概率論與數(shù)理統(tǒng)計 全套PPT課件 共計355P

概率論與數(shù)理統(tǒng)計 對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測、試驗，以取得有代表性的觀測值 對已取得的觀測值進(jìn)行整理、分析 ,作出推斷、決策 ,從而找出所研究的對象的規(guī)律性 數(shù) 理 統(tǒng) 計 的 分 類 描述統(tǒng)計學(xué) 推斷統(tǒng)計學(xué) 第一節(jié) 基本概念 一、總體和個體 二、樣本 簡單隨機(jī)樣本 一、總體和個體 一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象 . 研究某批燈泡的質(zhì)量 研究對象的全體稱為 總體 (母體 )， 組成總體的每個元素稱為 個體 . 總體 然而在統(tǒng)計研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個個體的一項 (或幾項 )數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況 . 這時，每個個體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體 . 某批 燈泡的壽命 該批燈泡壽命的全體就是總體 國產(chǎn)轎車每公里 的耗油量 國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體 所研究的對象的某個 (或某些 )數(shù)量指標(biāo)的全體稱為總體 ,它是一個隨機(jī)變量 (或多維隨機(jī)變量 )，記為 X . X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體分布函數(shù)和總體數(shù)字特征 . 總體： 例如 :研究某批燈泡的壽命時，總體 其中每個燈泡的壽命就是個體。 每個 燈泡的壽命 個體 總體 國產(chǎn)轎車每公里 的耗油量 國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體 又如 :研究某批國產(chǎn)轎車每公里的耗油量時，總體 其中每輛轎車的耗油量就是個體。 類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用 分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量 (X,Y) 來表示，而每個學(xué)生的身高和體重就是個體 . 為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為 “抽樣” ，所抽取的部分個體稱為 樣本 . 樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量 . 二、樣本 簡單隨機(jī)樣本 1）抽樣和樣本 樣本的抽取是隨機(jī)的，每個個體是一個隨機(jī)變量 2,X 而一旦取定一組樣本，得到的是 (x1, 稱其為樣本的一個觀察值，簡稱 樣本值 . 2, 由于抽樣的目的是為了對總體進(jìn)行統(tǒng)計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法 簡單隨機(jī)抽樣 ”，它要求抽取的樣本滿足下面兩點 : 1. 樣本 2, 有相同的分布 . 2）簡單隨機(jī)樣本 由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為 簡單隨機(jī)樣本 ，它可以用與總體獨(dú)立同分布的 1, 簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“ 2, ，若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本 . 設(shè) 2, 總體 1)若 分布律是 p(x)，則 2, p(p ( p ( 2)若 概率密度是 f(x)，則 2, f (f ( f ( 事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值 . 如我們從某班大學(xué)生中抽取 10人測量身高，得到 10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本 . 我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量 . 3）總體、樣本、樣本值的關(guān)系 統(tǒng)計是從手中已有的資料 樣本值，去推斷總體的情況 總體分布 F(x)的性質(zhì) . 總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體 . 樣本是聯(lián)系二者的橋梁 4）經(jīng)驗分布函數(shù) 設(shè) 2, 的樣本， x1, 對于每個固定的 x，設(shè)事件Xx在 vn(x)，于是事件 Xx發(fā)生的頻率為： ()() x 顯然 Fn(x)為不減右連續(xù)函數(shù)，且 ( ) 0 , ( ) 1 稱 Fn(x) 為樣本分布函數(shù)或經(jīng)驗分布函數(shù) . 定理（格列文科）當(dāng) n 時，經(jīng)驗分布函數(shù) Fn(x) 依概率 1關(guān)于 li m s u p | ( ) ( ) | 0 1nn x F x 定理表明： 當(dāng)樣本容量 驗分布函數(shù) Fn(x) 幾乎一定會充分趨近總體分布函數(shù) F(x),這是用樣本來推斷總體的理論依據(jù) . 