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數(shù)學(xué)歸納法典型例題一. 教學(xué)內(nèi)容:高三復(fù)習(xí)專題:數(shù)學(xué)歸納法二. 教學(xué)目的掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用三. 教學(xué)重點、難點數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用四. 知識分析【知識梳理】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法,在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途,因而成為高考的熱點之一。近幾年的高考試題,不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論,而且加強(qiáng)了對于不完全歸納法應(yīng)用的考查,既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論,又要求能證明結(jié)論的正確性,因此,初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式,就顯得特別重要。 一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n = n 0時命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)n = k()時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立。 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。 數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯,它的第一步稱為奠基步驟,是論證的基礎(chǔ)保證,即通過驗證落實傳遞的起點,這個基礎(chǔ)必須真實可靠;它的第二步稱為遞推步驟,是命題具有后繼傳遞性的保證,即只要命題對某個正整數(shù)成立,就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立,兩步合在一起為完全歸納步驟,稱為數(shù)學(xué)歸納法,這兩步各司其職,缺一不可,特別指出的是,第二步不是判斷命題的真?zhèn)?,而是證明命題是否具有傳遞性,如果沒有第一步,而僅有第二步成立,命題也可能是假命題?!疽c解析】 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步,即nk1時為什么成立,nk1時成立是利用假設(shè)nk時成立,根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出nk1時成立,而不是直接代入,否則nk1時也成假設(shè)了,命題并沒有得到證明。 用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題,但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的,學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析。 2、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時易犯的錯誤 (1)對項數(shù)估算的錯誤,特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時,項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯。 (2)沒有利用歸納假設(shè):歸納假設(shè)是必須要用的,假設(shè)是起橋梁作用的,橋梁斷了就通不過去了。 (3)關(guān)鍵步驟含糊不清,“假設(shè)nk時結(jié)論成立,利用此假設(shè)證明nk1時結(jié)論也成立”,是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步,也是證明問題最重要的環(huán)節(jié),對推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整,注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性?!镜湫屠}】 例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:時,。解析:當(dāng)時,左邊,右邊,左邊=右邊,所以等式成立。假設(shè)時等式成立,即有,則當(dāng)時,所以當(dāng)時,等式也成立。由,可知,對一切等式都成立。點評:(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式,命題關(guān)鍵在于“先看項”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項,項的多少與n的取值是否有關(guān),由到時等式的兩邊會增加多少項,增加怎樣的項。(2)在本例證明過程中,(I)考慮“n取第一個值的命題形式”時,需認(rèn)真對待,一般情況是把第一個值代入通項,考察命題的真假,(II)步驟在由到的遞推過程中,必須用歸納假設(shè),不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。本題證明時若利用數(shù)列求和中的拆項相消法,即,則這不是歸納假設(shè),這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。(3)在步驟的證明過程中,突出了兩個湊字,一“湊”假設(shè),二“湊”結(jié)論,關(guān)鍵是明確時證明的目標(biāo),充分考慮由到時,命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。 例2. 。解析:(1)當(dāng)時,左邊,右邊,命題成立。(2)假設(shè)當(dāng)時命題成立,即,那么當(dāng)時,左邊。上式表明當(dāng)時命題也成立。由(1)(2)知,命題對一切正整數(shù)均成立。 例3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù)n,不等式成立。解析:當(dāng)時,左=,右,左右,不等式成立。假設(shè)時,不等式成立,即,那么當(dāng)時,時,不等式也成立。由,知,對一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立。