2019年第四屆愛尖子能力測評--物理答案

1、2019 年第四屆愛尖子物理能力測評解答 1.解：流星的運動分為星體半徑 R 之外的開普勒運動與星體內(nèi)部的二維簡諧運動。流星的初速度為星體表面的第一宇宙速度即 GMRv0 =(1.1)其中 M 為該星體總質(zhì)量，設(shè)星體密度為 r ，則 M = 4 p R3r .3（1） 求星體外部軌跡的偏轉(zhuǎn)角方法一： 在極坐標中求解。流星沿雙曲線運動，軌跡方程可以寫作 r =p1+ e cos b(1.2)其中， p 為半正焦弦， e 為離心率， b 為與對稱軸的夾角，在總能量 12E = 2 mv0(1.3)角動量 L = mbv0 = mRv0(1.4)時，半正焦弦 p = b2 =22 2LR v = 0

2、 = R(1.5)離心率 故軌跡方程為 aGMm2GM21+2EL2G2 M 2m3e =1+2 cosbr =R(1.6)(1.7)當e cos b0 -1時， r0 ，所以初始角度 1 到達星體表面時r1 = R 的角度 b0 =arccos - = 135e(1.8)b = arccos p - 1 = 90(1.9)1 eRe 到達星體表面時流星的速度可以由能量守恒 12GMm12求得 2 mv1 -R= 2 mv0v1 =3v0(1.10)(1.11)設(shè)到達星體表面時其速度方向與矢徑方向的夾角為a ，由角動量守恒 求得 L = mbv1 = mRv1 sina(1.12)3 a =

3、arcsin v0b = arcsin v R 1 35.3(1.13) 1所以在到達星體表面前其速度方向共改變了 q1 = b0 - b1 -a = 9.7(1.14)方法二： 在直角坐標系下求解。 軌道參數(shù) a 可由總能量 求得 12GMm E = 2 mv0 =2aa = R (1.15)(1.16)軌道參數(shù)b 可以直接由瞄準距離直接得到 然后得到軌道參數(shù)cb = R(1.17)a2 + b2c =(1.18)b 與c 也可以由動力學關(guān)系對最近點列能量角動量守恒方程解得，即設(shè)最近點速度為v2 ，近 點距離焦點c - a ，有能量守恒 1212GMmE =mv0 =mv2 -22c - a

4、(1.19)與角動量守恒 L = mRv0 = m (c - a)v2(1.20)解得 即能算出bc =2R(1.21)b =c2 - a2 = R(1.22)即等于瞄準距離。所以直角坐標系下的軌跡方程為 x2 - y2= 1(1.23)聯(lián)立星球表面的圓方程 解得 (x +a2b22R)2 + y2 = R2(1.24)x = - 2R y = R此處以舍去虛根并取第二象限內(nèi)的解。所以到達星體表面時矢徑方向與 x 軸夾角為 (1.25)b1 = 90(1.26)而在無窮遠處入射時矢徑方向以及速度方向與 x 軸的夾角為 b ab2 =arctan + 90 = 135(1.27)之后同方法一，在

5、求出到達星體表面時速度方向與矢徑夾角a 后求出偏轉(zhuǎn)角q1 。 （2） 求星體內(nèi)部軌跡的偏轉(zhuǎn)角 在星體內(nèi)部，流星受到線性回復力的作用 F = - 4 Gprmr = -kr3(1.28)做二維簡諧運動，等效恢復系數(shù) k = 4 p Grm = GMm(1.29) 而簡諧運動的圓頻率w 為 3R3kmw =(1.30)以中心為勢能零點總能量 12122E = 2 mv1 + 2 kR = 2kR(1.31)角動量的形式不變，而它們與軌道參數(shù) A 與 B 之間的關(guān)系為 E = 1 kA2 + 1 kB2(1.32)22代入數(shù)值即 組合得到 解得 L = mA(wB)= mB(wA)= A2 + B2

