信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)知識(shí)

1、第1章 信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念1.1 引言系統(tǒng)是一個(gè)廣泛使用的概念，指由多個(gè)元件組成的相互作用、相互依存的整體。我們學(xué)習(xí)過(guò)“電路分析原理”的課程，電路是典型的系統(tǒng)，由電阻、電容、電感和電源等元件組成。我們還熟悉汽車在路面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，汽車、路面、空氣組成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)。更為復(fù)雜一些的系統(tǒng)如電力系統(tǒng)，它包括若干發(fā)電廠、變電站、輸電網(wǎng)和電力用戶等，大的電網(wǎng)可以跨越數(shù)千公里。我們?cè)谟^察、分析和描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，總要借助于對(duì)系統(tǒng)中一些元件狀態(tài)的觀測(cè)和分析。例如，在分析一個(gè)電路時(shí)，會(huì)計(jì)算或測(cè)量電路中一些位置的電壓和電流隨時(shí)間的變化；在分析一個(gè)汽車的運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)計(jì)算或觀測(cè)驅(qū)動(dòng)力、阻力、位置、速度和加速度等狀態(tài)變量隨

2、時(shí)間的變化。系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的關(guān)系稱為信號(hào)，包含了系統(tǒng)變化的信息。很多實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)變量是非電的，我們經(jīng)常使用各種各樣的傳感器，把非電的狀態(tài)變量轉(zhuǎn)換為電的變量，得到便于測(cè)量的電信號(hào)。隱去不同信號(hào)所代表的具體物理意義，信號(hào)就可以抽象為函數(shù)，即變量隨時(shí)間變化的關(guān)系。信號(hào)用函數(shù)表示，可以是數(shù)學(xué)表達(dá)式，或是波形，或是數(shù)據(jù)列表。在本課程中，信號(hào)和函數(shù)的表述經(jīng)常不加區(qū)分。信號(hào)和系統(tǒng)分析的最基本的任務(wù)是獲得信號(hào)的特點(diǎn)和系統(tǒng)的特性。系統(tǒng)的分析和描述借助于建立系統(tǒng)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間關(guān)系，因此信號(hào)分析和系統(tǒng)分析是密切相關(guān)的。系統(tǒng)的特性千變?nèi)f化，其中最重要的區(qū)別是線性和非線性、時(shí)不變和時(shí)變。這些區(qū)別導(dǎo)致分

3、析方法的重要差別。本課程的內(nèi)容限于線性時(shí)不變系統(tǒng)。我們最熟悉的信號(hào)和系統(tǒng)分析方法是時(shí)域分析，即分析信號(hào)隨時(shí)間變化的波形。例如，對(duì)于一個(gè)電壓測(cè)量系統(tǒng)，要判斷測(cè)量的準(zhǔn)確度，可以直接分析比較被測(cè)的電壓波形（測(cè)量系統(tǒng)輸入信號(hào)）和測(cè)量得到的波形（測(cè)量系統(tǒng)輸出信號(hào)），觀察它們之間的相似程度。為了充分地和規(guī)范地描述測(cè)量系統(tǒng)的特性，經(jīng)常給系統(tǒng)輸入一個(gè)階躍電壓信號(hào)，得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，圖1-1是典型的波形，通過(guò)階躍響應(yīng)的電壓上升時(shí)間（電壓從10上升至90的時(shí)間）和過(guò)沖（百分比）等特征量，表述測(cè)量系統(tǒng)的特性，上升時(shí)間和過(guò)沖越小，系統(tǒng)特性越好。其中電壓上升時(shí)間反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，小的上升時(shí)間對(duì)應(yīng)快的響應(yīng)速度。如果

4、被測(cè)電壓快速變化，而測(cè)量系統(tǒng)的響應(yīng)特性相對(duì)較慢，則必然產(chǎn)生較大的測(cè)量誤差。信號(hào)與系統(tǒng)分析的另一種方法是頻域分析。信號(hào)頻域分析的基本原理是把信號(hào)分解為不同頻率三角信號(hào)的疊加，觀察信號(hào)所包含的各頻率分量的幅值和相位，得到信號(hào)的頻譜特性。圖1-2是從時(shí)域和頻域觀察一個(gè)周期矩形波信號(hào)的示意圖，由此可以看到信號(hào)頻域和時(shí)域的關(guān)系。系統(tǒng)的頻域分析是觀察系統(tǒng)對(duì)不同頻率激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。頻域分析的重要優(yōu)點(diǎn)包括：（1）對(duì)信號(hào)變化的快慢和系統(tǒng)的響應(yīng)速度給出定量的描述。例如，當(dāng)我們要用一個(gè)示波器觀察一個(gè)信號(hào)時(shí)，需要了解信號(hào)的頻譜特性和示波器的模擬帶寬，當(dāng)示波器的模擬帶寬能夠覆蓋被測(cè)信號(hào)的頻率范圍

