4工程力學(xué)基礎(chǔ)-平面彎曲

1、第4章 平面彎曲,4、 平面彎曲梁的變形,3、 平面彎曲梁的應(yīng)力,2、 直梁彎曲的內(nèi)力,1、 平面彎曲的概念及實(shí)例,4.1 平面彎曲的概念及實(shí)例,工程實(shí)際中的彎曲問(wèn)題,受力特點(diǎn)：在構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)，受到垂直于梁的軸線(xiàn)的力或力偶作用，使構(gòu)件的軸線(xiàn)在此平面內(nèi)彎曲為曲線(xiàn)，這樣的彎曲稱(chēng)為平面彎曲,平面彎曲的概念,我們只研究矩形截面梁的彎曲,矩形截面梁有一個(gè)縱向?qū)ΨQ(chēng)面,當(dāng)外力都作用在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，彎曲也發(fā)生在該對(duì)稱(chēng)面內(nèi)，我們稱(chēng)之為平面彎曲。,因此，我們可以用梁軸線(xiàn)的變形代表梁的彎曲,橫向力：與桿件軸線(xiàn)相垂直的外力,外伸梁,簡(jiǎn)支梁,懸臂梁,梁：以彎曲變形為主的桿件,根據(jù)固定情況可分為：,4.2 直梁

2、平面彎曲時(shí)的內(nèi)力,RA,RB,考慮右段，可求得： QP-RA=P/2 M=RB(L-x)-P(L/2-x)=P.x/2,QRAP/2 M=RA.x=P.x/2,按靜力平衡方程求得支反力為：,RA=RB=P/2,采用截面法求內(nèi)力,1 剪力和彎矩,與前面三種基本變形不同的是，彎曲內(nèi)力有兩類(lèi)：剪力和彎矩,考察彎曲梁的某個(gè)橫截面,在截面形心建立直角坐標(biāo)系,剪力與截面平行，用Q表示,Q,彎矩作用面在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi),方向沿Z 軸方向,M,用M 表示,2 剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定,使梁下凹為正，向上凸為負(fù),對(duì)所截截面上任一點(diǎn)的力矩順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù),3、截面法求剪力和彎矩,P1,P2,RAy,A,B,RAx,

3、RB,P1,RAy,a,a,M,Q,對(duì)截面中心建立力矩平衡方程,m,m,RAx,說(shuō)明：,1、一般情況下，x 方向的約束反力為零。,2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的平衡方程。,3、不考慮剪力時(shí)，彎矩平衡方程一定要建立在截面的中心。,舉例：,l,q,求圖示簡(jiǎn)支梁 x 截面的彎矩,q,RAy,M,A,B,在x 處截開(kāi)，取左半部分分析,畫(huà)出外力、約束反力、彎矩,x 截面剪力、力矩平衡方程,qx,Q,可見(jiàn)剪力在該簡(jiǎn)支梁內(nèi)的分布為一條斜直線(xiàn)，彎矩為一條曲線(xiàn)拋物線(xiàn),彎矩最大值在梁的中點(diǎn)，此處剪力為零，有,由對(duì)稱(chēng)性，可以求得,l,q,A,B,4.3 剪力圖和彎矩圖,例1 求懸臂梁的剪力圖和彎矩圖,剪力

4、方程： Q=-qx (0xL),彎矩方程： M=-0.5qx2 (0xL),懸臂梁的剪力彎矩圖（QM圖),例2 求簡(jiǎn)支梁的剪力和彎矩圖,1 求支反力：,2 在A(yíng)C段 (0xa),3 在BC段 (ax(a+b),RA,RB,簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖(QM圖),4.4 平面彎曲的應(yīng)力,平面彎曲的定義：梁的軸線(xiàn)彎成對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)的一條平面曲線(xiàn)。,一) 剛性平面假設(shè),1 梁的所有橫截面在變形過(guò)程中要發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，但仍保持平面，且變形后仍與梁軸線(xiàn)垂直。,2 梁的所有與軸線(xiàn)平行的縱向纖維都是軸向拉伸或壓縮，變形量與其中性軸的距離有關(guān)。,二) 梁橫截面上的正應(yīng)力,2) 物理方程:,1) 變形幾何方程:,3) 靜力平衡

5、方程：,定義,Jx 稱(chēng)為整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩,梁截面上的應(yīng)力分布,從而可推得：,截面上最大的彎曲應(yīng)力,其中：,4.5 常用截面的軸慣性矩和抗彎截面模量,1 矩形截面,慣性矩,抗彎截面模量,2 圓形截面,慣性矩,抗彎截面模量,3 圓環(huán)截面,4.6 彎曲正應(yīng)力確定條件,根據(jù)這一確定條件可進(jìn)行三項(xiàng)工作：,1 設(shè)計(jì)截面 2 強(qiáng)度校核 3 計(jì)算許可載荷,例： 一矩形斷面梁， =160MPa, P=20KN, q=10KN/m, M=40KN.m, 矩形斷面高寬之比h/b=3。試確定梁的截面尺寸。,RC,RB,1 畫(huà)受力圖,2 求支座反力,在A(yíng)C段：(0x1),3 列剪力和彎矩方程：分AC和CB段,

6、在CB段：(1x5),4 畫(huà)QM 圖,5 求最大Wx,6 求b, h,4.7 提高梁抗彎強(qiáng)度的主要途徑,1 選擇合理截面，增加抗彎模量 (提高截面的抗彎模量W=bh2/6),2) 合理布置支座和載荷作用位置 （減少梁中最大彎矩Mmax),x,4.8 彎曲變形,一. 撓度和轉(zhuǎn)角 撓曲線(xiàn)： 撓度： 轉(zhuǎn)角：,二. 剛度條件,三 撓曲線(xiàn)微分方程,撓曲線(xiàn)可用y=f(x)表示，則轉(zhuǎn)角,撓曲線(xiàn)曲率：,數(shù)學(xué)定義曲率,綜合兩式：,四 積分法求梁的變形,1.列出彎矩方程,2.建立撓曲線(xiàn)微分方程,積分一次,3 確定積分常數(shù)：當(dāng)x=0時(shí)，y=0，因此C=0 當(dāng)x=0時(shí)，y=0，因此D=0,積分二次,4 轉(zhuǎn)角和撓度方程,轉(zhuǎn)角方程：,撓度方程：,5 確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,發(fā)生在x=L處,提高梁抗彎剛度的主要途徑,2 選用合理截面形狀。,1 減少垮度，或增加支座；,一矩形斷面梁， 梁中部受集中載荷P=45KN及力偶m=40KN.m作用。l =4m, =7MPa, 矩形斷面高寬之比h/b=3。試確定梁的截面尺寸。,1.求支座反力,在A(yíng)C段：(0x2),2 列剪力和彎矩方程：分AC和CB段,在CB段：(2x4),3. QM 圖,4. 求最大Wx,5. 求b, h,傳動(dòng)軸直徑為40 mm，軸上裝有三個(gè)帶輪如下圖所示。已知由輪B輸入的功率NA7 kW，輪A