6、 = 4R2 AB = R2( A + B)2 = 6R2( A - B)2 = 2R2 6 +2kmAB(1.33)(1.34)(1.35) A=2R(1.36)B =6 -2 R2以軌道長短軸為 xy 軸建立坐標系，在星體內(nèi)部的橢圓軌道方程為 2x2 + y =1(1.37)A2B2與星體表面的圓方程（注意這次天體中心在坐標中心） x2 + y2 = R2(1.38)聯(lián)立得到進入點的坐標 A2 - B2 A2 - R2A2 - B2x1 =R2 - B2 A(1.39) y1 =B所以進入點的角度為 j = arctan y1 = arctan 6 - 27.42(1.40)x2 1 所以

7、在星體內(nèi)部到達行程一半處（即到達 y 軸）速度方向偏轉(zhuǎn)的角度為 q2 = a -j = 7.9(1.41)考慮到之后的運動與前面的情況完全對稱，所以總的偏轉(zhuǎn)角度 q = 2 (q1 + q2 ) 35.3(1.42)3)注：若用反三角函數(shù)計算則結(jié)果恰等于arcsin(1/。 第一宇宙速度(1.1)式 2 分；星體外部軌道的計算共 19 分，兩種方法均為能量角動量表達式各 3 分，軌道參數(shù) 6 分，極坐標為e 和 p ，直角坐標為abc（若直接由瞄準距離得到b 則可 以不寫出角動量），軌道方程 2 分，求夾角a 以及偏角q1 ，(1.10)-(1.14)各 1 分；內(nèi)部軌道的 計算共 17 分，

8、線性回復力(1.28)2 分，圓頻率(1.30)或周期 1 分，能量角動量各 3 分，軌道參數(shù)(1.36)2 分，軌道方程(1.37)2 分，偏轉(zhuǎn)角度計算(1.38)(1.39)(1.40)(1.41)各 1 分；結(jié)論最終偏轉(zhuǎn)角 2 分。 2.解： （1） 在碰撞發(fā)生時，小球與桿的相互作用力沿桿的法向。之后小球沿桿運動速度vx 不變， 垂直桿方向的運動速度vy 發(fā)生改變，然后勻速運動。桿的質(zhì)心獲得垂直桿方向的速度vc ，同時桿整體開始旋轉(zhuǎn)，角速度為w 。 首先在 x 方向上速度不變 v =2v(2.1)在 y 方向上動量守恒 x202Mv - mv =mv(2.2)cy20以碰撞點為參考點角動

9、量守恒 12 10 = 12 ml w - mvc 2 - l l(2.3)完全彈性碰撞能量守恒1 212212112 2mv0 =m (vx + vy ) +Mvc + ml w(2.4)2222 12其中角動量守恒方程也可以選取其它參考點，能量守恒方程可以由法向接近速度等于分離速度代替，即 v + v + w 1 - l l =2 v(2.5)22yc0根據(jù)以上四式可以求得 v =2 v x02M - m - 3(1- 2l )22v02 yv = mm + M2+ 3(1- 2l )m2v(2.6)vc = 0w =m + M + 3(1- 2l )2m2v06(1- 2l )m + M

10、 + 3(1- 2l )2lm2（2）當 M / m = 5 ， l = 0 時，末狀態(tài)為 v =v x02vy =2v02v018v =(2.7)9 cw = 2 2v03l要求能發(fā)生第二次碰撞，若在桿的質(zhì)心系中分析，則小球必須在桿轉(zhuǎn)動q 角度之前不能離開桿的活動范圍。 在桿的參考系中小球碰后的運動方向與桿的夾角為 a = arctan vy + vc = arctan 1 0.322 rad (2.8)小球離開桿的活動范圍的時間是 vx 3l cosav2 + (v + v )2xyct = 9 2 l 1.27 l(2.9)110v0v0由幾何關(guān)系得到 桿轉(zhuǎn)動q 角需要時間 q = 2a