5、時(shí)，可以保證測(cè)量的準(zhǔn)確。（2）為線性系統(tǒng)分析提供了一種簡(jiǎn)化的方法，在時(shí)域分析中需要進(jìn)行的微分或積分運(yùn)算，在頻域分析中簡(jiǎn)化成了代數(shù)運(yùn)算。圖1-1 典型電壓測(cè)量系統(tǒng)的輸入和輸出波形輸入信號(hào)t0輸出信號(hào)t0過(guò)沖上升時(shí)間圖1-2 周期矩形波信號(hào)的時(shí)域和頻域信號(hào)和系統(tǒng)分析還有復(fù)頻域分析的方法，對(duì)于連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)，基于拉普拉斯變換，稱為域分析；對(duì)于離散信號(hào)和系統(tǒng)，基于變換，稱為域分析。基于復(fù)頻域分析，能夠得到信號(hào)和系統(tǒng)響應(yīng)的特征參數(shù)，即頻率和衰減，分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性和系統(tǒng)穩(wěn)定性等；復(fù)頻域分析也能簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析，將在時(shí)域分析中需要進(jìn)行的微分或積分運(yùn)算簡(jiǎn)化為復(fù)頻域中的代數(shù)運(yùn)算。本課程將學(xué)習(xí)信號(hào)和系統(tǒng)分析的基

6、本方法和原理，包括時(shí)域分析、頻域分析和復(fù)頻域分析。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，離散信號(hào)和離散系統(tǒng)的分析方法具有非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用。本課程在深入學(xué)習(xí)連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)離散信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法。信號(hào)和系統(tǒng)分析的重要工具是信號(hào)變換，本課程依據(jù)信號(hào)變換方法的內(nèi)在聯(lián)系，將依次介紹連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)（FS）、連續(xù)信號(hào)傅里葉變換（FT）、拉普拉斯變換、離散周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）、離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）、變換，以及用于計(jì)算機(jī)計(jì)算的離散傅里葉變換（DFT）和快速傅里葉變換（FFT）。1.2 信號(hào)的分類1.2.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)

7、簡(jiǎn)稱為連續(xù)信號(hào)，在所討論的信號(hào)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，除了若干不連續(xù)點(diǎn)之外，任意時(shí)間都有確定的信號(hào)取值。連續(xù)信號(hào)的符號(hào)表示為，為時(shí)間，連續(xù)取值。當(dāng)需要區(qū)分連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)時(shí)，以下標(biāo)表示連續(xù)信號(hào)，表示為。圖1-3是一個(gè)連續(xù)信號(hào)的示意圖。連續(xù)信號(hào)可分為非奇異信號(hào)和奇異信號(hào)。當(dāng)信號(hào)和信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)在整個(gè)時(shí)間區(qū)間都是連續(xù)時(shí)，稱為非奇異信號(hào)；當(dāng)信號(hào)或信號(hào)的某階導(dǎo)數(shù)存在不連續(xù)點(diǎn)（跳變點(diǎn)）時(shí)，稱為奇異信號(hào)。注意，如果一個(gè)信號(hào)本身是連續(xù)的，但若干次求導(dǎo)以后的導(dǎo)函數(shù)存在不連續(xù)點(diǎn)，則是奇異信號(hào)。一個(gè)非奇異信號(hào)和一個(gè)奇異信號(hào)相加或相乘，其結(jié)果通常仍為一個(gè)奇異信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)簡(jiǎn)稱為離散信號(hào)，在所討論的信號(hào)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，信號(hào)只在

8、一些離散時(shí)間點(diǎn)取值，其他時(shí)間無(wú)定義。離散信號(hào)的符號(hào)表示為，為離散點(diǎn)序數(shù)，取整數(shù)值。這里用下標(biāo)表示離散信號(hào)，以區(qū)分連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)。圖1-4是一個(gè)離散信號(hào)的示意圖。注意，在離散點(diǎn)之間，信號(hào)無(wú)定義，不要理解為信號(hào)取零值。離散信號(hào)通常來(lái)自于對(duì)連續(xù)信號(hào)的抽樣，并且經(jīng)常是等間隔抽樣。相鄰兩個(gè)抽樣點(diǎn)之間的時(shí)間間隔稱為抽樣周期或抽樣間隔，用表示；單位時(shí)間的抽樣點(diǎn)數(shù)稱為抽樣率，用表示，有。信號(hào)抽樣滿足關(guān)系。在離散信號(hào)分析中，經(jīng)常隱去時(shí)間的概念，因此也稱為離散序列。實(shí)際中還經(jīng)常用到模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)的概念。所謂模擬信號(hào)，信號(hào)的時(shí)間和幅值都連續(xù)取值。本課程中不區(qū)分模擬信號(hào)和連續(xù)信號(hào)。所謂數(shù)字信號(hào)，信號(hào)的時(shí)間和幅