第二節(jié) 統(tǒng)計量與抽樣分布 一、統(tǒng)計量 二、統(tǒng)計學(xué)中三個常用分布和上 分位點 三、抽樣分布定理 一、統(tǒng)計量 由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）信息集中起來 . 定義 中不含有任何的未知參數(shù)，則稱函數(shù) g(,X n) 如果樣本 ,X g(,X n) 為統(tǒng)計量 . g(,x n)為統(tǒng)計量 g(,X n)的一個 若 , 稱函數(shù)值 觀察值 . 若 , 2 已知 , 則 ,11是統(tǒng)計量， 而 例如： 是 X 的一個樣本 , , 21 則 是統(tǒng)計量 . ,(NX 2 2, 是未知參數(shù) , 幾個常用的統(tǒng)計量 樣本均值 樣本方差 XX(的信息 它反映了總體方差 的信息 樣本 樣本 1k=1,2, 它反映了總體 k 階矩 的信息 它反映了總體 k 階 中心矩的信息 它們的觀察值分別為： (111由大數(shù)定律可知： ( 例 1. 從一批相同的電子元件中隨機(jī)地抽出 8個，測得使用壽命（單位：小時）分別為： 2300， 2430， 2580， 2400，2280， 1960， 2460， 2000，試計算樣本均值、樣本方差及樣本二階矩 . 解： 小時） 0 1(11 ）（小時 278 26（小時 7 8 62抽樣分布 統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，而樣本是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，它的分布稱為 “抽樣分布” . 二、統(tǒng)計學(xué)中三個常用分布和上 分位點 下面介紹三個來自正態(tài)總體的抽樣分布 . )n( 222 分布 1、 定義 : 設(shè) 相互獨(dú)立 ,都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 X,X 21222212 N(0,1), 則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度為 n 的 分布，記為 22 分布的概率密度為 其它00)2(21)(2122其中 ）（ 001 s( ( 2處的值 . n=1 n=4 n=10 f(y) 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x 所改變 . 2 分布的概率密度圖形如下： 2顯然 分布的概率密度圖形隨自由度的不同而 性質(zhì) 1. ),( 22 )(,)( 22 則 證 明： 設(shè) n,i),(N110 X,X 21相互獨(dú)立 ,則 ,)X(D,)X(E 0 2n）（ 22 )X(E)X(D)X(E ,13 2244 )()( 2242 (這個性質(zhì)稱為 分布的可加性 . 2性質(zhì) 2. )( 2122221 ),( 1221 ),( 2222 21 與 22相互獨(dú)立，則 t 的概率密度為 ： 2121221 n)n)n()n()t( 設(shè) X N( 0 , 1 ) , Y 所服從的分布為自由度為 n 的 t 分布 t t (n). )(2 t 分布 ，且 X 與 Y 相互 獨(dú)立，則稱變量 n=4 n=10 n=1 xt(x;n) o t=0對稱，且 當(dāng) n30)，其圖形與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的圖形非常接近 n，t 分布與 N (0,1)分布相差很大 . 由定義可見， 3、 則稱統(tǒng)計量 服從自由度為 的 21121F(n2,),n(Y),n(X 2212定義 : 設(shè) X 與 Y 相互獨(dú)立， 作 FF(n1,. 0001)()()()()()(2222212112121212121F(n1,則 xo)n,n;x(f 212統(tǒng)計的三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記！ 4、上 分位點 )(定義： 設(shè)隨機(jī)變量 f(x),對于 任意給定的 (045）， 2其中 分位點 22 )12(21 3）對于 t 分布 a)由其對稱性，有： )()(1 b) 當(dāng) n45）， )(4）對于 ： ),(1),(12211例 2. 查表求下列值 ： ，)5()6()9,10(2,28()( . 2022503 6 4 (t)6()6( ,10( 9 4 3 )28,2(1)2,28(F 8 2 0(2 ， 010332010 )3,0( 2和 服從 分布，而 , X 9 和 , Y 9 292221921的分布 . 分別是來自 的簡單隨機(jī)樣本，求統(tǒng)計量 解： )9,0( NX i )81,0(91)1,0(991 )9,0( NY i )1()3( 22 Y i)9(99291291281/9/91291( ,X 15是來自 求 )2,0( 2服從 分布，而 )的分布 . 統(tǒng)計量 解： )2,0( 2NX i )1()2( 22 X i)10(44210121012)5(442151121511220402152122112102221/) ）（)Y )5,10( F 當(dāng)總體為 正態(tài)分布 時，教材上給出了幾個重要的抽樣分布定理 三、抽樣分布定理 定理 1 設(shè) 2, ),( 2有 ),(2（ 1）樣本均值 （ 2）樣本均值 與樣本方差 相互獨(dú)立。 