求軌跡方程的常用方法(例題及變式)

1、精品文檔，放心下載，放心閱讀求軌跡方程的常用方法：題型一 直接法此法是求軌跡方程最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件直接翻譯成的形式，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)，要注意軌跡方程的純粹性和完備性，即曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)適合這個(gè)條件精品文檔，超值下載而毫無(wú)例外（純粹性）；反之，適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏（完備性）。例1 過(guò)點(diǎn)任作互相垂直的兩直線和，分別交軸于點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及在軸上得，化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，此時(shí)的中點(diǎn)它也滿足方程，所以中點(diǎn)的軌跡方程為。變式1已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍。（1） 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的

2、方程；（2） 過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)。若是的中點(diǎn)，求直線的斜率。題型二 定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應(yīng)特別重視利用圓錐曲線的定義解題，包括用定義法求軌跡方程。例2 動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且與圓相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。解：根據(jù)題意，說(shuō)明點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值，故點(diǎn)的軌跡是雙曲線。，故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為變式2在中，上的兩條中線長(zhǎng)度之和為39，求的重心的軌跡方程解：以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1，為重心，則有點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中所求的重心的軌跡方程為題型三 相關(guān)點(diǎn)法此法的特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)取決于已知曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，可先用來(lái)表示，再代入曲線

3、的方程，即得點(diǎn)的軌跡方程。例3 如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程分析：從題意看動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)點(diǎn)是，在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，所以本題適合用相關(guān)點(diǎn)法。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為在直線上，又垂直于直線，即由解得又點(diǎn)在雙曲線上，代入，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為變式3已知ABC的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求的重心的軌跡方程解：設(shè)，由重心公式，得又在拋物線上， 將，代入，得，即所求曲線方程是題型四 參數(shù)法選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得其普通方程，選參數(shù)時(shí)必須首先充分考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后在選取合適的參數(shù)，因?yàn)閰?shù)不同，會(huì)導(dǎo)致

4、運(yùn)算量的不同，常見的參數(shù)有截距、角度、斜率、線段長(zhǎng)度等。例4已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點(diǎn)，使有向線段滿足，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)， 則由題意，得由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為兩式相乘，消去，得這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程變式4設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.分析：（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出，進(jìn)而表示出點(diǎn)坐標(biāo)，用消參法求軌跡方程；（2）將表示成變量的二次函數(shù)。解：（1）法一：直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)其斜

5、率為，則的方程為。設(shè)，由題設(shè)可列方程為將代入并化簡(jiǎn)得：，所以于是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則消去參數(shù)得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，也滿足方程，所以點(diǎn)的軌跡方程為。法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因，在橢圓上，所以得：所以當(dāng)時(shí)，有并且將代入并整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，也滿足，所以點(diǎn)的軌跡方程為。（2）由點(diǎn)的軌跡方程知，即所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；古希臘哲學(xué)大師亞里士多德說(shuō)： 人有兩種，一種即“吃飯是為了活著”,一種是“活著是為了吃飯”.一個(gè)人之所以偉大，首先是因?yàn)樗谐诔Ｈ说男??！爸井?dāng)存高遠(yuǎn)”,“風(fēng)物長(zhǎng)宜放眼量”,這些古語(yǔ)皆鼓舞人們要樹立雄無(wú)數(shù)個(gè)

6、自己，萬(wàn)千種模樣，萬(wàn)千愫情懷。有的和你心手相牽，有的和你對(duì)抗，有的給你雪中送炭，有的給你煩憂與其說(shuō)人的一生是同命運(yùn)抗?fàn)?，與性格妥協(xié)，不如說(shuō)是與自己抗?fàn)?，與自己妥協(xié)。人最終要尋找的，就是最愛的那個(gè)自己。只是這個(gè)自己，有人終其一生也未找到；有人只揭開了冰山的一角，有人有幸會(huì)晤一次，卻已用盡一生。人生最難抵達(dá)的其實(shí)就是自己。我不敢恭維我所有的自己都是美好的，因?yàn)榭傆袀€(gè)對(duì)抗的聲音：“你還沒有這樣的底氣?！焙軕M愧，坦白說(shuō)，自己就是這個(gè)樣子：卑微過(guò)，像一棵草，像一只蟻，甚至像一粒土塊，但拒絕猥瑣！懦弱過(guò)，像掉落下來(lái)的果實(shí)，被人撣掉的灰塵，但拒絕屈膝，寧可以卵擊石，以渺小決戰(zhàn)強(qiáng)大。自私過(guò)，比如遇到喜歡的人或

7、物，也想不擇手段，據(jù)為己有。貪婪過(guò)，比如面對(duì)名利、金錢、豪宅名車，風(fēng)花雪月，也會(huì)心旌搖搖，浮想聯(lián)翩。倔強(qiáng)過(guò)，比如面對(duì)誤解、輕蔑，有淚也待到無(wú)人處再流，有委屈也不訴說(shuō)，不申辯，直到做好，給自己證明，給自己看！溫柔過(guò)，當(dāng)愛如春風(fēng)襲來(lái)，當(dāng)情如花朵芳醇，黃昏月下，你儂我儂。強(qiáng)大過(guò)，內(nèi)剛外柔，和風(fēng)雨搏擊，和坎坷宣戰(zhàn)，不失初心，不忘夢(mèng)想，雖敗猶榮。這樣的自己一個(gè)個(gè)站到鏡中來(lái)，千面萬(wàn)孔。有的隱著，有的浮著，有的張揚(yáng)，有的壓抑，有的狂狷，有的沉寂，有的暴躁，有的溫良庸俗的自己，逐流的自己，又兼點(diǎn)若仙的自己，美的自己，丑的自己，千篇一律的自己，獨(dú)一無(wú)二的自己。我們總想尋一座廟宇，來(lái)安放塵世的疲憊，尋一種宗教，來(lái)稀釋靈魂里的荒涼。到頭來(lái)，卻發(fā)現(xiàn)，苦苦向往的湖光山色，原來(lái)一直在自己的心里，我就是自己的廟宇，我就是自己的信仰。渺小如己，偉大如己！王是自己，囚是自己。廟堂是自己，陋室是自己。上帝是自己，庶民是自己。別人身上或多或少都投射著一個(gè)自己，易被影響又不為所動(dòng)的自己。萬(wàn)物的折痕里都會(huì)逢到一個(gè)縮小版的自己，恍