9、值都離散取值。實(shí)際中的信號(hào)抽樣，由于模數(shù)轉(zhuǎn)換器（A/D轉(zhuǎn)換器）的位數(shù)限制，抽樣得到的離散點(diǎn)的信號(hào)幅值都是離散的，所以是數(shù)字信號(hào)。圖1-4 離散信號(hào)0-112345678-20圖1-3 連續(xù)信號(hào)1.2.2 周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)是以一定時(shí)間間隔周期重復(fù)的信號(hào)，無(wú)始無(wú)終。連續(xù)周期信號(hào)滿足關(guān)系 （1-1）稱為連續(xù)周期信號(hào)的周期。離散周期信號(hào)滿足關(guān)系 （1-2）取正整數(shù)，稱為離散周期信號(hào)的周期。1.2.3 能量有限信號(hào)和能量無(wú)限信號(hào)一個(gè)連續(xù)信號(hào)的能量定義為 （1-3）當(dāng)為復(fù)信號(hào)時(shí)，。信號(hào)的能量可理解為：假設(shè)是一個(gè)電壓信號(hào)或電流信號(hào)，它作用在一個(gè)1電阻上時(shí)所消耗的能量為信號(hào)能量。一個(gè)離散信號(hào)的能量

10、定義為 （1-4）當(dāng)為復(fù)信號(hào)時(shí)，。對(duì)于連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)，當(dāng)信號(hào)的能量為有限值時(shí)稱為能量有限信號(hào)，否則稱為能量無(wú)限信號(hào)。式（1-3）和式（1-4）中取信號(hào)的絕對(duì)值，表示信號(hào)能量的定義對(duì)復(fù)信號(hào)也成立。1.3 典型信號(hào)1.3.1 典型連續(xù)非奇異信號(hào)1. 三角信號(hào)三角信號(hào)有正弦和余弦兩種表示形式，為方便起見(jiàn)，本教材選擇余弦函數(shù)的表示方式。三角信號(hào)的一般表達(dá)式為 （1-5）式中為信號(hào)幅值，為角頻率，為初始相位。以后在提到三角信號(hào)的初始相位時(shí)，均指余弦表示方式下的初始相位。三角信號(hào)的角頻率、頻率和周期滿足關(guān)系：。當(dāng)三角信號(hào)的角頻率時(shí)為直流信號(hào)，直流信號(hào)是三角信號(hào)的一個(gè)特例。圖1-5是一個(gè)三角信號(hào)的典型波

11、形。2. 指數(shù)信號(hào)指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為 （1-6）式中和均為實(shí)數(shù)，為時(shí)的信號(hào)幅值，為衰減系數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨時(shí)間增大而增加；當(dāng)時(shí)，隨時(shí)間增大而減小。圖1-6是指數(shù)信號(hào)的典型波形。圖1-6 指數(shù)信號(hào)波形0圖1-5 三角信號(hào)波形03. 復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為 （1-7）式中和既可為實(shí)數(shù)也可為復(fù)數(shù)，有以下幾種情況。（1）當(dāng)和都為實(shí)數(shù)時(shí)，就是一個(gè)指數(shù)信號(hào)。指數(shù)信號(hào)是復(fù)指數(shù)信號(hào)的一個(gè)特例。（2）當(dāng)為實(shí)數(shù)，為復(fù)數(shù)時(shí)，設(shè) （1-8）有 （1-9）根據(jù)歐拉公式 （1-10a） （1-10b）于是有 （1-11）此時(shí)的實(shí)部和虛部都是一個(gè)指數(shù)包絡(luò)的三角函數(shù)，復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示衰減系數(shù)和角頻率。當(dāng)時(shí)，有 （1

