數(shù)列分組求和法

1、分組求和法典題導(dǎo)入例1(2011山東高考)等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和S2n.自主解答(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an23n1.(2)因?yàn)閎nan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)n(ln 2ln 3

2、)(1)nnln 3，所以S2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln 2ln 3)123(1)2n2nln 32nln 332nnln 31.由題悟法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和以題試法1(2013威海模擬)已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq(nN*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式解：(1)由x13，得2pq3，又因?yàn)閤424p4q，

3、x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2) 由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.2.數(shù)列1，3，5，7，的前n項(xiàng)和Sn為()An21 Bn22Cn21 Dn22解析由題意知已知數(shù)列的通項(xiàng)為an2n1，則Snn21.答案C3.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a35，S15225.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，得解得an2n1.(2)bn2an2n4n2n，Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n4nn2n.4.

4、設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a12，a3a24.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)設(shè)q為等比數(shù)列an的公比，則由a12，a3a24得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，因此q2.所以an的通項(xiàng)為an22n12n(nN*)(2) Snn122n1n22.5.求和Sn1.解和式中第k項(xiàng)為ak12.Sn22(111()22n2.6.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，a22，an2an1(1)n (nN*)，則S100_.答案2 600解析由an2an1(1)n知a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a

5、5a2n11，數(shù)列a2k是等差數(shù)列，a2k2k.S100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.7.求和：(1)Sn；(2)Sn222.解(1)由于ann，Sn(123n)1.(2)當(dāng)x1時(shí)，Sn4n.當(dāng)x1時(shí)，Sn222(x2x4x2n)2n2n2n.Sn8.已知數(shù)列an中，a160，an1an3，則這個(gè)數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和是_答案765解析由題意知an是等差數(shù)列，an603(n1)3n63，令an0，解得n21.|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)(a21a30)S302S20(606063)20765.9.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2

6、4n2，則|a1|a2|a10|_.答案66解析當(dāng)n1時(shí)，a1S11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n5.an.令2n50，得n，當(dāng)n2時(shí)，an0，|a1|a2|a10|(a1a2)(a3a4a10)S102S266.10.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于()A200 B200 C400 D400答案B解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.11.(2012課標(biāo)全國)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32

7、a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.12.已知數(shù)列2 008,2 009,1，2 008，2 009，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 013項(xiàng)之和S2 013等于 ()A1 B2 010 C4 018 D0答案C解析由已知得anan1an1 (n2)，an1anan1.故數(shù)列的前8項(xiàng)依次為2 0

8、08,2 009,1，2 008，2 009，1，2 008,2 009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S60.2 01363353，S2 013S34 018.13.設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求的值為A B C D解：由于，則原式，選A14.數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，滿足：，其中， 且（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足求的通項(xiàng)式.（）記求證：解（）當(dāng)時(shí)， ,得： （）又，解得： , 是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。（） , 則（）15.的值是A2525 B5050 C10100 D20200解：原式，選B16.等差數(shù)列an的公差不為零，a47，a1，a2，a5成等比數(shù)列，數(shù)列Tn滿足條件Tna2a4a8，則