波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋

1、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,1,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋 2.2 態(tài)疊加原理 2.3 薛定諤方程 2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 2.5 定態(tài)薛定諤方程 2.6 一維無(wú)限深勢(shì)阱 2.7 線性諧振子,第二章 波函數(shù)和薛定諤方程,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,2,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,（1）平面波可以用來(lái)描述自由粒子。,（2） 如果粒子受隨時(shí)間或位置變化的力場(chǎng)的作用，可以用一個(gè)函數(shù)來(lái)描寫粒子的波，稱為波函數(shù)。,1、如何解釋一個(gè)波所描述的一個(gè)粒子的行為？,（3）人們?cè)?jīng)錯(cuò)誤地認(rèn)為波是由它所描寫的粒子組成的。,若粒子流的衍射現(xiàn)象是由于組成波的這些粒子相互作用而形成的，衍射圖樣應(yīng)該與粒子流強(qiáng)度有關(guān)，但實(shí)驗(yàn)證明它們兩者

2、卻無(wú)關(guān)。,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,3,2、波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋,1(x)和2(x)分別為單獨(dú)開縫1或2時(shí)，靶上子彈的密度分布， 雙縫齊開時(shí)，靶上子彈的密度分布1(x) 2(x),（1）機(jī)槍子彈的“雙縫衍射”,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,4,雙縫齊開時(shí)，聲波的強(qiáng)度分布不等于I1(x) I2(x)，還包括兩者的干涉項(xiàng)。,（2）聲波的雙縫衍射,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,5,（3）電子的雙縫衍射,設(shè)入射電子流很微弱，幾乎是一個(gè)一個(gè)地通過雙縫。圖中的照片是在不同時(shí)間下拍的。,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,6,（4）就強(qiáng)度分布來(lái)說(shuō)，電子的雙縫衍射與經(jīng)典波(如聲波)的雙縫衍射是相似的，而與機(jī)槍子彈的分布完全不同這種現(xiàn)象應(yīng)怎樣理解呢?,在底板上點(diǎn)r附

3、近衍射花樣的強(qiáng)度 在點(diǎn)r附近感光電子的數(shù)目 在點(diǎn)r附近出現(xiàn)的電子的數(shù)目 電子出現(xiàn)在點(diǎn)r附近的幾率,（5）波恩提出的波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋：波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成比例。 描寫粒子的波稱為幾率波,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,7,波函數(shù)可以用來(lái)描寫體系的量子狀態(tài)（簡(jiǎn)稱態(tài)或狀態(tài)）。,在經(jīng)典力學(xué)中，一旦用來(lái)描寫質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的坐標(biāo)和動(dòng)量確定后，其他力學(xué)量也確定了。,在量子力學(xué)中，用來(lái)描寫體系某一量子態(tài)的波函數(shù)確定后，體系的力學(xué)量一般有許多可能取值，這些可能取值各自以一定的幾率出現(xiàn)。,在經(jīng)典物理學(xué)中，波函數(shù) 和 A 代表了能量或強(qiáng)度不同的兩種波動(dòng)狀態(tài)； 而在量子力學(xué)中，這兩個(gè)波函數(shù)卻描

4、述了同一個(gè)量子態(tài)。因?yàn)樗鼈兯硎镜母怕史植嫉南鄬?duì)大小是相同的。,（6）波函數(shù)的特性,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,8,在時(shí)刻t，點(diǎn)(x, y, z)附近的體積元dV內(nèi)找到粒子的幾率dW可以表述為：,幾率密度為：,歸一化條件可表示為：,那么，稱為歸一化波函數(shù),歸一化波函數(shù)還可以含有一個(gè)相因子,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,9,量子力學(xué)中并不排斥使用一些不能歸一的理想波函數(shù)，如描述自由粒子的平面波函數(shù)。,例題： 求下面氫原子的1s電子的波函數(shù)的歸一化系數(shù),波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,10,解 根據(jù)歸一化的定義，我們有,歸一化的波函數(shù)為,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,11,2.2 態(tài)疊加原理,經(jīng)典物理中，聲波和光波都遵從疊加原理。 量子力學(xué)中的