12、-12）它的實(shí)部和虛部都是無(wú)衰減的三角函數(shù)。（3）如果和都為復(fù)數(shù)，設(shè) （1-13）則有 （1-14）其實(shí)部和虛部分別是一個(gè)指數(shù)包絡(luò)的三角函數(shù)，復(fù)數(shù)的模和輻角分別表示指數(shù)包絡(luò)三角函數(shù)的幅值和初始相位，復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示衰減系數(shù)和角頻率。復(fù)指數(shù)信號(hào)是一個(gè)抽象的信號(hào)，實(shí)際中并不存在復(fù)指數(shù)信號(hào)，但借助于復(fù)指數(shù)信號(hào)，可以表示指數(shù)信號(hào)、三角信號(hào)和指數(shù)包絡(luò)三角信號(hào)，描述了幅值、衰減、頻率和相位等特征量。4. 三角信號(hào)的復(fù)指數(shù)表示一個(gè)三角信號(hào)可以用一對(duì)共軛復(fù)指數(shù)信號(hào)表示，根據(jù)歐拉公式，它們滿足關(guān)系 （1-15）（M是實(shí)數(shù)，A1、A2是復(fù)數(shù)。）圖1-7顯示了在復(fù)平面上一對(duì)共軛復(fù)指數(shù)信號(hào)疊加為一個(gè)實(shí)三角信號(hào)

13、的關(guān)系。在復(fù)平面上，共軛復(fù)函數(shù)和是一對(duì)旋轉(zhuǎn)的單位向量，向量始端在原點(diǎn)，長(zhǎng)度為1，分別以和的角速度旋轉(zhuǎn)。在時(shí)，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)向量的起始位置在正實(shí)軸，即初始相位均為零；在任意時(shí)間，兩個(gè)單位旋轉(zhuǎn)向量與實(shí)軸的夾角分別為和。兩個(gè)向量在實(shí)軸上的投影都是，在虛軸上的投影分別為和。和始終關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，兩個(gè)向量疊加得到向量，始終在實(shí)軸上變化，是一個(gè)實(shí)函數(shù)，最大幅值為2。式（1-15）中的共軛復(fù)數(shù)和是復(fù)平面上兩個(gè)關(guān)于實(shí)軸為對(duì)稱的固定向量，向量始端在原點(diǎn)，長(zhǎng)度為，輻角分別為和。圖1-7 三角信號(hào)和復(fù)指數(shù)信號(hào)的關(guān)系復(fù)數(shù)和與復(fù)函數(shù)和分別相乘，得和，它們也是復(fù)平面上一對(duì)旋轉(zhuǎn)的共軛向量，始端在原點(diǎn)，長(zhǎng)度為，分別以角速度和旋轉(zhuǎn)，初

14、始相位分別為和。在任意時(shí)間，兩個(gè)向量與實(shí)軸的夾角分別為和。這兩個(gè)向量在實(shí)軸上的投影均為，在虛軸上的投影分別為和。兩個(gè)向量始終關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，疊加得向量，始終在實(shí)軸上變化，最大幅值為。由此可見(jiàn)，一對(duì)任意幅值和初始相位的共軛復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加是一個(gè)實(shí)三角信號(hào)。反過(guò)來(lái)，任意幅值和初始相位的三角信號(hào)可分解為兩個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加。共軛復(fù)數(shù)和的模和輻角對(duì)應(yīng)于三角信號(hào)的幅值和初始相位，單位共軛復(fù)函數(shù)和的角頻率對(duì)應(yīng)于三角信號(hào)的角頻率。一個(gè)實(shí)三角信號(hào)分解為正、負(fù)兩個(gè)頻率的復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加，引出了負(fù)頻率的概念，這個(gè)負(fù)頻率的物理意義表示的還是實(shí)際的相同數(shù)值的正頻率。信號(hào)的復(fù)指數(shù)表示把指數(shù)信號(hào)、三角信號(hào)和指數(shù)包絡(luò)三角信號(hào)

15、統(tǒng)一到了同一個(gè)形式，同時(shí)包含了幅值、衰減、頻率和相位等特征量，給信號(hào)和系統(tǒng)分析帶來(lái)了很大方便，因此得到了大量使用。5. 抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)的表達(dá)式為 （1-16）其波形如圖1-8。在時(shí)刻，抽樣信號(hào)取值為 （1-17）抽樣信號(hào)滿足以下關(guān)系 （1-18）圖1-8 抽樣信號(hào)波形0圖1-9 單位階躍信號(hào)01.3.2 典型奇異信號(hào)1. 單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)的定義為 （1-19） （1-20）圖1-9是單位階躍信號(hào)的波形，在處信號(hào)跳變。2. 單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)的定義為 和 （1-21） 和 （1-22）圖1-10是單位沖激信號(hào)的圖形表示。直觀地理解，單位沖激信號(hào)具有兩個(gè)基本特點(diǎn)：其一，信號(hào)在一個(gè)無(wú)

