數(shù)列與不等式綜合-專題(教師用)

1、數(shù)列與不等式交匯題型的分析及解題策略【命題趨向】數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考查.主要考查知識重點和熱點是數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學生數(shù)學視野的廣度和進一步學習數(shù)學的潛能近年來加強了對遞推數(shù)列考查的力度，這點應當引起我們高度的重視如08年北京文20題(12分)中檔偏上，考查數(shù)列與不等式恒成立條件下的參數(shù)問題、08年湖北理21題(12分)為中檔偏

2、上，考查數(shù)列與不等式交匯的探索性問題、08年江西理19題(12分)中等難度，考查數(shù)列求和與不等式的交匯、08年全國卷理22(12分)壓軸題，難說大，考查數(shù)學歸納法與不等式的交匯，等等.預計在2009年高考中,比較新穎的數(shù)列與不等式選擇題或填空題一定會出現(xiàn).數(shù)列解答題的命題熱點是與不等式交匯,呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題.其中,以函數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體,有著高等數(shù)學背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是未來高考命題的一個新的亮點,而命題的冷門則是數(shù)列與不等式綜合的應用性解答題.【考試要求】1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項2理解

3、等差數(shù)列的概念掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題。4理解不等式的性質(zhì)及其證明5掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應用6掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式7掌握簡單不等式的解法及理解不等式aba+ba+b 8. 掌握數(shù)學歸納法證明不等式的基本方法與步驟?！究键c透視】1以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯.2以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，

4、深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學思想，試題新穎別致，難度相對較大.3將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.【典例分析】題型一求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題求得數(shù)列與不等式綾結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域為D，則當xD時，有f(x)M恒成立f(x)minM；f(x)M恒成立f(x)maxM；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.【例1】等比數(shù)列an的公比q1，第17項的平方等于第24項，求使a

5、1a2an恒成立的正整數(shù)n的取值范圍.【分析】利用條件中兩項間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項公式和及所得的關(guān)系化簡不等式，進而通過估算求得正整數(shù)n的取值范圍.【解】由題意得：(a1q16)2a1q23，a1q91.由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，要使不等式成立，則須，把aq-18代入上式并整理，得q-18(qn1)q(1)，qnq19，q1，n19，故所求正整數(shù)的取值范圍是n20.【點評】本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識化簡，用不等式知識求得最后的結(jié)果.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應用.【例

6、2】（08全國）設(shè)數(shù)列an的前項和為Sn已知a1a，an+1Sn3n，nN*()設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項公式；（）若an+1an，nN*，求a的取值范圍【分析】第（）小題利用Sn與an的關(guān)系可求得數(shù)列的通項公式；第（）小題將條件an+1an轉(zhuǎn)化為關(guān)于n與a的關(guān)系，再利用af(n)恒成立等價于af(n)min求解【解】()依題意，Sn+1Snan+1Sn3n，即Sn+12Sn3n，由此得Sn+13 n+12(Sn3n)因此，所求通項公式為bnSn3n(a3)2 n-1，nN*, ()由知Sn3n(a3)2 n-1，nN*，于是，當n2時，anSnSn-13n(a3)2 n-13n-1(a

7、3)2 n-223n-1(a3)2 n-2，an+1an43 n-1(a3)2 n-22 n-212()n-2a3，當n2時，an+1an，即2 n-212()n-2a30，12()n-2a30，a9，綜上，所求的a的取值范圍是9，【點評】一般地，如果求條件與前n項和相關(guān)的數(shù)列的通項公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解.本題求參數(shù)取值范圍的方法也一種常用的方法，應當引起重視.題型二求數(shù)列中的最大值問題求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式

8、關(guān)系確定最值.【例3】(08四川高考)設(shè)等差數(shù)列an的前項和為Sn，若S410，S515，則a4的最大值為_.【分析】根據(jù)條件將前4項與前5項和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項a1與公差d的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差d的范圍，由此可確定a4的最大值.【解】等差數(shù)列an的前項和為Sn，且S410，S515，即，a43d，則53d62d，即d1.a43d314，故a4的最大值為4.【點評】本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系來求最值的，其中確定數(shù)列的公差d是解答的關(guān)鍵，同時解答中要注意不等式傳遞性的應用.【例4】等比數(shù)列an的首項為a12002，公比q()設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項的積，求f

