A’M+MN>A’Q；即AP+PQ最小。3、兩定兩動：如圖，點(diǎn)A是將軍和馬居住的營帳，那條千年不變的小河L1仍然沒心沒肺的流過，P是將軍帶著馬兒喝水的地方，L2仍然代表著那片永不枯萎的草地，Q依然是將軍騎馬吃草的地方，水足草飽以后，將軍和馬兒不再回營帳，而是去了位于B點(diǎn)的軍營。那么，P點(diǎn)、Q點(diǎn)在何處時，將軍走過的路AP+PQ+QB的值最?。刻崾荆鹤鯝點(diǎn)關(guān)于L1的對稱點(diǎn)A’；做B點(diǎn)關(guān)于L2的對稱點(diǎn)B’；連接A’B’，與L1和L2的交點(diǎn)即為P、Q。同學(xué)們可以參考前面兩個模型并結(jié)合圖示自己推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論。?總結(jié)：解決“將軍飲馬問題”，一般分四步走。確定定點(diǎn)和動點(diǎn)：當(dāng)圖形比較復(fù)雜、點(diǎn)的個數(shù)比較多時，我們先要鎖定所求目標(biāo)，比如求“AP+BP“最小值，那么，定點(diǎn)和動點(diǎn)就一定在A、B、P三個點(diǎn)里尋找。確定動點(diǎn)所在直線。做定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)。連接對稱點(diǎn)與定點(diǎn)（或另一個對稱點(diǎn)）。4、兩定一線：如圖，你一定猜對了----點(diǎn)A是將軍和馬居住的營帳。那條小河經(jīng)過千年的流淌，終于流成了一條大河，L1、L2分別代表河的兩岸；B點(diǎn)是河對岸的一塊草地；將軍騎著馬要去河對岸的那片草地吃草，為了過河得修座橋，那么橋PQ修到哪里，將軍走的路最短？（橋必須垂直于河岸。）解析：將點(diǎn)B平移至點(diǎn)B’，使BB’的長度與河岸寬度相同，且與河岸垂直。連接AB’，與L1交點(diǎn)即為P，做PQ⊥L2。PQ即為要修的橋。為何此時路徑最短？假設(shè)橋修在MN處，連接AM、MB’、NB。∵BB’∥PQ∥MN，且BB’=PQ=MN?！嗨倪呅蜳QBB’、MNBB’均為平行四邊形∴BQ=B’P；BN=B’M則AP+PQ+QB=AP+PQ+PB’=AB’+PQ而AM+MN+NB=AM+MN+MB’在△AMB’中：AM+MB’>AB’。而MN=PQ∴AM+MN+MB’>AB’+PQ即AM+MN+MB’>AP+PQ+QB∴橋修在PQ的位置時，將軍所走路徑最短。5、一動兩定（差最大）：為了能更清楚的說明問題，這次情景模型有一定的改變。如圖，B點(diǎn)是一家儲備了很多現(xiàn)金的銀行，P代表的是離這家銀行最近的警察局----你猜對了，我們正在策劃一件可怕的事情：搶！銀！行！在銀行和警局之間，一條筆直的馬路橫穿而過。為了順利實施我們的計劃，把車停在代表馬路的什么位置，最利于我們逃跑？（L代表馬路）。相信很多同學(xué)和我一樣，都希望把車停在離銀行最近的地方：即，做BH⊥L。垂足H即為停車點(diǎn)。而這樣的問題是：車確實離我們很近，但離警察也并不遠(yuǎn)。也許，我們剛上車還未關(guān)上車門。警察叔叔就已出現(xiàn)在我們面前，邀請我們?nèi)ニ麄児ぷ鲉挝蝗コ悦赓M(fèi)的午餐。其實，我們真正理想的狀態(tài)是：車可以離我們適當(dāng)遠(yuǎn)一點(diǎn)，比如西安至鄭州；但一定要離警察足夠的遠(yuǎn)，比如地球到月球。即，雙方離車的距離差最大。具體方案如下：做B點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)B’；連接PB并延長與L交于點(diǎn)Q；停車點(diǎn)即為Q?！連Q=B’Q∴PQ與BQ之差，即PQ-BQ=PQ-B’Q=PB’。如果停車點(diǎn)選在Q以外的L點(diǎn)，比如H。則，PH-BH=PH-B’H在△B’HP中，PB’>PH-B’H（兩邊之差小于第三邊）∴車停在Q處時，其差值最大。選址已定，讓我們開始行動吧！二、練習(xí)題：1、在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動點(diǎn)P滿足S矩形ABCD=3S△ABP。求PA+PB的最小值。2、長方形ABCD中，AB=5，BC=10，M、N分別是BD和BC上的動點(diǎn)，求MN+CM的最小值。3、等邊△ABC的邊長為4，E是AB上任意一動點(diǎn)，點(diǎn)D在BC的延長線上，且滿足：AE=BD。、如圖，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，DE=。、如圖，點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，DE與EC滿足什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由。、如圖，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，連接EF，在AB邊上是否存在點(diǎn)E。使DE+EF值最??？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由。