16、窮小時(shí)間區(qū)間里取非零值，其他區(qū)間為零或無(wú)窮?。黄涠?，信號(hào)波形的凈面積為1。因?yàn)樾盘?hào)在無(wú)窮小區(qū)間內(nèi)的凈面積是1，所以信號(hào)的幅值必然是無(wú)窮大。圖1-11 單位沖激信號(hào)的逼近0圖1-10 單位沖激信號(hào)0圖1-11是用矩形脈沖取極限得單位沖激信號(hào)的情況。設(shè)矩形脈沖的寬度為，面積為1，則高度為。壓縮脈沖的寬度，保持其面積不變，則脈沖的高度增加。當(dāng)矩形脈沖寬度時(shí)，矩形脈沖高度，矩形脈沖趨于單位沖激脈沖，即 （1-23）抽樣信號(hào)取極限也可得到?jīng)_激信號(hào)。構(gòu)造信號(hào)，當(dāng)和時(shí)，有；當(dāng)和時(shí)，有（此處應(yīng)用了廣義極限）?？梢?jiàn)，當(dāng)時(shí)，信號(hào)波形寬度趨于，幅值趨于，且有 （1-24）因此 （1-25）將任意形狀的信號(hào)進(jìn)行水平壓

17、縮，如果它滿足上述沖激信號(hào)的兩個(gè)特點(diǎn)，就可以用沖激信號(hào)表示。如果波形的凈面積不是1，而是一個(gè)常數(shù)，則可以用一個(gè)強(qiáng)度為的沖激信號(hào)表示，即。單位沖激函數(shù)具有以下基本特性：（1）與單位階躍函數(shù)的關(guān)系 （1-26） （1-27）（2）抽樣特性 （1-28） （1-29）（3）奇偶特性 （1-30）（4）尺度特性 （1-31）以下幾個(gè)例子可以幫助理解沖激信號(hào)的物理意義。例1-1 在圖1-12中，一個(gè)直流電源對(duì)電容充電，當(dāng)開(kāi)關(guān)在時(shí)刻關(guān)合時(shí)，電容在瞬間被充電至電壓。設(shè)電容的初始電壓為0，則電容的電荷隨時(shí)間的變化為 （1-32）充電電流是電荷變化的導(dǎo)函數(shù) （1-33）它是一個(gè)強(qiáng)度為的沖激信號(hào)。實(shí)際電路中不可避

18、免地有電感和電阻，充電時(shí)間不可能為無(wú)窮小，充電電流幅值也達(dá)不到無(wú)窮大，但在充電電流持續(xù)時(shí)間很短、電流幅值很大的情況下，可用沖激信號(hào)近似表示。例1-2 在圖1-13中，一個(gè)質(zhì)量為的剛性球處于靜止?fàn)顟B(tài)，在時(shí)刻被另一剛性球撞擊，開(kāi)始以速度運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樽矒魰r(shí)間很短，則被撞剛性球的速度變化為 （1-34）其加速度為 （1-35）其所受到的撞擊力為 （1-36）被撞擊球所受的撞擊力和運(yùn)動(dòng)加速度都可以用沖激信號(hào)表示。實(shí)際中的撞擊時(shí)間不可能為無(wú)窮小，因此撞擊力也達(dá)不到無(wú)窮大，但在撞擊時(shí)間很短的情況下可以用沖激信號(hào)近似表示。圖1-13 剛性球碰撞圖1-14 長(zhǎng)線上質(zhì)點(diǎn)的線密度圖1-12 直流電源對(duì)電容充電例1-3

19、 圖1-14所示是一根長(zhǎng)線，在和兩位置有兩個(gè)質(zhì)量分別為和的質(zhì)點(diǎn)，長(zhǎng)線其他部分無(wú)質(zhì)量。該長(zhǎng)線質(zhì)量分布隨變化的關(guān)系為 （1-37）其質(zhì)量線密度為 （1-38）實(shí)際中的質(zhì)點(diǎn)總具有一定的尺寸，在尺寸很小的情況下，質(zhì)量線密度可以用沖激信號(hào)表示。3. 單位沖激偶信號(hào)單位沖激偶信號(hào)的定義為 （1-39）單位沖激偶信號(hào)的基本特性： （1-40） （1-41） （1-42） （1-43） （1-44）1.3.3 典型離散信號(hào)1單位樣值信號(hào)單位樣值信號(hào)的定義為 （1-45） （1-46）圖1-15是單位樣值信號(hào)的波形。單位樣值信號(hào)不是單位沖激信號(hào)的抽樣。2單位階躍序列單位階躍序列的定義為 （1-47） （1-48

