七年級(jí)上冊(cè)《實(shí)數(shù)》教學(xué)案例

1、七年級(jí)上冊(cè)實(shí)數(shù)教學(xué)案例教學(xué)目標(biāo)知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng);學(xué)會(huì)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小;了解在有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算及運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)等在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，能熟練地進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算;在實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算;通過(guò)學(xué)習(xí)“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。難點(diǎn)：對(duì)“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”的理解。教學(xué)準(zhǔn)備教師：直徑為1cm的硬紙板的圓。教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明試一試我們知道有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，但是數(shù)軸上的點(diǎn)是否都表示有理數(shù)?無(wú)理數(shù)可以用數(shù)軸

2、上的點(diǎn)來(lái)表示嗎?課件演示課本第175頁(yè)探究題;學(xué)生動(dòng)手操作，利用課前準(zhǔn)備好的硬紙板的圓片在自己畫(huà)好的數(shù)軸上實(shí)踐體會(huì)。你能在數(shù)軸上畫(huà)出坐標(biāo)是2的點(diǎn)嗎?畫(huà)一畫(huà)，說(shuō)說(shuō)你的方法。教師啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論：每一個(gè)無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示出來(lái)。練習(xí)：學(xué)生自己完成課本第178頁(yè)練習(xí)第1題。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步得出結(jié)論：在數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。即：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示;數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。類(lèi)比在有理數(shù)范圍內(nèi)相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)理解相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義。深入探討：平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間也存在著一

3、一對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎?除了課件演示外再讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐操作的目的是讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)到可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示無(wú)理數(shù)，而每一個(gè)無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，即無(wú)理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生對(duì)于實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)實(shí)數(shù)有了直觀的認(rèn)識(shí)，體會(huì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。將數(shù)與圖形聯(lián)系起來(lái)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。教師在此環(huán)節(jié)中要留給學(xué)生充足的時(shí)間，讓學(xué)生自己歸納和總結(jié)。比一比問(wèn)：利用數(shù)軸，我們?cè)鯓颖容^兩個(gè)有理數(shù)的大小?在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大。這個(gè)結(jié)論在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)也成立。我們還有什么方法可以比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小嗎?兩個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值較大的值也較大

4、;兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值大的值反而小;正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。例1比較下列各組數(shù)里兩個(gè)數(shù)的大小：(1)，1.4;(2)-，-;(3)-2，分析：像例1(1)，即可以將，1.4的大小比較轉(zhuǎn)化為，的大小比較;也可以先求出的近似值，再通過(guò)比較它們近似值(取近似值時(shí)，注意精確度要相同)的大小，從而比較它們的大小。讓學(xué)生回憶有理數(shù)范圍內(nèi)比較大小的方法，體會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)這些比較兩個(gè)數(shù)大小的方法依舊成立。通過(guò)例題，使學(xué)生掌握比較兩數(shù)大小的方法。算一算問(wèn)：在數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些運(yùn)算?答：加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方運(yùn)算。接著問(wèn)：有哪些規(guī)定嗎?除法運(yùn)算中除數(shù)不為0，而且只有正數(shù)及0可

5、以進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算。問(wèn)：有理數(shù)滿(mǎn)足哪些運(yùn)算律?加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b+c)=ab+ac我們?nèi)绾沃肋\(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否適用?例2計(jì)算下列各式的值：(1);(2)例3計(jì)算：(1)(精確到0.01)(2)(保留三個(gè)有效數(shù)字)(3)(保留三個(gè)有效數(shù)字)(在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，當(dāng)遇到無(wú)理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時(shí)，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似的有限小數(shù)去代替無(wú)理數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算。)鼓勵(lì)學(xué)生多舉一些實(shí)際例子來(lái)驗(yàn)證。其意義一是為了避免學(xué)生產(chǎn)生片面認(rèn)識(shí)，以為從幾

6、個(gè)例子就可以得出普遍結(jié)論，二讓學(xué)生了解結(jié)論的重要性。例2與例3要求是不同的。例2在運(yùn)算中遇到無(wú)理數(shù)但并不需要求出結(jié)果的近似值，例3卻不同，不僅在運(yùn)算中遇到無(wú)理數(shù)且需要求出結(jié)果的近似值，在教學(xué)中應(yīng)該提醒學(xué)生注意按照問(wèn)題的要求解決問(wèn)題。課堂鞏固課本第178頁(yè)練習(xí)第2、3題。小結(jié)布置作業(yè)必做題：課本第179頁(yè)習(xí)題10.3的第4、5、6、8題。選做題：課本第179頁(yè)習(xí)題10.3的第9題。備選題：(1)若m表示一個(gè)實(shí)數(shù)，則-m表示一個(gè)()A.負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.實(shí)數(shù)D.非正數(shù)(2)計(jì)算：求5的算術(shù)平方根與2的平方根之和(保留三個(gè)有效數(shù)字);(精確到0.01);已知，求ab的值。個(gè)鋼球的體積是200cm3，求

