連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度.ppt

1、第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,教學(xué)重點(diǎn) 1 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 2 正態(tài)分布,要求： 1、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的定義和性質(zhì)， 2、均勻分布、指數(shù)分布的定義及性質(zhì)； 4、正態(tài)分布的定義、性質(zhì)、密度函數(shù)及幾何性質(zhì)； 5、一般正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系； 6、會(huì)利用正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)求積分,一 連續(xù)型隨機(jī)變量 1 定義,由定義知道：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),2 概率密度的性質(zhì),1 非負(fù)性,2 規(guī)范性,這兩個(gè)性質(zhì)是判斷一個(gè)函數(shù)是否為一個(gè)連續(xù)型r.v.X的概率密度的充要條件,分布曲線,面積為1,利用概率密度可確 定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè) 范圍內(nèi)的概率,若x是 f(x)的連

2、續(xù)點(diǎn)，則：,=f(x),故 X的密度 f(x) 在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是 X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度.,(1) 連續(xù)型r.v.取任一指定實(shí)數(shù)值a 的概率均為0. 即,這是因?yàn)?請(qǐng)注意:,當(dāng) 時(shí),得到,由P(B)=1, 不能推出 B=S,由P(A)=0, 不能推出,對(duì)連續(xù)型 r.v. X,有,說(shuō) 明: 由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問(wèn)題,(此公式非常重要),要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個(gè)

3、高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.,若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：,它表示隨機(jī)變量 X 取值于 的概率近似等于 .,例題選講,例題1 設(shè)隨機(jī)變量X具有隨機(jī)密度函數(shù),試求 (1) c (2) X的分布函數(shù)；,1. 均勻分布,則稱X在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布，,X U(a, b),三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,若 r .v X的概率密度為：,記作,與c無(wú)關(guān),公交線路上兩輛公共汽車前后通過(guò)某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.,均勻分布常見(jiàn)于下列情形：,如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；,例2 某公共

4、汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于5 分鐘的概率.,解,依題意， X U ( 0, 30 ),以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位,為使候車時(shí)間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車站.,所求概率為：,即乘客候車時(shí)間少于5 分鐘的概率是1/3.,返回目錄,則稱 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.,指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.,若 r.v X具有概率密度,常簡(jiǎn)記為 X

5、E( ) .,2 指數(shù)分布,若X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 則其分布函數(shù)為,事實(shí)上 ,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),注意 1）無(wú)記憶性；,2）電子元件的使用壽命和各種隨機(jī)系統(tǒng)的 服務(wù)時(shí)間在一般情形認(rèn)為其服從指數(shù)分布； 3）指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論的應(yīng)用 比較廣泛。,3. 正態(tài)分布,若連續(xù)型 r .v X 的概率密度為,記作,其中 和 ( 0 )都是常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布或高斯分布.,曲線 關(guān)于 軸對(duì)稱；,函數(shù) 在 上單調(diào)增加,在 上,單調(diào)減少,在 取得最大值；,x = 為 f (x) 的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；,當(dāng)x 時(shí)，f(x) 0.,f (x) 以 x 軸為漸近線,根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，

6、也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.,正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn),正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)稱的鐘形曲線.,特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.,稱為位置參數(shù),決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn),正態(tài)分布 的分布函數(shù),4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示：,的性質(zhì) :,事實(shí)上 ,它的依據(jù)是下面的定理：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè) 一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題.,定理 1,證,Z 的分布函數(shù)為

7、,則有,于是,書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.,正態(tài)分布表,當(dāng) x 0 時(shí) ,表中給的是 x 0 時(shí), (x)的值.,若,N(0,1),若 XN(0,1),由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，,這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間 內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.,當(dāng)XN(0,1)時(shí)，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,5 3 準(zhǔn)則,將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3 準(zhǔn)則” （三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn),設(shè),若數(shù) 滿足條件,例題2,這