9、(n)的表達式；()當n取何值時，f(n)有最大值【分析】第()小題首先利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列an的通項，再求得f(n)的表達式；第()小題通過商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過比較求得最值.【解】()an2002()n-1，f(n)2002n()()由()，得，則當n10時，1，|f(11)|f(10)|f(1)|，當n11時，1，|f(11)|f(12)|f(13)|，f(11)0，f(10)0，f(9)0，f(12)0，f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者20023()30()31，當n12時，f(n)有最大值為f(12)()66【點評】本題解答有兩個關(guān)鍵：(1)利用商

10、值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較f(12)與f(9)的大小.整個解答過程還須注意f(n)中各項的符號變化情況.題型三求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例5】已知an的前n項和為Sn，且anSn4.()求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；()是否存在正整數(shù)k，使2成立.【分析】第()小題通過代數(shù)變換確定數(shù)列an+1與an的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列

11、an為等比數(shù)列；而第()小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進行推理，確定此不等式成立的合理性.【解】()由題意，Snan4，Sn+1an+14，由兩式相減，得(Sn+1an+1)(Snan)0，即2an+1an0，an+1an，又2a1S1a14，a12，數(shù)列an是以首項a12，公比為q的等比數(shù)列.()由()，得Sn422-n.又由2，得2，整理，得21-k1，即12 k -1，kN*，2k-1N*，這與2k-1(1，)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.【點評】本題解答的整個過程屬于常規(guī)解法，但在導出矛盾時須注意條件“kN*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個陷阱.【例6】(08湖北高

12、考)已知數(shù)列an和bn滿足：a1，an+1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實數(shù)，n為正整數(shù).（）對任意實數(shù)，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；（）試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（）設(shè)0ab,Sn為數(shù)列bn的前n項和.是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)n，都有aSnb?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.【分析】第()小題利用反證法證明；第()小題利用等比數(shù)列的定義證明；第()小題屬于存在型問題，解答時就假設(shè)aSnb成立，由此看是否能推導出存在存在實數(shù).【解】（）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有a22a1a3，即(3)2(4)2492490，矛盾，所以an不

13、是等比數(shù)列.()解：因為bn+1(1)n+1a n+13(n1)21(1)n+1(a n2n14)（-1）n(a n3n21)b n，又b1(18)，所以當18時，bn0(nN*)，此時bn不是等比數(shù)列；當18時，b1(18)0，由上可知bn0，(nN*).故當18時，數(shù)列bn是以(18)為首項，為公比的等比數(shù)列.()由（）知，當18，bn0(nN*)，Sn0，不滿足題目要求；.18，故知bn(18)()n-1，于是S n(18)1()n要使aSnb對任意正整數(shù)n成立，即a(18)1()nb，(nN*).得(18)，(nN*) 令f(n)1()n，則當n為正奇數(shù)時，1f(n)，當n為正偶數(shù)時f

14、(n)1；f(n)的最大值為f(1)，f(n)的最小值為f(2),于是，由式得a(18)b，b183a18，(必須b3a，即b3a).當ab3a時，由b183a18，不存在實數(shù)滿足題目要求；當b3a存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)n，都有aSnb,且的取值范圍是(b18，3a18).【點評】存在性問題是指命題的結(jié)論不確定的一類探索性問題，解答此類題型一般是從存在的方面入手，尋求結(jié)論成立的條件，若能找到這個條件，則問題的回答是肯定的；若找不到這個條件或找到的條件與題設(shè)矛盾，則問題的回答是否定的.其過程可以概括為假設(shè)推證定論.本題解答注意對參數(shù)及項數(shù)n的雙重討論.題型四數(shù)列與不等式的證明問題此類不等式的

15、證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達到證明的目的.（4）數(shù)學歸納法。（1）用基本方法證明數(shù)列不等式：【例7】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a37，S424()求數(shù)列an的通項公式；()設(shè)p、q都是正整數(shù)，且pq，證明：Sp+q(S2pS2q)【分析】根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項公式及前n項公式和建立方程組即可解決第()小題；第()小題利用差值比較法就可順利解決.【解】（）設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，依題意得，解得，數(shù)列an的通

16、項公式為ana1(n1)d2n1.（）證明：an2n1，Snn22n2Sp+q(S2pS2q)2(pq)22(pq)(4p24p)(4q24q)2(pq)2，pq，2Sp+q(S2pS2q)0，Sp+q(S2pS2q)【點評】利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對作差后的式子進行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例8】（06湖南文，20）在m（m2）個不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1ijm時PiPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).