11、 0.644 rad(2.10)所以可以發(fā)生第二次碰撞。 t =q2w 0.683 lv0 0 ，即 r gV - mg 0拉力達到 0 時即為臨界狀態(tài)，得到方程 (4.12)pM g pg10RTrp0V = mg(4.13)0 代入（4.5）（4.10）兩式可求得臨界高度 ln gRT ln T = 7RT T 0hmax = g -01 M g T 2M gT (4.14)r 0 r 0 之后氣球中的氣體若不再受到拉力，依然保持勻速，故浮力與重力平衡，即 rp M gV = mg(4.15)RT0于是得到之后的上升過程中壓強 p 與體積V 之間滿足 pV = mRT0 = 常數(shù)(4.16

12、)Mr所以之后氣球內(nèi)的氣體做等溫過程，并且溫度等于T0 。設(shè)達到hmax 時的壓強為 p1 ，體積為 V1 ，之后的高度設(shè)為 H = h - hmax ，則 -p = p1eMr gH RT0(4.17)等溫過程中氣體吸熱量 Mr gHV = V1e RT0- Mr gHMr gH M g(4.18)11dQ = pdV = p eRT0 V e RT0 r dH(4.19)代入（4.16）式的結(jié)論即得到 RT0dQ=mgdH(4.20)電阻絲的加熱功率應(yīng)該至少等于氣體做等溫過程的吸熱，即 dQ = mg dHP= =mgv(4.21)mindtdt第一問共 6 分，力學壓強高度關(guān)系(4.1)

13、熱學理想氣體狀態(tài)方程(4.3)結(jié)論(4.5)各兩分 第二問共 12 分，密度高度關(guān)系(4.6)2 分，絕熱關(guān)系(4.7)4 分，力學平衡(4.8)2 分，(4.9-11)做功的計算與化簡 4 分，若未化簡則扣 2 分。 第三問共 22 分， 高度的列式(4.13)4 分、求解(4.14)4 分，力學平衡(4.15)2 分，等溫關(guān)系(4.16) 或體積高度關(guān)系(4.18)4 分，吸熱與做功關(guān)系(4.19)4 分，結(jié)論(4.21)4 分，未化簡的結(jié)論扣 2 分。 5.解： （1） 將 AB 下方的電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻設(shè)為 xR ，則等效電路圖如下 依題意OA 之間的等效電阻為a R ，即 (xR +

14、 R) R = aR xR + R + R(5.1)解得 2a -1而 AB 之間的等效電阻為 x =(5.2)1- aR= xR 2R = (4a - 2) RAB1xR + 2R(5.3)（2） 將 ABC 下方的網(wǎng)絡(luò)看作一個三端網(wǎng)絡(luò)，每個三端網(wǎng)絡(luò)都能等效為一個Y 型或D 型連接的網(wǎng)絡(luò)，此處將其等效為D 型網(wǎng)絡(luò)，整個網(wǎng)絡(luò)的等效電路圖如下。 設(shè) ABC 下部的D 型電阻網(wǎng)絡(luò)的每條邊的電阻值為 yR ，則計算OA 之間的電阻時，BC 兩點為等勢點，所以 BC 之間的電阻可以拆去，等效電路圖如下 依題意OA 之間的電阻為 1= b R(5.4)1+1+ 1 yR + RyR + RR解得 y =

15、 3b -11- b(5.5)計算 AB 之間的等效電阻時， OC 為等勢點，得到 AB 之間的等效電阻為 RAB 2=11+ 1 + 12 yR2RyR= (3b -1)R(5.6)（3） 注意整個網(wǎng)絡(luò)的對稱性，ABC 三點是完全對等的，即這三點是等勢點，所以除 AB ， AC ， BC 之外的所有沒有電源的支路上都沒有電流流過。而這三條支路上，也應(yīng)該滿足任意兩端點等勢，即電阻的電勢降等于電源的電勢升，其等效電路圖如下， 電壓降滿足 UAB = UBC =UCA = e - IR = 0(5.7)所以流過電源的電流大小為 eI = (5.8)R第一問共 15 分，等效電路與列式(5.1)5

