復(fù)變函數(shù)與積分變換-復(fù)習重點精華版

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)習重點 (一)復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的概念：，是實數(shù), . 注：一般兩個復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實數(shù)）有大小.2.復(fù)數(shù)的表示1）模：；2）幅角：在時，矢量與軸正向的夾角，記為（多值函數(shù)）；主值是位于中的幅角。3）與之間的關(guān)系如下： 當 ； 當；4）三角表示：，其中；注：中間一定是“+”號。5）指數(shù)表示：，其中。 (二) 復(fù)數(shù)的運算1.加減法：若，則2.乘除法：1）若，則； 。2）若, 則； 3.乘冪與方根1） 若，則。2） 若，則（有個相異的值）（三）復(fù)變函數(shù)2復(fù)初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù)：，在平面處處可導(dǎo)，處處解析；且。注：是以為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）3） 對數(shù)函數(shù)： （多值

2、函數(shù)）；主值：。（單值函數(shù)）的每一個主值分支在除去原點及負實軸的平面內(nèi)處處解析，且；注：負復(fù)數(shù)也有對數(shù)存在。（與實函數(shù)不同）3）乘冪與冪函數(shù)：；注：在除去原點及負實軸的平面內(nèi)處處解析，且。4）三角函數(shù)： 在平面內(nèi)解析，且注：有界性不再成立；（與實函數(shù)不同）4） 雙曲函數(shù) ；奇函數(shù)，是偶函數(shù)。在平面內(nèi)解析，且。（四）解析函數(shù)的概念1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）點可導(dǎo)：=；2）區(qū)域可導(dǎo)： 在區(qū)域內(nèi)點點可導(dǎo)。2解析函數(shù)的概念1）點解析： 在及其的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱在點解析；2）區(qū)域解析： 在區(qū)域內(nèi)每一點解析，稱在區(qū)域內(nèi)解析；3）若在點不解析，稱為的奇點；3解析函數(shù)的運算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的

3、點）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：在可導(dǎo)和在可微，且在 處滿足條件： 此時， 有。2函數(shù)解析的充要條件：在區(qū)域內(nèi)解析和在在內(nèi)可微，且滿足條件：；此時。注意： 若在區(qū)域具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足條件時，函數(shù)一定是可導(dǎo)或解析的。3函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法1）利用定義 （題目要求用定義，如第二章習題1）2）利用充要條件 （函數(shù)以形式給出，如第二章習題2）3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運算定理。（函數(shù)是以的形式給出，如第二章習題3）（六）復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)1

4、復(fù)變函數(shù)積分的概念：，是光滑曲線。注：復(fù)變函數(shù)的積分實際是復(fù)平面上的線積分。2 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1） （與的方向相反）；2） 是常數(shù)；3） 若曲線由與連接而成，則。3復(fù)變函數(shù)積分的一般計算法1）化為線積分：；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設(shè)曲線： ，其中對應(yīng)曲線的起點，對應(yīng)曲線的終點，則 。（七）關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1柯西古薩基本定理：設(shè)在單連域內(nèi)解析，為內(nèi)任一閉曲線，則 2復(fù)合閉路定理： 設(shè)在多連域內(nèi)解析，為內(nèi)任意一條簡單閉曲線，是內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于內(nèi)，則 其中與均取正向； ，其中由及所組成的復(fù)合閉路。3閉路變形原理 ： 一個在區(qū)域

5、內(nèi)的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因在內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中不經(jīng)過使不解析的奇點。4解析函數(shù)沿非閉曲線的積分： 設(shè)在單連域內(nèi)解析，為在內(nèi)的一個原函數(shù)，則 說明：解析函數(shù)沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計算時只要求出原函數(shù)即可。5。 柯西積分公式：設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一正向簡單閉曲線，的內(nèi)部完全屬于，為內(nèi)任意一點，則6高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導(dǎo)數(shù)為 其中為的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于。7重要結(jié)論：。 （是包含的任意正向簡單閉曲線）8復(fù)變函數(shù)積分的計算方法1）若在區(qū)域內(nèi)處處不解析，用一般積分法2）設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，l 是內(nèi)一

6、條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理， l 是內(nèi)的一條非閉曲線，對應(yīng)曲線的起點和終點，則有3）設(shè)在區(qū)域內(nèi)不解析l 曲線內(nèi)僅有一個奇點：（在內(nèi)解析）l 曲線內(nèi)有多于一個奇點：（內(nèi)只有一個奇點） 或：（留數(shù)基本定理）l 若被積函數(shù)不能表示成，則須改用第五章留數(shù)定理來計算。（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實函數(shù)在內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足，為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系l 解析函數(shù)的實部與虛部都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)。l 兩個調(diào)和函數(shù)與構(gòu)成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)；但是若如果滿足柯西黎曼方程，則一定是解析函數(shù)。3已知解析函數(shù)的實部或虛部，求解析函數(shù)的方法