5、態(tài)疊加原理，是量子力學(xué)原理的一個(gè)基本假設(shè)。,c1，c2是復(fù)數(shù),一、態(tài)疊加原理,含義：當(dāng)粒子處于態(tài) 和態(tài) 的線性疊加態(tài)時(shí)，粒子既處在態(tài) ，又處在態(tài) 。,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,12,如果波函數(shù)1(r, t)，2(r,t), 都是描述系統(tǒng)的可能的量子態(tài)，那么它的線性疊加,也是這個(gè)體系的一個(gè)可能的量子態(tài)， c1，c2, 一般也是復(fù)數(shù)。,二、平面波的疊加,一個(gè)以確定動(dòng)量p運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)可以用下列波函數(shù)表示,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,13,粒子的狀態(tài)(r,t)可以表示為p取各種可能值的平面波的線性疊加,由于p可以連續(xù)變化,式中,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,14,(r, t)和c(p, t)是同一種狀態(tài)的兩種不同的描述方式， (r,

6、 t)是以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)， c(p, t)是以動(dòng)量為自變量的波函數(shù)。,2.3 薛定諤方程,經(jīng)典力學(xué)中，決定任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程， 量子力學(xué)中，決定微觀粒子任一時(shí)刻的狀態(tài)方程薛定諤方程,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,15,決定微觀粒子任一時(shí)刻的狀態(tài)方程必須滿足兩個(gè)條件： （1）方程是線性的 （2）方程的系數(shù)不應(yīng)包括狀態(tài)參量。,一、描述自由粒子的狀態(tài)方程,自由粒子的波函數(shù),波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,16,利用自由粒子,二、能量和動(dòng)量算符,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,17,三、薛定諤方程,一般情況下,根據(jù)能量和動(dòng)量算符,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,18,幾率密度,幾率密度隨時(shí)間的變化

7、率,利用薛定諤方程,令,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,19,粒子數(shù)守恒定律,2.5 定態(tài)薛定諤方程,我們討論力場(chǎng)中的勢(shì)能U(r)與時(shí)間無(wú)關(guān)的情況,統(tǒng)計(jì)詮釋對(duì)波函數(shù)提出的要求： 波函數(shù)必須是有限的、連續(xù)的和單值的,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,20,考慮一種特解,E是體系處在這個(gè)波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時(shí)的能量。,定態(tài)與定態(tài)波函數(shù),波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,21,定態(tài)薛定諤方程,哈密頓算符,本征方程,當(dāng)體系處于能量本征態(tài)時(shí)，粒子的能量有確定值E,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,22,以En表示體系能量算符的第n個(gè)本征值， n是與En相應(yīng)的波函數(shù)，則體系的第n個(gè)定態(tài)波函數(shù)為,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,23,2.6 一維無(wú)限深勢(shì)阱,在一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子，其勢(shì)

8、場(chǎng)滿足,（1）阱外（xa, x -a）,因?yàn)閯?shì)壁無(wú)限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在阱壁和阱外粒子的波函數(shù)為零。,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,24,（2）阱內(nèi)（a x -a）,利用波函數(shù)在邊界處連續(xù)，,體系的能量,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,25,相應(yīng)的歸一化的波函數(shù)為,定態(tài)波函數(shù)為,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,26,束縛態(tài)：本征能量小于勢(shì)能，即 EU0,本征函數(shù)的奇偶性取決于勢(shì)能函數(shù),基態(tài)：體系能量最低的態(tài),波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,27,2.7 線性諧振子,在自然界中一維諧振子廣泛存在，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，如分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子和表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等都可以分解成若干彼此獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,質(zhì)量為m、頻率為的振子的哈密頓量可表示為,定態(tài)薛定諤方程,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,28,令,首先考慮方程的漸近解,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,29,因?yàn)椴ê瘮?shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為有限，,代入薛定諤方程，得,用級(jí)數(shù)解法，H只能為一個(gè)中斷多項(xiàng)式，得到,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,30,簡(jiǎn)諧振子的能譜是等間隔的, 間距為, 基態(tài)能量不為零, 即零點(diǎn)能量為/2。 這是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的”波沒有意義。,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,31,厄密多項(xiàng)式,遞推關(guān)系,最簡(jiǎn)單的幾個(gè)厄密多項(xiàng)式為,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,32,一維諧振子的能量及相應(yīng)的波函數(shù),波函數(shù)的統(tǒng)