高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件07定積分微

1、,高等數(shù)學(xué),審,物,定 積 分,定積分的概念,定積分的基本性質(zhì),變上限函數(shù),定積分的基本公式,換元積分法,分部積分法,微元分析法,定 積 分 應(yīng) 用,平面圖形面積,已知平行截面函數(shù)物體體積,經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,廣義積分,返回,曲邊形的面積,1. 面積,曲邊形的面積計(jì)算,曲邊梯形,(1) 劃分區(qū)間，求近似值,(2) 無限細(xì)分，求取極限:,變速運(yùn)動(dòng)物體走過的路程問題,(1) 求近似值,分成小時(shí)間間隔,v(t)變化也小,(2) 無限細(xì)分,求取極限:,總路程 s 近似值,劃分區(qū)間,定積分的概念,定積分定義：,記作:,積分上限,積分下限,稱為積分區(qū)間,定積分是 : 積分和式的極限,曲邊梯形的面積,變速直線運(yùn)動(dòng)

2、的路程,（二）定積分的幾何意義,證,證,解,問：這個(gè)做法對不對？,關(guān)鍵：定積分的存在性,三、定積分的基本性質(zhì),定積分是一種極限，因此其性質(zhì)與極限 性質(zhì)密切相關(guān),性質(zhì)一： 線性性質(zhì),性質(zhì)二：關(guān)于區(qū)間的可加性,關(guān)于區(qū)間可加性的推廣,性質(zhì)三：積分的不等式性質(zhì),（證明：利用極限的保序即得）,性質(zhì)四：積分的保號性,證,用反證法,性質(zhì)五：積分的不等式性質(zhì),注意,性質(zhì)六：積分的估值性質(zhì),解,性質(zhì)七：積分中值定理,平均高度,函數(shù)平均值,上限變量,積分變量,變上限積分積分變限函數(shù),定理1:,注意 連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù) ！,路程函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù),證 (1),用連續(xù)定義證明,證 (2),用導(dǎo)數(shù)定義證明,解,

3、解,解,注意 變上限定積分給出一種表示函數(shù)的方 法，對這種函數(shù)也可以討論各種性態(tài)。,解,解,二、牛頓萊布尼茲公式,定理2:,證,牛頓萊布尼茲公式將定積分 的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的 一個(gè)原函數(shù)的問題.,解,解,解,定積分的換元積分法,定理1: (定積分的換元積分法),證,解,解,證(1),為什麼?,定積分與積分變量 所用字母無關(guān)！,例如:,定積分的分部積分法,定理2: (定積分的分部積分法),證,利用牛頓萊布尼茲公式,即,解,解,解,可以應(yīng)用定積分計(jì)算的量有如下特點(diǎn):,微元分析法,定積分應(yīng)用,關(guān)鍵是 部分量 的近似,微分近似,微元分析法,幾何應(yīng)用,（一）平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)系下平面

4、圖形面積的計(jì)算,根據(jù)定積分的定義和幾何意義知,面積微元,解,解,*2. 極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算,解,A(x),(二)已知平行截面空間立體的體積,1. 已知平行截面面積立體的體積,2. 旋轉(zhuǎn)體(繞x軸)的體積,3. 旋轉(zhuǎn)體(繞y軸)的體積,解,解法一,解法二,例2 生產(chǎn)安排 一項(xiàng)合同要求在 T時(shí)交貨 Q。如果生產(chǎn)中單位時(shí)間單位產(chǎn)品 的存儲費(fèi)為 m；任意時(shí)刻單位時(shí)間的生產(chǎn)費(fèi)用 f 與生產(chǎn)率有關(guān)， 且生產(chǎn)率每增加一個(gè)單位,單位時(shí)間生產(chǎn)費(fèi)用的增加與這時(shí)的生產(chǎn) 率成正比,比例系數(shù)為 k。試確定應(yīng)如何安排生產(chǎn)可使總費(fèi)用最小？,平面曲線的弧長,何謂曲線的長 ？,內(nèi)接折線長的極限,弧微分公式,解,解,（四）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,用切線MT繞x軸 旋轉(zhuǎn)所得圓臺的 側(cè)面積近似,解,三、物理應(yīng)用,（一）引力問題,解,向量加法,解,（二）變力做功問題,解,（三）靜力矩和質(zhì)心,1. 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心,質(zhì)量微元,2. 平面曲線的質(zhì)心,3. 平面薄板的質(zhì)心,解,解,二、無窮區(qū)間的廣義積分,第二十一講 廣義積分,三、有窮區(qū)間無界函數(shù)的 廣義積分,一、背景,有界函數(shù),一、背景,解,二、無窮區(qū)間的廣義積分,（一）定義,定義1：,類似地可以定義,定義2：,解,證,