17、記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)。（）求a4、a5，并寫出an的表達式；（）令，證明，n=1,2,。解（）由已知得，。（）因為，所以.又因為，所以 =。綜上，。（2）用放縮發(fā)證明數(shù)列不等式：【例9】已知曲線的直線交曲線C于另一點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列 （I）求證：是等比數(shù)列； （II）求證：解：過C：的直線交C于另一點，于是有： 2分因此數(shù)列是等比數(shù)列。 （2）由（1）可知：當n為偶數(shù)時有：于是在n為偶數(shù)時有：在n為奇數(shù)時，前n1項為偶數(shù)列，于是有：綜合可知原不等式得證。【例10】已知：（）是方程的兩根，且，. （1）求的值； （2）設(shè)，求證：； （3）求證：對有 w。.

18、w.解：（1）解方程得，-1分-2分，-3分,-4分（2）由得即-6分當時，于是（）-9分（3）當時，結(jié)論成立；-10分當時，有-12分 對有-14分【例11】設(shè),函數(shù).（）證明:存在唯一實數(shù)，使；（）定義數(shù)列:,.（i）求證:對任意正整數(shù)n都有；(ii) 當時, 若，證明:對任意都有:.（）證明: . 1分令,則,. 2分又,是R上的增函數(shù). 3分故在區(qū)間上有唯一零點,即存在唯一實數(shù)使. 4分當時, ,由知,即成立； 5分設(shè)當時, ,注意到在上是減函數(shù),且,故有:,即, 7分即.這就是說,時,結(jié)論也成立.故對任意正整數(shù)都有:. 8分(2)當時,由得:, 9分10分當時, 12分對, 13分

19、14分【例12】數(shù)列，是否存在常數(shù)、，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出、的值，若不存在，說明理由。設(shè)，證明：當時，.解:設(shè) ， 即 (2分) 故 (4分) (5分)又 (6分)故存在是等比數(shù)列 (7分)證明：由得 ，故 (8分) (9分) （11分）現(xiàn)證.當，故時不等式成立 （12分）當?shù)?，且由?（14分）【例13】已知數(shù)列、中，對任何正整數(shù)都有：（1）若數(shù)列是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，求證：又，故 ，要使是與無關(guān)的常數(shù)，必需， 即當?shù)缺葦?shù)列的公比

20、時，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項公式是；當?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時，數(shù)列不是等差數(shù)列 （3）由（2）知， 【例14】 在數(shù)列中，（）試比較與的大??；（）證明：當時，.解：（）由題設(shè)知，對任意，都有 ， 6分（）證法1：由已知得，又.當時， 10分設(shè) 則 -，得14分證法2：由已知得，（1） 當時，由，知不等式成立。8分（2） 假設(shè)當不等式成立，即，那么 要證 ，只需證即證 ，則只需證10分因為成立，所以成立.這就是說，當時，不等式仍然成立.根據(jù)（1）和（2），對任意，且，都有14分【例15】已知函數(shù)的定義域為R, 且對于任意R,存在正實數(shù),使得都成立.(1) 若,求的取值范圍；(2) 當時，數(shù)列滿足，

21、. 證明：； 令，證明：.(1) 證明：對任意R，有： . 2分 由,即. 當時,得. 且， . 4分 要使對任意R都成立,只要. 當時, 恒成立. 的取值范圍是. 5分(2) 證明：，,故當時， . 6分 7分 . 8分,當時,不等式也成立. 9分, . 11分 . （3）用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式：【例16】(08安徽高考)設(shè)數(shù)列an滿足a10，an+1can31c，cN*，其中c為實數(shù).()證明：an0，1對任意nN*成立的充分必要條件是c0，1；()設(shè)0c，證明：an1(3c)n-1，nN*；（）設(shè)0c，證明：a12a22an2n1，nN*.【分析】第（1）小題可考慮用數(shù)學歸納法證明；

22、第（2）小題可利用綜合法結(jié)合不等關(guān)系的迭代；第（3）小題利用不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)列，然后利用前n項和求和，再進行適當放縮.【解】（）必要性：a10，a21c，又a20，1，01c1，即c0，1.充分性：設(shè)c0，1，對nN*用數(shù)學歸納法證明an0，1.(1)當n1時，a10，1.(2)假設(shè)當nk時，ak0，1(k1)成立，則ak1cak31cc1c1，且ak1cak31c1c0，ak10，1，這就是說nk1時，an0，1.由（1）、（2）知，當c0，1時，知an0，1對所胡nN*成立.綜上所述，an0，1對任意nN*成立的充分必要條件是c0，1.（）設(shè)0c，當n1時，a10，結(jié)論成立.當n2