20、）圖1-16是單位階躍序列的波形。對(duì)連續(xù)單位階躍信號(hào)進(jìn)行抽樣，并設(shè)定在時(shí)刻對(duì)單位階躍信號(hào)的抽樣值為1，則抽樣結(jié)果為單位階躍序列。圖1-16 單位階躍序列-2 -1 0 1 2 3圖1-15 單位樣值信號(hào)-2 -1 0 1 2 33三角序列三角序列的表達(dá)式為 （1-49）式中為幅值，為離散角頻率，表示單位離散間隔信號(hào)變化的角度（用弧度表示），為初始相位。圖1-17是三角序列的波形。當(dāng)三角序列的離散角頻率為時(shí)，即為直流序列，直流序列是三角序列的特例。圖1-17 三角序列012345678910-1-2三角序列經(jīng)常來(lái)自于對(duì)連續(xù)三角信號(hào)的數(shù)值抽樣，如果抽樣周期是，則有 （1-50）此時(shí)離散角頻率和連續(xù)

21、角頻率的關(guān)系為 （1-51）連續(xù)角頻率表示連續(xù)三角信號(hào)在單位時(shí)間內(nèi)變化的角度，離散角頻率表示離散三角序列在單位離散間隔內(nèi)變化的角度，請(qǐng)注意理解和區(qū)分它們的物理意義。對(duì)連續(xù)三角信號(hào)抽樣得離散三角序列，雖然是周期信號(hào)，但并不一定是周期信號(hào)。設(shè)的周期為，抽樣周期為，則的周期性取決于和的關(guān)系。如果存在非零正整數(shù)和，滿足，即為有理數(shù)，則為周期序列。如果是既約分?jǐn)?shù)，則的周期為。當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，不會(huì)周期重復(fù)，為非周期序列。4指數(shù)序列指數(shù)序列的表達(dá)式為 （1-52）式中和均為實(shí)數(shù)，為時(shí)的信號(hào)幅值，為離散衰減系數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨增大而增加；當(dāng)時(shí)，隨增大而減小。圖1-18是指數(shù)序列的典型波形。對(duì)連續(xù)指數(shù)信號(hào)抽樣，可得離散

22、指數(shù)序列 （1-53）其中 （1-54）表示一個(gè)抽樣間隔中的信號(hào)衰減。圖1-18 指數(shù)序列波形05 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列的表達(dá)式為 （1-55）式中和可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。類似于連續(xù)復(fù)指數(shù)函數(shù)，隨著和取值的不同，也有不同的變化。（1）當(dāng)和都為實(shí)數(shù)時(shí)，有 （1-56）此為實(shí)指數(shù)序列。指數(shù)序列是復(fù)指數(shù)序列的一個(gè)特例。（2）當(dāng)為實(shí)數(shù)，為復(fù)數(shù)時(shí)，設(shè) （1-57）有 （r為e的次方） （1-58）其實(shí)部和虛部都是指數(shù)包絡(luò)的三角序列，復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示了離散信號(hào)的衰減和角頻率。當(dāng)時(shí)，有 （1-59）其實(shí)部和虛部都是三角序列。（3）當(dāng)和都為復(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)， （1-60）則有 （1-61）其實(shí)部和虛部分別是一個(gè)指

23、數(shù)包絡(luò)的三角序列，復(fù)數(shù)的模和輻角分別表示了指數(shù)包絡(luò)三角序列的幅值和初始相位，復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示了衰減和角頻率。借助于離散復(fù)指數(shù)信號(hào)，可以表示離散指數(shù)信號(hào)、離散三角信號(hào)和離散指數(shù)包絡(luò)三角信號(hào)，描述了幅值、衰減、頻率和相位等特征量。和連續(xù)三角信號(hào)類似，一個(gè)離散三角序列可以表示為一對(duì)共軛的離散復(fù)指數(shù)序列的疊加，即 （1-62）依然可以用類似于圖1-7所示的向量圖表示離散三角序列和離散復(fù)指數(shù)序列的關(guān)系，差別在于，連續(xù)信號(hào)情況下，旋轉(zhuǎn)向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角頻率分別為和；離散信號(hào)情況下，旋轉(zhuǎn)向量離散（步進(jìn)）旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角頻率（單位離散間隔步進(jìn)的角度）分別為和。1.4 信號(hào)的運(yùn)算1.4.1 信號(hào)的移位、反