4、問題提出：（1）、如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，對角線BD平分∠ABC，點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn)，求AE+BE的最小值。問題解決：（2）、如圖，直線y=-x+4與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為直線AB上的動點(diǎn)，以O(shè)P為邊在其下方作等腰RT△OPQ且，∠POQ=90°，已知點(diǎn)C（0，-4），點(diǎn)D（3,0），連接CQ、DQ。則DQ+CQ是否存在最小值。若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由。5、已知直線y=x+6與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)。點(diǎn)C是OA中點(diǎn)，M是y軸上一點(diǎn)，求BM+2CM的最小值。6、如圖，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，弧BC所對圓心角為60°，點(diǎn)P是弧BC上一動點(diǎn)，E、F是AB、AC上的動點(diǎn)。求C△PEF的最小值。7、如圖，RT△ABC中，AC=BC=6，D為AC中點(diǎn)，E為BC上動點(diǎn)，將△DEC沿DE折疊，C’為C的對應(yīng)點(diǎn)；M、N為AB、BC上兩動點(diǎn)，則△MNC’的周長的最小值為多少？8、如圖，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，E、F分別是AC、BC上兩個動點(diǎn)；且CF=AE，連接BE、AF。求BE+AF的最小值。9、矩形ABCD中，AB=4，BC=4。（1）、點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE=；F為AC上一動點(diǎn)，求EF+DF的最小值。（2）、E為AB上一點(diǎn)，AE=，F(xiàn)為AC上一動點(diǎn)，求EF+BF最小值。（3）、點(diǎn)E、F為對角線A、C上兩點(diǎn)，且EF=2，求DE+BF最小值。（4）、E、F為對角線AC上兩動點(diǎn)，EF=2，求DE+DF最小值。（5）、E、F分別為AB、CD上兩動點(diǎn)，EF⊥AC，求DE+BF最小值。10、如圖，在矩形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，且AE=CF，當(dāng)BF+CE最小時，求AE的長。11、菱形ABCD邊長為10，對角線BD=16，P、Q為BD上的動點(diǎn)。PQ=2，E為AB中點(diǎn)，求EPQA最小值。12、在等邊△ABC中，AB=4；D、E、F分別是AB、BC和AC三個邊上的動點(diǎn)。求DE+DF的最小值。13、如圖1，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)（6,0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線y=2x交于點(diǎn)C(a,4)。、求c點(diǎn)坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；、如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)E作直線l⊥x軸于點(diǎn)E，交直線y=2x于點(diǎn)F，交直線y=kx+b于點(diǎn)G，若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（4,0）。①求△CGF的面積。②直線l上是否存在點(diǎn)P，使OP+BP的值最??？若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)。、若（2）中的點(diǎn)E是x軸正半軸上一動點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動時，直線l上存在點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等？請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)。14、長方形ABCD中，AB=20，BC=15；E、F是AC、CD上兩個動點(diǎn)，AE=CF，求BE+BF最小值。15、在△ABC中，∠BAC=30°，BC=2；△ABC的面積是6；點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB和AC上的動點(diǎn)。連接DE、EF和DF。求△DEF周長的最小值。16、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA的解析式為y=x，動線段BC在射線OA上，動線段EF在X軸正半軸上，且BC=2，EF=，點(diǎn)D為∠AOF內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D到直線OA、x軸的距離分別為2和1，求點(diǎn)D到B、C、E、F四個