7、。1）偏微分法：若已知實部，利用條件，得；對兩邊積分，得 （*）再對（*）式兩邊對求偏導(dǎo)，得 （*） 由條件，得，可求出 ；代入（*）式，可求得 虛部 。 2）線積分法：若已知實部，利用條件可得，故虛部為；由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中與 是解析區(qū)域中的兩點。3）不定積分法：若已知實部，根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和條件得知， 將此式右端表示成的函數(shù)，由于仍為解析函數(shù)，故 （為實常數(shù)）注：若已知虛部也可用類似方法求出實部（九）復(fù)數(shù)項級數(shù)1復(fù)數(shù)列的極限1）復(fù)數(shù)列（）收斂于復(fù)數(shù)的充要條件為 （同時成立）2）復(fù)數(shù)列收斂實數(shù)列同時收斂。2復(fù)數(shù)項級數(shù)1）復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是級

8、數(shù)與同時收斂；2）級數(shù)收斂的必要條件是。注：復(fù)數(shù)項級數(shù)的斂散性可以歸納為兩個實數(shù)項級數(shù)的斂散性問題的討論。（十）冪級數(shù)的斂散性1冪級數(shù)的概念：表達式或為冪級數(shù)。2冪級數(shù)的斂散性1）冪級數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：如果冪級數(shù)在處收斂，那么對滿足的一切，該級數(shù)絕對收斂；如果在處發(fā)散，那么對滿足的一切，級數(shù)必發(fā)散。2）冪級數(shù)的收斂域圓域冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。l 比值法 如果，則收斂半徑；l 根值法 ，則收斂半徑；l 如果，則；說明在整個復(fù)平面上處處收斂；如果，則；說明僅在或點收斂；注：若

9、冪級數(shù)有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如）3冪級數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)的收斂半徑分別為與，記，則當時，有 （線性運算） （乘積運算）2）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當時，當時，解析且，則當時，。3） 分析運算性質(zhì)：設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則l 其和函數(shù)是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；l 在收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)，收斂半徑不變；且 l 在收斂圓內(nèi)可逐項求積，收斂半徑不變； （十一）冪函數(shù)的泰勒展開1. 泰勒展開：設(shè)函數(shù)在圓域內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)可以展開成冪級數(shù) ；并且此展開式是唯一的。注：若在解析，則在的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑；其中為從到的距最近一個奇點之間的距離。 2常用函數(shù)在的泰勒展開式1） 2） 3）

10、4） 3解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1）直接法：直接求出，于是。2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級數(shù)的代數(shù)運算、復(fù)合運算和逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法將函數(shù)展開。（十二）冪函數(shù)的洛朗展開 1. 洛朗級數(shù)的概念：，含正冪項和負冪項。 2洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)處處解析，為圓環(huán)域內(nèi)繞的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有 ，且展開式唯一。3解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級數(shù)一般只能用間接法展開。*4利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設(shè)在內(nèi)解析，為內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，則 。其中為在內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)。說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中的系數(shù)。（十三）孤立奇點的概念與分類1。

11、 孤立奇點的定義 ：在點不解析,但在的內(nèi)解析。2。孤立奇點的類型：1）可去奇點：展開式中不含的負冪項；2）極點：展開式中含有限項的負冪項；其中在解析，且；3）本性奇點：展開式中含無窮多項的負冪項； （十四）孤立奇點的判別方法1可去奇點：常數(shù)；2極點：3本性奇點：不存在且不為。4零點與極點的關(guān)系1）零點的概念：不恒為零的解析函數(shù)，如果能表示成，其中在解析，為正整數(shù)，稱為的級零點；2）零點級數(shù)判別的充要條件是的級零點3）零點與極點的關(guān)系：是的級零點是的級極點；4）重要結(jié)論若分別是與的級與級零點，則l 是的級零點；l 當時，是的級零點；當時，是的級極點；當時，是的可去奇點；l 當時，是的級零點，當時

12、，是的級零點，其中（十五）留數(shù)的概念 1留數(shù)的定義：設(shè)為的孤立奇點，在的去心鄰域內(nèi)解析，為該域內(nèi)包含的任一正向簡單閉曲線，則稱積分為在的留數(shù)（或殘留），記作 2留數(shù)的計算方法若是的孤立奇點，則，其中為在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)。1）可去奇點處的留數(shù)：若是的可去奇點，則2）級極點處的留數(shù)法則I 若是的級極點，則 特別地，若是的一級極點，則 注：如果極點的實際級數(shù)比低，上述規(guī)則仍然有效。法則II 設(shè)，在解析，則（十六）留數(shù)基本定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)除有限個孤立奇點外處處解析，為內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在內(nèi)各孤立奇點處留數(shù)的局部問題。積分變換復(fù)習提綱一、傅里葉變換的概念ll二、幾個常用函數(shù)的傅里葉變換llll三、傅里葉變換的性質(zhì)l 位移性（時域）：l 位移性（頻域）： l 位移性推論：l 位移性推論：l 微分性（時域）： （）， l 微