高等數(shù)學(xué)上冊知識點

1、.高等數(shù)學(xué)上冊第一章 函數(shù)與極限（一） 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2、 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運算；3、 初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；函數(shù)在連續(xù) 第一類：左右極限均存在。間斷點 可去間斷點、跳躍間斷點 第二類：左右極限、至少有一個不存在。 無窮間斷點、振蕩間斷點5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點定理、介值定理及其推論。（二） 極限1、 定義1） 數(shù)列極限 精品.2） 函數(shù)極限左極限： 右極限：2、 極限存在準(zhǔn)則1） 夾逼準(zhǔn)則：1）2） 2） 單調(diào)有界準(zhǔn)

2、則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。3、 無窮?。ù螅┝?） 定義：若則稱為無窮小量；若則稱為無窮大量。2） 無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、階無窮小th1 ;精品.th2 （無窮小代換）4、 求極限的方法1） 單調(diào)有界準(zhǔn)則；2） 夾逼準(zhǔn)則；3） 極限運算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；4） 兩個重要極限：a) b)5） 無窮小代換：（）a)b)c) （）d) （）e)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分精品.（一） 導(dǎo)數(shù)1、 定義：左導(dǎo)數(shù)： 右導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在點可導(dǎo)2、 幾何意義：為曲線在點處的切線的斜率。3、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、 求導(dǎo)的方法1） 導(dǎo)數(shù)定義；2） 基本公式；3） 四則運算；4） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t

3、）；5） 隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6） 參數(shù)方程求導(dǎo)；7） 對數(shù)求導(dǎo)法。5、 高階導(dǎo)數(shù)精品.1） 定義：2） leibniz公式：（二） 微分1） 定義：，其中與無關(guān)。2） 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)，且第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一） 中值定理1、 rolle定理：若函數(shù)滿足：1）； 2）； 3）；則.2、 lagrange中值定理：若函數(shù)滿足：1）； 2）；則.精品.3、 cauchy中值定理：若函數(shù)滿足：1）； 2）；3）則（二） 洛必達(dá)法則精品.（三） taylor公式階taylor公式：在與之間.當(dāng)時，成為階麥克勞林公式：在與之間. 常見函數(shù)的麥克勞林公式：1）精品.在與之間，；2）在與

4、之間，；3）在與之間，；4）在與之間，5）精品.，在與之間，.（四） 單調(diào)性及極值1、 單調(diào)性判別法：，則若，則單調(diào)增加；則若，則單調(diào)減少。2、 極值及其判定定理：a) 必要條件：在可導(dǎo)，若為的極值點，則.b) 第一充分條件：在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則若當(dāng)時，當(dāng)時，則為極大值點；若當(dāng)時，當(dāng)時，則為極小值點；若在的兩側(cè)不變號，則不是極值點。c) 第二充分條件：在處二階可導(dǎo)，且，則若，則為極大值點；若，則為極小值點。精品.3、 凹凸性及其判斷，拐點1）在區(qū)間i上連續(xù)，若，則稱在區(qū)間i 上的圖形是凹的；若，則稱在區(qū)間i 上的圖形是凸的。2）判定定理：在上連續(xù)，在上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則 a) 若,則在上的

5、圖形是凹的； b) 若,則在上的圖形是凸的。3）拐點：設(shè)在區(qū)間i上連續(xù)，是的內(nèi)點，如果曲線經(jīng)過點時，曲線的凹凸性改變了，則稱點為曲線的拐點。（五） 不等式證明1、 利用微分中值定理；2、 利用函數(shù)單調(diào)性；3、 利用極值（最值）。（六） 方程根的討論精品.1、 連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、 rolle定理；3、 函數(shù)的單調(diào)性；4、 極值、最值；5、 凹凸性。（七） 漸近線1、 鉛直漸近線：，則為一條鉛直漸近線；2、 水平漸近線：，則為一條水平漸近線；3、 斜漸近線：存在，則為一條斜 漸近線。（八） 圖形描繪步驟 : 1. 確定函數(shù)的定義域，并考察其對稱性及周期性；2. 求并求出及為零和不存在的點；3

6、. 列表判別函數(shù)的增減及曲線的凹向 , 求出極值和拐點;4. 求漸近線;5. 確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 .精品.第四章 不定積分（一） 概念和性質(zhì)1、 原函數(shù)：在區(qū)間i上，若函數(shù)可導(dǎo)，且，則稱為的一個原函數(shù)。2、 不定積分：在區(qū)間i上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為在區(qū)間i上的不定積分。3、 基本積分表（p188，13個公式）；4、 性質(zhì)（線性性）。 （二） 換元積分法1、 第一類換元法（湊微分）：2、 第二類換元法（變量代換）：（三） 分部積分法：（四） 有理函數(shù)積分 1、“拆”；精品. 2、變量代換（三角代換、倒代換等）。第五章 定積分（一） 概念與性質(zhì)：1、 定義：2、 性質(zhì)：（

7、7條）性質(zhì)7 （積分中值定理） 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則，使 （平均值：）（二） 微積分基本公式（nl公式）1、 變上限積分：設(shè)，則推廣：2、 nl公式：若為的一個原函數(shù)，則精品.（三） 換元法和分部積分1、 換元法：2、 分部積分法：（四） 反常積分1、 無窮積分：2、 瑕積分：（a為瑕點）（b為瑕點）兩個重要的反常積分：1) 精品.2) 第六章 定積分的應(yīng)用（一） 平面圖形的面積1、 直角坐標(biāo)： 2、 極坐標(biāo)：精品.（二） 體積1、 旋轉(zhuǎn)體體積：a)曲邊梯形軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積： b)曲邊梯形軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積： （柱殼法）2、 平行截面面積已知的立體：（三） 弧長1、

8、直角坐標(biāo)：2、 參數(shù)方程：3、 極坐標(biāo)：精品.第七章 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程。 階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)。通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解。（二） 變量可分離的方程，兩邊積分（三） 齊次型方程，設(shè)，則；或，設(shè)，則（四） 一階線性微分方程精品.用常數(shù)變易法或用公式： （五） 可降階的高階微分方程1、，兩邊積分次；2、（不顯含有），令，則；3、（不顯含有），令，則（六） 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1、是齊次線性方程的解，則也是；2、是齊次線性方程的線性無關(guān)的特解，則是方程的通解；3、為非齊次方程的通解，其中為對應(yīng)