X 2S（ 3）隨機(jī)變量 22)1（ ）（）（1 2221 2 設(shè) 2, ),( 2 2 分別為樣本均值和樣本方差 , 則有 )1( 定理 3 (兩個總體樣本均值差的分布 ) )2(112)1()1()(21212122221121 ，設(shè) ),(),( 2221 獨(dú)立 , 分別是這兩個樣本的樣本均值 , 自 分別是這兩個樣本的樣本方差 ,則有 2221 是取自 , 1Y 2, 2 定理 4 (兩個總體樣本方差比的分布 ) )1,1( 2122222121 ，設(shè) ),(),( 222211 立 , 分別是這兩個樣本的樣本均值， 分別是這兩個樣本的樣本方差 ,則有 2221 1, 是取自 2, 2上述 4個抽樣分布定理很重要，要牢固掌握 . 的概率不小于 90%,則樣本容量至少取多少 ? 例 ( 7 2 , 1 0 0 )為使樣本均值大于 70的概率 解： 設(shè)樣本容量為 n , 則 )1 0 0,72( 0( 0(1 6 0 2 42. 從正態(tài)總體 ),( 2，抽取了 n = 20的樣本 1 2 2 0, , ,X X (1) )19(119 22012222即 )1()1( 22220 222111 0 . 3 8 1 6 5 1 . 8 0 9 5 520 X （ ） 20222112 0 . 3 7 1 7 1 . 7 0 8 520 （ ）故 191361633720122 19136163371 2012220122 查表 20 222111 0 . 3 8 1 6 5 1 . 8 0 9 5 520 X （ ）(2) )20( 22012 故 20222112 0 . 3 7 1 7 1 . 7 0 8 520 （ ）3 掌握給出的四個抽樣分布定理。 第六章 小 結(jié) 體、樣本和統(tǒng)計量的概念，要掌 分布、 會 2查表求其上 分位點。 握樣本均值和樣本方差的計算及基本性質(zhì)。 附： 幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 一 二 三 四 五 六 一 X 0 1 1 p )( )( 2 )1()( 若隨機(jī)變量 分布律為： 二 隨機(jī)變量 XB(n,p),其分布律為： ,2,1,)1( 由二項分布定義可知， X是 發(fā)生的次數(shù)，且在每次試驗中 p，設(shè) k ,2,1,01次不發(fā)生在第次發(fā)生在第則 分布律為： X 0 1 1 p ,)( k )1()( 21)( )()( 21 1( )()()( 21 )1()()( ，若隨機(jī)變量 XB( n , p ),則 即： 三 隨機(jī)變量 ，其分布律為： )( X,2,1,0,! 0 !)( 11)!1( 22 )()()( 即： )(,)()( 2)1( )()1( 0 !)1( 222)!2( 2若隨機(jī)變量 X(),則 四 設(shè)隨機(jī)變量 a,b)上服從均勻分布，其概率密度為 ,01)(其它 ()( 1 2)( 22)(333322 22 )()()( 4232222 12)( 2即 12)()(,2)(2若隨機(jī)變量 XU( a , b ),則 五 隨機(jī)變量 ，其概率密度為： ),( 21)(222)( ()( 21 （令 ） 22)(21 )()( 2 221)( （令 ） 222)(2 22222)(,)( 即 若隨機(jī)變量 XN（ ,2 ） , 則 六 隨機(jī)變量 的指數(shù)分布 ，其概率密度為： 0001)( ()( 01 x 0（ 00|）（0| ()( 22 02 1 x 02 （0|2 2 02 20|）（ 02 （ 020|2 ）（，22 22 )()()( 2若隨機(jī)變量 的指數(shù)分布 ，則 即 2)()( ，例 求 ,)3( X ,12 )()(1(3 2 ,)3( X 則 ,3)( )( )(2 )(4 12)1(3 2 )(3 2 ()(3 2 3,)9,1( 1， 5)上服從均勻分布 , 例 和 1， 5)上服從均勻分布， 求 (1) (X,Y)的概率密度 ;(2) ,)243( 243( 9,1( 5141)(其它 3)( 5( 234,231)( 18)1( 21)( )( 和 )()(),( X 其它0,51,212118)1(2243( )(4)(3 )243( ()4()(9 2 156 概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定律 第一節(jié) 大數(shù)定律 一個常數(shù)，若對于任給的正數(shù) 0, 總成立 1|定義 , 21 是一個隨機(jī)變量序列， a 是 則稱 隨機(jī)變量 序列 ,21 a， 記為 ）（ ）（）（ n）（ ， g（ x） 是連續(xù) 函數(shù)，則 ）（，（），（ （ g（ x , y） 是二元連續(xù)函數(shù)，則 ，）（ n 設(shè) 發(fā)生的次數(shù)為 n， p ，則對任給的 0，總成立 定理 1（貝努利大數(shù)定律） 1| ）（ 貝努里大數(shù)定律的意義 在概率的統(tǒng)計定義中 , 事件 A 發(fā)生的頻率 “ 穩(wěn)定于” 事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率是指：頻率 與 p 大時可以用頻率近似代替 p . 因而在 n 足夠 貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法 . 定理 2（契比雪夫大數(shù)定律的特殊情形） 1|1, 相互獨(dú)立，并且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差， E(， D(2,i=1,2, , 則對任給的 0，總成立 即 ）（ 的意義 具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望 n 足夠大時 , 實驗結(jié)果的算術(shù)平均幾乎是一常數(shù) . 