24、褶與尺度變化已知信號(hào)，是對(duì)的移位運(yùn)算，正號(hào)對(duì)應(yīng)于波形左移時(shí)間；負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于波形右移時(shí)間。是對(duì)的尺度運(yùn)算，當(dāng)時(shí)，波形在水平方向被壓縮；當(dāng)時(shí)，波形在水平方向被擴(kuò)展。是對(duì)的反褶運(yùn)算。信號(hào)同時(shí)包含了對(duì)信號(hào)的移位、反褶和尺度運(yùn)算。具體運(yùn)算步驟可分解如下：（1）改寫(xiě)信號(hào)形式 （1-63）（2）由做尺度和反褶運(yùn)算得；（3）由做移位運(yùn)算得。在同時(shí)包含移位、反褶和尺度運(yùn)算時(shí)，需注意運(yùn)算步驟，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。例1-4 已知信號(hào)，波形如圖1-19(a)所示。求的波形。解 改寫(xiě)信號(hào)形式，得 。由做尺度運(yùn)算，得，波形如圖1-19(b)所示。對(duì)做反褶運(yùn)算，得，波形如圖1-19(c)所示。再對(duì)右移，得，最終波形如圖1-19(

25、d)所示。圖1-19 信號(hào)的移位、反褶與尺度0(c)0 2.5(d)0(b)0(a)圖1-20 信號(hào)周期延拓0(c)0(b)0(a)1.4.2 信號(hào)相加和相乘已知信號(hào)和，信號(hào)相加運(yùn)算為 （1-64）信號(hào)相乘運(yùn)算為 （1-65）如果和為周期信號(hào)，它們的周期分別為和，那么的周期性取決于和的關(guān)系。如果存在非零正整數(shù)和，滿足，即為有理數(shù)，則為周期信號(hào)。如果是既約分?jǐn)?shù)，則的周期為或。如果為無(wú)理數(shù)，則為非周期信號(hào)。可以看到，周期信號(hào)相疊加并不一定是周期信號(hào)，只有它們的周期之比為有理數(shù)時(shí)，疊加后的信號(hào)才保持周期性。1.4.3 信號(hào)的周期延拓已知非周期信號(hào)，它的周期延拓為 （1-66）其中為延拓周期。為周期信

26、號(hào)，周期等于延拓周期。圖1-20為信號(hào)周期延拓示意圖，它包括無(wú)混疊周期延拓和有混疊周期延拓兩種情況。當(dāng)信號(hào)非零值的時(shí)間有限（簡(jiǎn)稱時(shí)間有限），且非零值的時(shí)間小于延拓周期時(shí)，重復(fù)移位的波形互相不混疊，為無(wú)混疊延拓，如圖1-20(b)所示。當(dāng)信號(hào)非零值的時(shí)間無(wú)限（簡(jiǎn)稱時(shí)間無(wú)限），或者時(shí)間有限，但非零值的時(shí)間大于延拓周期時(shí)，重復(fù)移位的波形互相混疊，為有混疊延拓，如圖1-20(c)所示。1.4.4 信號(hào)的抽樣所謂抽樣，就是從連續(xù)信號(hào)中，每隔一定時(shí)間間隔抽取一個(gè)樣本，通常為等間隔抽樣，抽樣間隔也稱抽樣周期。信號(hào)抽樣有脈沖抽樣和數(shù)值抽樣兩種方式。圖1-22 信號(hào)沖激脈沖抽樣(a)(b)(c)圖1-21 信號(hào)

27、矩形脈沖抽樣(a)(b)(c)脈沖抽樣是用一個(gè)周期脈沖信號(hào)和被抽樣信號(hào)相乘，得到抽樣信號(hào)，此處下標(biāo)表示周期信號(hào)，下標(biāo)表示連續(xù)信號(hào)，下標(biāo)表示脈沖抽樣信號(hào)。當(dāng)抽樣用的周期脈沖信號(hào)為矩形脈沖時(shí)，稱為矩形脈沖抽樣，圖1-21為矩形脈沖抽樣的情況。當(dāng)抽樣用的周期脈沖信號(hào)為沖激脈沖時(shí)，稱為沖激脈沖抽樣，圖1-22為沖激脈沖抽樣的情況。脈沖抽樣信號(hào)仍為連續(xù)信號(hào)。數(shù)值抽樣是以時(shí)間間隔抽取連續(xù)信號(hào)的函數(shù)值，得離散信號(hào)，此處以下標(biāo)表示離散信號(hào)。圖1-23為信號(hào)數(shù)值抽樣的情況。圖1-23 信號(hào)數(shù)值抽樣(a)(b)1.5 信號(hào)的分解 信號(hào)分解是為了分析信號(hào)的方便把一個(gè)信號(hào)分解為多個(gè)（有限個(gè)或無(wú)限個(gè)）較為簡(jiǎn)單的信號(hào)分量

