2012年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2012年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分.）1（甲）如果實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡(jiǎn)為（ ） （A） （B） （C） （D）a1（乙）如果，那么的值為（ ）（A） （B） （C）2 （D）2（甲）如果正比例函數(shù)y = ax（a 0）與反比例函數(shù)y =（b 0 ）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）（A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，2）2（乙） 在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式x2y22x2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的個(gè)

2、數(shù)為（ ） （A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是（ ） （A）1 （B） （C） （D）3（乙）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，ABC是等邊三角形，AD = 3，BD = 5，則CD的長(zhǎng)為（ ）（A） （B）4 （C） （D）4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對(duì)小玲說(shuō)：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對(duì)小倩說(shuō)：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個(gè)數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）如果關(guān)于x的方程 是正整數(shù)）的正

3、根小于3， 那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是（ ）（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（ ）（A） （B） （C） （D）5（乙）黑板上寫有共100個(gè)數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，則經(jīng)過(guò)99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（ ）（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）6（甲）按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是

4、否487？”為一次操作. 如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是 .6（乙）.如果a，b，c是正數(shù)，且滿足，那么的值為 7（甲）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)M，N，則DMN的面積是 .7（乙）.如圖所示，點(diǎn)A在半徑為20的圓O上，以O(shè)A為一條對(duì)角線作矩形OBAC，設(shè)直線BC交圓O于D、E兩點(diǎn)，若，則線段CE、BD的長(zhǎng)度差是 。8（甲）. 如果關(guān)于x的方程x2+kx+k23k+= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，那么 的值為 8（乙）設(shè)為整數(shù)，且1n2012. 若能被5整除，則所有的個(gè)數(shù)為 .9（甲）. 2位八年級(jí)同學(xué)和m位九年級(jí)同學(xué)一起參加

5、象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過(guò)比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為 .9（乙）如果正數(shù)x，y，z可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么稱是三角形數(shù)若和均為三角形數(shù)，且abc，則的取值范圍是 .10（甲）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，AD = DC. 分別延長(zhǎng)BA，CD，交點(diǎn)為E. 作BFEC，并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的長(zhǎng)為 .10（乙）已知是偶數(shù)，且1100若有唯一的正整數(shù)對(duì)使得成立，則這樣的的個(gè)數(shù)為 三、解答題（共4題

6、，每題15分，共60分）11（甲）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取值范圍11（乙）. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸正、負(fù)半軸上，。點(diǎn)D在線段AB上，連結(jié)CD交y軸于點(diǎn)E，且。試求圖像經(jīng)過(guò)B、C、E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式。12（甲）. 如圖，O的直徑為，過(guò)點(diǎn)，且與O內(nèi)切于點(diǎn)為O上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：BOC12（乙）如圖，O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是ABD的內(nèi)心. 求證：（1）OI是IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD = 2BD.13（甲）.

7、已知整數(shù)a，b滿足：ab是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)2012時(shí)，求a的最小值.13（乙）給定一個(gè)正整數(shù)，凸邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說(shuō)明理由14（甲）. 求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14（乙）將，（n2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù) （可以相同），使得，求的最小值參考解答 一、選擇題1(甲) .C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以 1（乙）B解：2（甲）D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.2（乙）B解：由題設(shè)x2y22x2y， 得02.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有 解得 以上共計(jì)

8、9對(duì).3（甲）D 解：由題設(shè)知，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，于是 .3（乙）B解：如圖，以CD為邊作等邊CDE，連接AE. 由于AC = BC，CD = CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以BCDACE， BD = AE.又因?yàn)椋?在Rt中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得消去x得 (2y7)n = y+4， 2n =.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，7

9、4（乙）C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，所以，即 . 由于都是正整數(shù)，所以，1q5；或 ，1q2，此時(shí)都有. 于是共有7組符合題意 5（甲）D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以，因此最大5（乙）C解：因?yàn)?，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變?cè)O(shè)經(jīng)過(guò)99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則，解得 ，二、填空題6（甲）7x19解：前四次操作的結(jié)果分別為 3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26

10、，3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487， 81x80487.解得 7x19.容易驗(yàn)證，當(dāng)7x19時(shí)，487 487，故x的取值范圍是7x196（乙）.7解：在兩邊乘以得即7（甲）8解：連接DF，記正方形的邊長(zhǎng)為2. 由題設(shè)易知，所以 ，由此得，所以.在RtABF中，因?yàn)?，所以，于?.由題設(shè)可知ADEBAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. 因?yàn)椋?7（乙）. 解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則因?yàn)?，所以?（甲）解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有=k240，由此得 (k3)20 又(k3)20，所以(k3)2=0，從而k=3. 此時(shí)方程為x2+3x+=0，解得x1=x