因此，在實際應(yīng)用中，當(dāng)試驗次數(shù) 足夠大時 ,可用獨(dú)立重復(fù)試驗結(jié)果的 算術(shù)平均數(shù)來估計隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 . 定理 3（契比雪夫大數(shù)定律的一般情形） 1|11|1, 相互獨(dú)立，它們都具有數(shù)學(xué)期望： E(i，并且都 具有被同一常數(shù) D( 0，總成立 2）（ 望的算術(shù)平均的概率接近于 1. 即當(dāng) 差不多不再是隨機(jī)的了，取值 定理 3的意義 定理表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列 如果方差有共 其數(shù)學(xué)期望 X(. 同的上界，則 偏差很 設(shè)隨機(jī)變量序列 2, 相互獨(dú)立，服從同一分布，具有相同的數(shù)學(xué)期 望 E(, i=1,2, ， 則對于任給正數(shù) 0 ，總成立 定理 4 （辛欽大數(shù)定律） 1|1|）（ 1| 設(shè)隨機(jī)變量序列 2, 相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的 k 階矩 ，）（ 21 0，總成立 即 ）（ 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一： 它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn) 平均結(jié)果的穩(wěn)定性 第二節(jié) 中心極限定理 客觀背景： 客觀實際中，許多隨機(jī)變量是由大量 相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小 因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來， 卻對總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從 正態(tài)分布。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。 由于無窮個隨機(jī)變量之和可能趨于 ，故我們不研究 )()(的極限分布 . 下面介紹常用的三個中心極限定理。 1定理 1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理） 設(shè) 2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(， D(2， i=1,2, ，則 定理表明： 當(dāng) 準(zhǔn)化隨機(jī)變量 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 . 1由此可知：對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng) 些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布 1 , 2 , , ) 2,N n n) 至少命中 180發(fā)炮彈的概率 ; (2) 命中的炮彈數(shù)不到 200發(fā)的概率 . 例 100 次 , 每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布 , 其數(shù)學(xué)期望為 2 , 均方差為 若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的 , 求 100 次轟擊中 解： 設(shè) X k 表示第 k 次轟擊命中的炮彈數(shù)， 100,2,1,2)( 2 X 表示 100次轟擊命中的炮彈數(shù) ,則 ,1 0 01 有 ）， 10152 0 0 (NX 近似則 10021 , 相互獨(dú)立， 又 ,2 2 5)(,2 0 0)( ) 180 ) 2 0 00 8 ）（ 1 152 0 02 0 0152 0 0152 0 00 152 0 )0( )1)0( 15 2 0 01 8 015 2 0 0 于售出哪一種蛋糕是隨機(jī)的，因而售出一只蛋糕的價格是一個隨機(jī)變量，它取 1(元 )， 元 )， )各值的概率分別為 00只蛋糕 00 (元 )的概率 解： 設(shè)第 i， i=1,2, ,300,則 P 1 i ( 2)( ）（）（ 由獨(dú)立同分布中心極限定理知： 即 )10(，近似)10(，2 4003001 3 0 74 0 08 3 0 73001 0 73001 1 0 0 0 9 定理 2(德莫佛拉普拉斯中心極限定理） )1(設(shè) 發(fā)生的次數(shù)為 n,事件 p,則對于任給實數(shù) x,總成立 2221 定理表明： 若 服從二項分布，當(dāng) nY ( n 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 由此可知：當(dāng) 00, 求 ， 的矩估計 . 解 : 1() x e d x xx d e （ ）|e e d x （ ）|22 1() x e d x 2xx d e （ ） 2 |2e x e d x （ ）2 2 E (X )2222 2 12xx e d x 令 解得 用樣本矩估計 總體矩 ,X 2 2 21122 知： 不論總體為何分布，總體均值的矩估計量總是 ，抽取 10只燈泡，測得其壽命為 (單位 :小時 ) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200， 1250, 1040, 1130, 1300, 1200， 試用矩法估計該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的方差 . 