16、分，求解 AB 下方等效電阻(5.2)5 分，結(jié)論(5.3)5 分， 可以使用其它方法求解，按解答完整程度給分思路描述、中間步驟、解答與結(jié)論各 5 分。第二問共 15 分，等效電路與列式(5.4)5 分，求解 ABC 下方等效電阻(5.5)5 分，結(jié)論(5.6)5 分， 可以使用其它方法求解，按解答完整程度給分思路描述、中間步驟、解答與結(jié)論各 5 分。第三問共10 分，思路表述(5.7)5 分，結(jié)論(5.8)5 分。 6.解： （1） 方法一： 線框在通過時回路中的電動勢e 隨時間的變化為 e = BLv = B cos 2p x Lv= B Lv 2pv0(6.1)00 L 000 cosL

17、t 注意線圈離開磁場區(qū)域時電動勢會變號，不過這并不影響電功率的計算，所以不考慮其方向變化，將其看作一個時變交流電，周期為 T =L(6.2)v0線框經(jīng)過需要時間 Dt1= 2L = 2Tv(6.3)0所放出的焦等于其平均功率乘以時間，即用有效值計算 U 2(B0Lv0 )B2 L3vQ = eff Dt = 2 T =(6.4)001R1RR方法二： 線框經(jīng)過磁場區(qū)域時產(chǎn)生的動生電動勢為 2p x 2p v0 e = BLv0 = B0 cos電阻的焦功率大小為 L Lv0 = B0 Lv cosLt (6.5)0 02e 2( B Lv )2 2p vP = = cos 0 t (6.6)經(jīng)

18、過磁場區(qū)域需要的總時間為 RRDt1= 2L vL(6.7)總放熱為 0DDt1 ( B Lv )2 2p v2t1Q=Pdt =R 00cos2 L 0 t dt00 4p v L Dt1 ( B Lv )2 1+ cos0 t=000R dt2(6.8)B2L3v=0 R 0該電動勢為動生電動勢，但在線框參考系，線框不動，而看到空間中磁場的變化，故為感生電動勢。 （2） 當速度不再固定時，需要考慮線框的受力引起的速度變化，當線框速度為v 時，電路電動勢為 2p x Le = BLv = B0 cos Lv(6.9)電路中的電流大小為 I = e = B0 L 2p x v(6.10)線框受

19、安培力的作用 RR cosL B LdvB2L22 2p x 2 22 2p x dxm = -BIL = - 0cos v= - 0cos (6.11)dtR L R L dt整理得到 B2 L22 2p x - 0cos dx = mdv(6.12)R L 注意線圈離開磁場區(qū)域時電流方向會變號，但是對力的方向沒有影響所以直接對上式積分得到速度位移關(guān)系 B Lx2 2 2p x v- 0cos2 dx =0R L v即 mdv(6.13)0B2L2 x+ L sin 4p x = m(v - v)(6.14)L20 R4p0剛好完全通過時，即 x = 2L ， v = 0 ，代入得到初速度最

20、少為 2 3v0 min= B0 LmR(6.15)若初速度大于v0min 則可以通過，通過后速度為 B L2 3v = v0 - 0(6.16) mR釋放的焦等于動能減少，即 12121B2L3 B2L3 Q2 =mv0 -mv =m 0 2v0 - 0(6.17)222mR mR L （3） 當串接理想二極管時，線框中的電流只能沿一個方向，會有兩種情況： 1情況一：僅有順時針方向電流，即在 L x 3L ，L x 5， 7 L x 2L 區(qū)域內(nèi)線 4444框會受到安培力減速，其它區(qū)域內(nèi)勻速運動。 從上一問中得到，沒有二極管時線框從 x = 0 處到達 x 處，線圈的速度變化量為 -D =