點評:(1)本題證明命題成立時,利用歸納假設(shè),并對照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來實現(xiàn),也可以用上歸納假設(shè)后,證明不等式成立。(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時要注意兩個步驟缺一不可,第步成立是推理的基礎(chǔ),第步是推理的依據(jù)(即成立,則成立,成立,從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立)。另一方面,第步中,驗證中的未必是1,根據(jù)題目要求,有時可為2,3等;第步中,證明時命題也成立的過程中,要作適當(dāng)?shù)淖冃?,設(shè)法用上歸納假設(shè)。 例4. 若不等式對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論。解析:取,。令,得,而,所以取,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,(1)時,已證結(jié)論正確(2)假設(shè)時,則當(dāng)時,有,因為,所以,所以,即時,結(jié)論也成立,由(1)(2)可知,對一切,都有,故a的最大值為25。 例5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:能被9整除。解析:方法一:令,(1)能被9整除。(2)假設(shè)能被9整除,則能被9整除。由(1)(2)知,對一切,命題均成立。方法二:(1),原式能被9整除,(2)若,能被9整除,則時時也能被9整除。由(1),(2)可知,對任何,能被9整除。點評:證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項”,而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出時的情形,從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。 例6. 求證:能被整除,。解析:(1)當(dāng)時,命題顯然成立。(2)設(shè)時,能被整除,則當(dāng)時,。由歸納假設(shè),上式中的兩項均能被整除,故時命題成立。由(1)(2)可知,對,命題成立。 例7. 平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都交于兩點,且無三個圓交于一點,求證:這n個圓將平面分成個部分。解析:時,1個圓將平面分成2部分,顯然命題成立。假設(shè)時,個圓將平面分成個部分,當(dāng)時,第k+1個圓交前面k個圓于2k個點,這2k個點將圓分成2k段,每段將各自所在區(qū)域一分為二,于是增加了2k個區(qū)域,所以這k+1個圓將平面分成個部分,即個部分。故時,命題成立 。由,可知,對命題成立。 點評:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”,即幾何元素從k個變成k+1個時,所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析,在實在分析不出來的情況下,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。 例8. 設(shè),是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù),使等式對于的一切自然數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論。解析:當(dāng)時,由,得,當(dāng)時,由,得,猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時,等式恒成立。當(dāng)時,由上面計算知,等式成立。假設(shè)成立,那么當(dāng)時,當(dāng)時,等式也成立。由知,對一切的自然數(shù)n,等式都成立。故存在函數(shù),使等式成立。點評:(1)歸納、猜想時,關(guān)鍵是尋找滿足條件的與n的關(guān)系式,猜想的關(guān)系未必對任意的都滿足條件,故需用數(shù)學(xué)歸納法證明。(2)通過解答歸納的過程提供了一種思路:可直接解出,即?!灸M試題】 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時,能被整除”時,第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成 A. 假設(shè)時,命題成立B. 假設(shè)時,命題成立C. 假設(shè)時,命題成立D. 假設(shè)時,命題成立 2. 證明,假設(shè)時成立,當(dāng)1時,左端增加的項數(shù)是 A. 1項 B. 項 C. k項 D. 項 3. 記凸k邊形的內(nèi)角和為,則凸邊形的內(nèi)角和( ) A. B. C. D. 4. 某個命題與自然數(shù)n有關(guān),若時命題成立,那么可推得當(dāng)時該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)時,該命題不成立,那么可推得 A. 當(dāng)時,該命題不成立B. 當(dāng)時,該命題成立C. 當(dāng)n=4時,該命題不成立D. 當(dāng)n=4時,該命題成立 5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明時,由到時,不等式左邊應(yīng)添加的項是 A. B. C. D. 6. (5分)在數(shù)列中,且,2成等差數(shù)列(表示數(shù)列的前n項和),則,分別為_;由此猜想_。 7. (5分)已知對一切都成立,那么a=_,b=_,c=_。 8. (14分)由下列各式:,你能得出怎樣的結(jié)論?并進(jìn)行證明。 9. (16分)設(shè)數(shù)列滿足,。(1)證明:對一切正整數(shù)n均成立;(2)令,判斷與的大小,并說明理由。 10. (14分)已知函數(shù),設(shè)數(shù)列滿足,數(shù)列滿足,。(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(2)證明:。 11. (16分)(2006年,江西)已知數(shù)列滿足:,且。(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:對一切正整數(shù)n,不等式恒成立。 【試題答案】 1. B 2. D 3.
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