28、的疊加。信號(hào)分解的概念和方法是信號(hào)分析的精髓。常用的信號(hào)分解方式有：直流分量和交流分量分解，偶分量和奇分量分解，實(shí)分量和虛分量分解，脈沖分量分解，正交分量分解等。信號(hào)脈沖分量分解和正交分解的概念留待后面詳細(xì)介紹。1.5.1 直流分量與交流分量任一信號(hào)可分解為直流分量和交流分量之和，即 （1-67）其中是直流分量，為信號(hào)的平均值 （1-68）是交流分量，是原信號(hào)中去掉直流分量后的部分。在信號(hào)直流分量和交流分量分解的方式下，原信號(hào)的平均功率等于其直流分量的功率與其交流分量的平均功率之和。1.5.2 偶分量與奇分量任一信號(hào)可分解為偶分量和奇分量之和，即 （1-69）其中為偶分量，為奇分量，且有 （1

29、-70）在信號(hào)偶分量與奇分量分解的方式下，原信號(hào)的平均功率等于其偶分量的平均功率與其奇分量的平均功率之和。1.5.3 實(shí)部分量與虛部分量任一復(fù)信號(hào)可分解為實(shí)部信號(hào)和虛部信號(hào)之和，即 （1-71）其中為實(shí)部分量，為虛部分量，有 （1-72）是的共軛。 在信號(hào)實(shí)部分量和虛部分量分解的方式下，信號(hào)平均功率為 （1-73）即原信號(hào)的平均功率等于其實(shí)部分量的平均功率與其虛部分量的平均功率之和。1.7 系統(tǒng)的分類1.7.1 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)的輸入（激勵(lì)）信號(hào)和輸出（響應(yīng)）信號(hào)都是連續(xù)信號(hào)時(shí)，稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。我們所熟悉的電路系統(tǒng)即為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)通常用微分方程或微分方程組來(lái)描述

30、。當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都是離散信號(hào)時(shí)，稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)可以通過(guò)一個(gè)軟件程序來(lái)實(shí)現(xiàn)，在數(shù)字信號(hào)處理中大量使用。例如，在數(shù)字電度表中，首先對(duì)電壓和電流進(jìn)行抽樣，得離散電壓和離散電流信號(hào)，然后則通過(guò)實(shí)時(shí)的數(shù)字計(jì)算，獲得離散的功率信號(hào)和電量信號(hào)，還可以分析諧波，計(jì)算諧波功率和電量。離散系統(tǒng)通常用差分方程或差分方程組來(lái)描述。存在連續(xù)和離散混合的系統(tǒng)，即一個(gè)系統(tǒng)中同時(shí)包含連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)。例如數(shù)字電度表中的模數(shù)（A/D）轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，抽樣前的信號(hào)是連續(xù)的，抽樣后的信號(hào)是離散的。1.7.2 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的輸出只取決于同時(shí)刻的系統(tǒng)輸入，和系統(tǒng)過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)，則稱為即時(shí)系統(tǒng)

31、。如果系統(tǒng)的輸出不僅取決于同時(shí)刻的系統(tǒng)輸入，還取決于系統(tǒng)過(guò)去的狀態(tài)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。即時(shí)系統(tǒng)不包含記憶元件。例如，對(duì)于電路系統(tǒng)，電感和電容能夠儲(chǔ)能，屬于記憶元件，電阻則屬于非記憶元件。因此，一個(gè)只包含電源和電阻的系統(tǒng)是即時(shí)系統(tǒng)，而包含了電感或電容的系統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)用微分方程或差分方程描述，即時(shí)系統(tǒng)用代數(shù)方程描述。 1.7.3 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)需要滿足疊加性和均勻性。所謂疊加性，即多個(gè)激勵(lì)信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。所謂均勻性，即激勵(lì)信號(hào)變化某個(gè)倍數(shù)時(shí)，響應(yīng)也變化相同的倍數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)不僅取決于激勵(lì)，還取決于系統(tǒng)的儲(chǔ)能，即系統(tǒng)的初始狀態(tài)，系統(tǒng)的響應(yīng)和激勵(lì)之間不可能滿足疊加性和均