21、B2 L2 L 4p x v0 x+sin (6.18)L /4 2mR 4p B2 L3L L /4 注意到每經(jīng)過一個 區(qū)域速度的減少量都為 0，所以如果有一段 8mR區(qū)域沒有被減 速，就直接在上式中括號中的 x 中減一個 L / 4 就行了。由此代入各個區(qū)域的初值得到速度隨位移的變化為 v ,0 x L 04B2L2 LL 4p x L3Lv0 - 0 x -+sin , x 2R B2L3 3L44p L 44v0 - 0, x L4R4v = B2L2 LL 4p x 5L(6.19)4v0 - 0 x -+sin , L x 2R24p L 0v - 3B2L3 ,5L x 7L 0

22、8RB2L2 4L 4 4p x 7Lv0 - 0 x - L+ sin , x 2L2R4pL4情況二：僅有逆時針方向電流，此時減速區(qū)域和上一種情形相反，得到速度-位移關(guān)系為 -B2 L2 L 4p x Lv0 0 x+sin , 0 x 2R B2 L2 L4p3LL 48R4v0 - 0, x 2 2 L4 4p x 3Lv - B L L 0 0 x -+sin , x Lv = 2R B2 L224p5L L 4.(6.20)v0 -0, L x 4RB2 L2 43LL 4p x 5L7Lv0 - 0 x- +sin , x 2R B2 L2 7L44p L 44v0 - 0, x

23、 2L2R4第一問共 10 分，方法一等效電源電壓(6.1)或電功率的計算 5 分，時間與周期關(guān)系分析(6.3)1 分，焦(6.4)列式 3 分結(jié)果 1 分；方法二電動勢(6.5)與電功率(6.6)6 分（有電功率表達式即可，只有電動勢表達式則得 2 分），焦(6.8)列式 3 分，結(jié)論 1 分。 第二問共 20 分，電動勢(6.9)3 分、電流(6.10)3 分，安培力受力分析(6.11-12)5 分，速度求解 (6.14-15)5 分，焦(6.17)列式 3 分結(jié)論 1 分。 第三問共 10 分，每種情況各 5 分，分段函數(shù)中一處錯誤扣 1 分，最低 0 分。 7.解： （1） 在玻璃表面

24、，兩列反射光發(fā)生干涉，一列經(jīng)過玻璃表面直接反射，由于從光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)，所以有半波損失，另一列經(jīng)過玻璃內(nèi)部在下表面反射，然后從上表面透射射出。 兩列波的光程差為 lDL = 2nh +(7.1)2其中 h 為玻璃厚度。在其表面橫向距離相距Dx 的兩點，厚度差為 Dh aDx(7.2)設(shè)其條紋間距為d ，當Dx = d 時，厚度變化ad ，引起的波程差變化應(yīng)該為一個波長，即 所以條紋間距為 l = 2nadl(7.3)d = (7.4)l2na注： d = 或其它零階近似一樣的表達式均可。 2n tan a（2） 當光源較近時，干涉的光程差既像等厚干涉那樣與玻璃厚度有關(guān)，又和等傾干涉一樣與入射角度有關(guān)，所以以等傾與等厚干涉條紋為基礎(chǔ)進行分析。 對于a 角度入射的光線，經(jīng)過厚度為 h 的玻璃，形成的兩列波的波程差約為 h代入折射定律 DL = 2ncos t- 2h tan t sin i(7.5)化簡為 sin i = nsin tDL = 2nhcost(7.6)(7.7)以光源位置為 x 軸原點，等厚線與 x 軸垂直而等傾線為同心圓。 在 x 0 處，沿等厚線光程差依然變小，沿等傾線光程差也變小，所以會有兩種情況，實際等光程線為如 A 那樣的比等傾線曲率更大的線，或者像 B 那樣向外凹的線，