解： 27 )(1147101 101 1021110 （ ）2B 26 8 2 1 ( ) 二、 極大似然估計法 即：在一次試驗中，概率最大的事件最有可能發(fā)生 . 引例 : 有兩個外形相同的箱子 ,各裝 100個球，一箱中 取得的球是白球 所取的球來自哪一箱？ 答 : 第一箱 . 中有 99個白球 1個紅球，一箱中有 1個白球 99個紅球。 現(xiàn)從兩箱中任取一箱 , 并從箱中任取一球 ,結(jié)果所 一般說，若事件 有關(guān)， 取值不同， P(A)也不同。則應(yīng)記 事件 (A| )件 認(rèn)為此時的 值應(yīng)是在 中使 P(A| ) 達(dá)到最大的那一個 。這就是 極大似然原理 . （極大似然原理） 極大似然估計法的理論依據(jù)： 2, 的樣本， 則 樣本的聯(lián)合分布律為： 12 ( , , , ) x p x 似然函數(shù)： 121( , , , ) 其中 12, k 為 未知待估參數(shù)， 1 1 2 2 , , , x X x X x 1 1 2 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) ( , , , )k k n kp x p x p x 1. 散型總體，其分布律為 : 記 1 2 1 21( , , ) ( , , , )nk i p x 12( , , , ) 2. 續(xù)型總體，其概率密度為 為其樣本的似然函數(shù) . 則稱 1 2 1 21( , , ) ( , , , )nk i f x 稱 為樣本的似然函數(shù) . 12( , , ) 似然函數(shù) 12( , , ) 的值的大小實質(zhì)上反映的是 該樣本值出現(xiàn)的可能性大小 . 極大似然估計的 方法： 對于給定的樣本值 ,選取 12, , ,k， 使得其 似然函數(shù) 12( , , ) 達(dá)到最大值。即求 12 ( , ) , 1 , 2 ,i i nx x x i k ， ，使得 1 2 1 2 , , , ) m a x ( , , )（ ， 7 1 1 212 ( , , , ) ( , , , )nk k nx x xx x x稱為未知參數(shù) 1, ,k 的極大似然估計值 這樣得到的估計值 對應(yīng)的統(tǒng)計量 1 1 1 212 ( , , , ) ( , , , )nk k X稱為未知參數(shù) 1,k 的 極大似然估計量 (1) 由總體分布和所給樣本，求得似然函數(shù) 步驟： 1 2 1 21( , , ) ( , , , )nk i f x (2) 求似然函數(shù) 12( , , ) 的對數(shù)函數(shù)函數(shù) （化積商為和差，而 12l n ( , , ) 和 12( , , ) 同時取得最大值） 1 2 1 21l n ( , , ) l n ( , , , )nk i f x (3) 解方程組 121l n ( , , )0 122l n ( , , )0 12l n ( , , ) 0 74) 得未知參數(shù) 1, ,1 1 1 212 ( , , , ) ( , , , )nk k nx x xx x x及其對應(yīng)的極大似然估計量 1 1 1 212 ( , , , ) ( , , , )nk k X7待估參數(shù)只有一個，則似然函數(shù)是一元函數(shù) L()，此時，只須將上述步驟中求偏導(dǎo)改為求導(dǎo)即可。 說明： ,1,0,!)();( . 設(shè)總體 X 服從參數(shù)為 )0( 的泊松分 布，求參數(shù) 的極大似然估計量 解： 的樣本，樣本觀察值為 ),( 21 由 X 服從泊松分布，得 ),( 21 為從總體 設(shè) ni 1 !)(似然函數(shù)為 ! . . . .!兩邊取對數(shù)，得 n n ()(d)(0 得 對 求導(dǎo)，并令其為 0， 11所以參數(shù) 的極大似然估計量為： 000),(1其中 0 總體 X 的樣本值，求參數(shù) 的極大似然估計值 . 例 6. 設(shè)總體 為待估參數(shù)， a0是已知常數(shù)， ),( 21 是取自 解 : ()(11 11)(兩邊取對數(shù)，得 )(x)xl n ()1a(對 求導(dǎo) ,并令其為 0， (得 的極大似然估計值 . 0 1 2 322 2 (1 ) 12 是未知參數(shù) ， 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3， 是來自總體 求參數(shù) 的極大似然估計值 . ）（210 例 7. 設(shè)總體 解： )( L 2211221 ）（）（）（）（）（）（ 211221 2 246 1214 ）（）（ 兩邊取對數(shù)，得 )(L )1l n (2)21l n (4 對 求導(dǎo)，并令其為 0， =0 得 12137 12137 和 因為 ,2112137不合題意， 所以 的極大似然估計值為 12137 ( 設(shè) 的函數(shù) g=g()是 上的實值函數(shù) ,且有唯一反函數(shù) . 如果 是 的極大似然估計，則 g( )也是 g( )的極大似然估計 . 關(guān)于極大似然估計的兩點說明： 此性質(zhì)稱為 極大似然估計的不變性 例 8. 設(shè) 2 ， ， 的指數(shù)分布 總體的樣本，