高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1_4導數(shù)在實際生活中的應用課件蘇教版選修2_2

1.4 導數(shù)在實際生活中的應用,第1章 導數(shù)及其應用,學習目標 1.了解導數(shù)在解決實際問題中的作用. 2.掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.,題型探究,知識梳理,內(nèi)容索引,當堂訓練,知識梳理,知識點 生活中的優(yōu)化問題,1.生活中經(jīng)常遇到求用料最省、利潤最大、效率最高等問題，這些問題通常稱為 . 2.利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是 . 3.解決優(yōu)化問題的基本思路：,上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的 過程.,優(yōu)化問題,求函數(shù)最值,數(shù)學建模,題型探究,例1 如圖所示，在二次函數(shù)f(x)4xx2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形面積的最大值.,解答,類型一 平面幾何中的最值問題,解 設點B的坐標為(x,0)，且0x2， f(x)4xx2圖象的對稱軸為x2， 點C的坐標為(4x,0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面積為y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)，,平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導數(shù)，求極值，從而求最值.,反思與感悟,跟蹤訓練1 如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強度系數(shù)為k，k0).要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，斷面的寬x應為_.,答案,解析,解析 設斷面高為h，則h2d2x2. 設橫梁的強度函數(shù)為f(x)， 則f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd. 令f(x)k(d23x2)0，,例2 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設計要求容器的體積為 立方米.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱體部分每平方米建造費用為3千元，半球體部分每平方米建造費用為4千元.設該容器的總建造費用為y千元.,類型二 立體幾何中的最值問題,解答,(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；,兩端兩個半球的表面積之和為4r2.,(2)確定r和l為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用.,令y0，得0r2.,解答,引申探究 在本例中，若r(0,1，求最小建造費用.,解 由例2(2)可知，,解答,當r1時，ymin136. 最小建造費用為136 千元.,(1)立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積，在此基礎上解決與實際相關(guān)的問題. (2)解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式，如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進行拆分或組合，以便簡化求值過程.,反思與感悟,跟蹤訓練2 周長為20 cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為_ cm3.,答案,解析,解析 設矩形的長為x cm， 則寬為(10x) cm (0x10). 由題意可知圓柱體積為 Vx2(10x)10x2x3. V20x3x2，,命題角度1 利潤最大問題 例3 已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷 售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x),類型三 實際生活中的最值問題,(1)求年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；,解答,解 當0x10時，,(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值.,解答,所以當0x9時，W單調(diào)遞增， 當9x10時，W單調(diào)遞減， 所以當x9時，Wmax38.6.,所以當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元.,解決此類有關(guān)利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系 (1)利潤收入成本. (2)利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù).,反思與感悟,跟蹤訓練3 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng) 10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克. (1)求a的值；,解答,所以a2.,(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,解答,210(x3)(x6)2,3x6. 從而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6). 列表如下.,由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點. 所以當x4時，函數(shù)f(x)取得最大值為42. 答 當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,命題角度2 費用(用材)最省問題 例4 已知A、B兩地相距200 km，一只船從A地逆水行駛到B地，水速為8 km/h，船在靜水中的速度為v km/h(8vv0).若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v12 km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？,解答,解 設每小時的燃料費為y1，比例系數(shù)為k(k0)， 則y1kv2，當v12時，y1720， 720k122，得k5. 設全程燃料費為y，由題意得,令y0，得v0(舍去)或v16， 當v016，即v16 km/h時，全程燃料費最省，ymin32 000(元)；,當v016，即v(8，v0時，y0， 即y在(8，v0上為減函數(shù)，,綜上，當v016時，即v16 km/h時全程燃料費最省， 為32 000元；,(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結(jié)合實際作答. (2)利用導數(shù)的方法解決實際問題，當在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值.,反思與感悟,跟蹤訓練4 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x) (0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式；,解答,解 設隔熱層厚度為x cm，,而建造費用為C1(x)6x. 因此得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為,(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值.,解答,當00，,答 當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值為70萬元.,當堂訓練,1.方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為_.,答案,2,3,4,5,1,解析 設底面邊長為x，高為h，,解析,4,令S(x)0，解得x8，判斷知當x8時，S(x)取得最小值.,2.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù)，y117x2；生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y22x3x2(x0)，為使利潤最大，應生產(chǎn)_千臺.,答案,2,3,4,5,1,解析,6,解析 構(gòu)造利潤函數(shù)yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，令y0，得x6(x0舍去)，x6是函數(shù)y在(0，)上惟一的極大值點，也是最大值點.,3.將一段長100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓形，當正方形與圓形面積之和最小時，圓的周長為_ cm.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,解析 設彎成圓形的一段鐵絲長為x，則另一段長為100x. 設正方形與圓形的面積之和為S，,2,3,4,5,1,4.要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_元.,2,3,4,5,1,答案,解析,160,當x2時，ymin160.,5.某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0x21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件. (1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；,2,3,4,5,1,解答,解 設商品降價x元，則多賣出的商品件數(shù)為kx2. 若記商品一個星期的獲利為f(x)，則有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知條件，得24k22，于是k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？,2,3,4,5,1,解答,解 根據(jù)(1)得，f(x)18x2252x432 18(x2)(x12). 列表如下.,故當x12時，f(x)取得極大值. 因為f(0)9 072，f(12)11 664. 所以定價為301218(元)，才能使一個星期的商品銷售利潤最大.,規(guī)律與方法,1.利用導數(shù)解決生活中實際問題的一般步驟 (1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學