11、2=. 故=8（乙）.1610解：因此，所以，因此所以共有2012-402=1610個(gè)數(shù)9（甲）8解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得0b43. 又 ，所以. 于是 043，87130，由此得 ，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不合題設(shè).故9（乙）.解：依題意得：，所以，代入（2）得，兩邊乘以a得，即，化簡(jiǎn)得，兩邊除以得 所以另一方面：abc，所以 綜合得另解：可令，由（1）得，代入（2）化簡(jiǎn)得，解得，另一方面：abc，所以， 綜合得10（甲）解：如圖，連接AC，BD，OD. 由AB是O的直徑知BCA =BDA = 90.依題設(shè)BFC = 90，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，所以BCF =BA

12、D,所以 RtBCFRtBAD ，因此 .因?yàn)镺D是O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知因?yàn)椋?，BA=AD ，故.10（乙）.12解：依題意得 由于是偶數(shù)，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍數(shù)，即，當(dāng)1100時(shí)，4的倍數(shù)共有25個(gè)，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對(duì)，則：，其中p是素?cái)?shù)，因此，k只能取下列12個(gè)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，從而這樣的n有12個(gè)。三、解答題11（甲）解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以，即，所以 （3分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，且 ，解得 （8分）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)

13、的關(guān)系得因?yàn)?，所以，解得，或因?（15分）11（乙）.解：因?yàn)閟inABC =，所以AB = 10由勾股定理，得易知， 因此 CO = BO = 6 于是，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為由，得所以 ，解得 因此D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為 因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點(diǎn)E為ABC的重心，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（也可由直線CD交y軸于點(diǎn)E來(lái)求得.） 設(shè)經(jīng)過(guò)B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，解得a = 故經(jīng)過(guò)B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為12（甲） 證明：連接BD，因?yàn)闉榈闹睆?，所以又因?yàn)?，所以CBE是等腰三角形 （5分）設(shè)與交于點(diǎn)，連接OM，則又因?yàn)椋?（10分）又因?yàn)榉謩e

14、是等腰，等腰的頂角，所以BOC （15分）12（乙）.證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角相等的性質(zhì)知：，所以， CI = CD 同理，CI = CB 故點(diǎn)C是IBD的外心連接OA，OC，因?yàn)镮是AC的中點(diǎn)，且OA = OC，所以O(shè)IAC，即OICI 故OI是IBD外接圓的切線 （2）如圖，過(guò)點(diǎn)I作IEAD于點(diǎn)E，設(shè)OC與BD交于點(diǎn)F由，知OCBD因?yàn)镃BF =IAE，BC = CI = AI，所以所以BF = AE 又因?yàn)镮是ABD的內(nèi)心，所以故也可由托勒密定理得：，再將代入即得結(jié)論。13（甲）解：設(shè)ab = m（m是素?cái)?shù)），ab = n2（n是自然數(shù)）. 因?yàn)?(a+b)2

15、4ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2. （5分）（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?am+2n與2am2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n (m為素?cái)?shù))，所以 2am+2nm 2，2am2n1.解得 a，. 于是 = am. （10分）又a2012，即2012.又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m89. 此時(shí)，a=2025.當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，a的最小值為2025. （2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?012，所以，從而得a的最小值為2017（素?cái)?shù)）。綜上所述，所求的a的最小值為2017。（15分）13（乙）.解：設(shè)凸n邊形最多有k個(gè)內(nèi)角等于150，則每個(gè)150內(nèi)角的外角都等于30，而凸n邊形的n個(gè)外角和為360，所以，只有當(dāng)時(shí)，k才有最大值12. （5分）下面我們討論時(shí)的情況： （1）當(dāng)時(shí)，顯然，k的值是11； （2）當(dāng)時(shí)，k的值分別為1，2，3，4，5；（3）當(dāng)時(shí)，k的值分別為7，8，9，10. （10分）綜上所述，當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有個(gè)內(nèi)角等于150；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有個(gè)內(nèi)角等于150；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有12個(gè)內(nèi)角等于150；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有11個(gè)內(nèi)角等于150。. （15分）14（甲）解：由于都是正整數(shù)，且，所以1，2，2012于是 （5分）當(dāng)時(shí)，令，則 .（10分） 當(dāng)時(shí)，