7、它的半徑(取3.14，結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)。設(shè)計(jì)思想本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中注重從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，如學(xué)生在有理數(shù)章節(jié)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，所以在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，除了讓學(xué)生看課件演示外，更通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作，感悟知識(shí)的生成、發(fā)展和變化，自己探索得到結(jié)論：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)方法。在“比一比”教學(xué)環(huán)節(jié)中，先讓學(xué)生回憶有理數(shù)范圍內(nèi)數(shù)的大小的比較方法，體會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)這些比較兩個(gè)數(shù)大小的方法依舊成立，在比較的過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想。在“算一算”教學(xué)環(huán)節(jié)中，先復(fù)習(xí)七年級(jí)上已經(jīng)學(xué)習(xí)

8、過(guò)的有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律，然后提出一個(gè)富有啟發(fā)性且具有探索意義的問(wèn)題“我們?nèi)绾沃肋\(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否適用?”然后鼓勵(lì)學(xué)生多舉一些例子來(lái)驗(yàn)證，其意義一是為了避免學(xué)生產(chǎn)生片面認(rèn)識(shí)，以為從幾個(gè)例子就可以得出普遍結(jié)論，二讓學(xué)生了解結(jié)論的重要性。背景資料中國(guó)古代科學(xué)家對(duì)的研究圓周率是一個(gè)極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開(kāi)始，這個(gè)數(shù)就引起了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個(gè)非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計(jì)算問(wèn)題而提出的。幾千年來(lái)古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為了求出它的盡量準(zhǔn)確的近似值獻(xiàn)出了自己的智慧和勞動(dòng)。德國(guó)數(shù)學(xué)史家康托曾說(shuō)過(guò)：“歷史上一個(gè)國(guó)家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個(gè)國(guó)家當(dāng)時(shí)

9、數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo)?！敝钡?9世紀(jì)初，求圓周率的值仍然是數(shù)學(xué)中的頭號(hào)難題。在我國(guó)劉徽之前“圓徑一而周三”曾廣泛流傳。我國(guó)第一部周髀算經(jīng)中，就記載有圓“周三徑一”這一結(jié)論。在我國(guó)，木工師傅有兩句從古流傳下來(lái)的口訣：叫做：“周三徑一，方五斜七”，意思是說(shuō)，直徑為1的圓，周長(zhǎng)大約是3，邊長(zhǎng)為5的正方形，對(duì)角線(xiàn)之長(zhǎng)約為7。這正反映了早期人們對(duì)圓周率和這兩個(gè)無(wú)理數(shù)的粗略估計(jì)。東漢時(shí)期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計(jì)算面積的標(biāo)準(zhǔn)。后人稱(chēng)之為“古率”。東、西漢之交，新朝王莽令劉歆制造量的容器律嘉量斛，劉歆在制造標(biāo)準(zhǔn)容器的過(guò)程中就需要用到圓周率的值。為此，大約也是通過(guò)做實(shí)驗(yàn)，得到一些關(guān)于圓周率的并不劃一的近似值。

10、現(xiàn)在根據(jù)銘文推算，其計(jì)算值分別取為3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比“徑一周三”的古率已有所進(jìn)步。人類(lèi)的這種探索的結(jié)果，當(dāng)主要用來(lái)估計(jì)圓田面積時(shí)，對(duì)生產(chǎn)沒(méi)有太大影響，但以此來(lái)制造器皿或其他計(jì)算就不合適了。憑直觀推測(cè)或?qū)嵨锒攘?，?lái)計(jì)算值的實(shí)驗(yàn)方法所得到的結(jié)果是相當(dāng)粗略的。在我國(guó)，首先是由數(shù)學(xué)家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術(shù)，得出=3.14，通常稱(chēng)為“徽率”，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術(shù)的時(shí)間比阿基米德晚一些，但其方法卻有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內(nèi)接同時(shí)又用外切正多邊形

11、簡(jiǎn)捷得多。另外，有人認(rèn)為在割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以至于他將割到192邊形的幾個(gè)粗糙的近似值通過(guò)簡(jiǎn)單的加權(quán)平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率=3927/1250=3.1416。而這一結(jié)果，正如劉徽本人指出的，如果通過(guò)割圓計(jì)算得出這個(gè)結(jié)果，需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術(shù)是割圓術(shù)中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由于人們對(duì)它缺乏理解而被長(zhǎng)期埋沒(méi)了。恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻(xiàn)吧。對(duì)此，隋書(shū)律歷志有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開(kāi)密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！边@一記錄指出，祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻(xiàn)。其一是求得圓周率3.14159263.1415927;其二是，得到的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)即：約率為22/7;密率為355/113。他算出的的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率，而且保持世界紀(jì)錄九百多年。以至于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為“祖率”。這一結(jié)果是如何獲得的呢?追根溯源，正是基于對(duì)劉徽割圓術(shù)的繼承與發(fā)展，祖沖之才能得到這