23、時，由ancan-131c，1anc(1an-1)(1an-1an-12)0c，由()知an-10，1，所以1an-1an-123，且1an-10，1an3c(1an-1)，1an3c(1an-1)(3c)2(1an-2)(3c) n-1(1a1)(3c) n-1，an1(3c)n-1，nN*.()設(shè)0c，當n1時，a1202，結(jié)論成立.當n2時，由（）知an1(3c)n-10，an2(1(3c)n-1) 212(3c)n-1(3c)(n-1)12(3c)n-1，a12a22an2a22an2n123c(3c)2(3c)n-1n1213c(3c)2(3c)n-11n1n1.【點評】本題是數(shù)列與

24、不等式、數(shù)學歸納法的知識交匯題，屬于難題，此類試題在高考中點占有一席之地，復習時應引起注意.本題的第()小題實質(zhì)也是不等式的證明，【例17】（2007湖北理21）（本小題滿分14分）已知m，n為正整數(shù).（）用數(shù)學歸納法證明：當x-1時，(1+x)m1+mx；（）對于n6，已知，求證，m=1,1,2，n；（）求出滿足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.解：（）證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學歸納法證明：當x-1，且x0時，m2,(1+x)m1+mx. (i)當m=2時，左邊1+2x+x2,右邊1+2x，因為x0,所以x20，即左邊右邊，不等式成立；（

25、ii）假設(shè)當m=k(k2)時，不等式成立，即（1+x）k1+kx,則當m=k+1時，因為x-1,所以1+x0.又因為x0,k2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即當mk+1時，不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.()證：當而由（）， （）解：假設(shè)存在正整數(shù)成立，即有（）+1.又由（）可得（）+與式矛盾，故當n6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；當n=1時，34，等式不成立；當n=2時，32+42

26、52，等式成立；當n=3時，33+43+5363，等式成立；當n=4時，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+6474,等式不成立；當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.題型五.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合【例18】.設(shè)函數(shù)f(x) = x2 + bln(x+1),（1）若對定義域的任意x，都有f(x)f(1)成立，求實數(shù)b的值；（2）若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；（3）若b = - 1,，證明對任意的正整數(shù)n，不等式 都成立解：（1）由x + 10得x 1f(x)的定義域為( - 1，+ ),對x( -

27、1，+ ),都有f(x)f(1)，f(1)是函數(shù)f(x)的最小值，故有 = 0,解得b= - 4.（2）又函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，f/ (x) 0或f/(x)0在( - 1，+ )上恒成立。若f/ (x) 0，x + 10，2x2 +2x+b0在( - 1，+ )上恒成立,即b-2x2 -2x = 恒成立,由此得b;若f/ (x) 0, x + 10, 2x2 +2x+b0,即b-(2x2+2x)恒成立，因-(2x2+2x) 在( - 1，+ )上沒有最小值，不存在實數(shù)b使f(x) 0恒成立。綜上所述，實數(shù)b的取值范圍是。（3）當b= - 1時，函數(shù)f(x) = x2 - ln(x+

28、1)令函數(shù)h(x)=f(x) x3 = x2 ln(x+1) x3，則h/(x) = - 3x2 +2x - ，當時，h/(x)0所以函數(shù)h(x)在上是單調(diào)遞減。又h(0)=0，當時，恒有h(x) h(0)=0,即x2 ln(x+1) x3恒成立.故當時,有f(x) x3.取則有 ,故結(jié)論成立?！纠?9】. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（）（）若則當n2時,.解: ()先用數(shù)學歸納法證明,.（1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即.則當n=k+1時,因為0x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1

29、),即0. 故當n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.4分又由, 得,從而.綜上可知6分()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因為,所以,即0,從而10分() 因為 ,所以, , 所以 , 12分由()知:, 所以= ,因為, n2, 所以 = . 14分由 兩式可知: .16分【例20】.已知函數(shù)。 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；（3）證明：上恒成立 解：（I）函數(shù)當時，則上是增函數(shù) 當時，若時有若時有則上是增函數(shù)，在上（）由（I）知，時遞增，而不成立，故 又由（I）知，要使恒成立，則即可。由 （）由（）知，當時有恒成立

30、，且上是減函數(shù)，恒成立，即上恒成立 。）令，則，即，從而，成立【專題訓練】一、選擇題1已知無窮數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有（ ）ABCD答案：B 【解析】a4a8(a13d)(a17d)a1210a1d21d2，a62(a15d)2a1210a1d25d2，故.2設(shè)an是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，bnan+1an+2，cnanan+3，則（ ）AbncnBbncnCbncnDbncn答案：D 【解析】設(shè)其公比為q,則bncnan(q1)(1q2)an(q1)2(q1)，當q1時，bncn，當q0，且q1時，bncn，故bncn.3已知an為等差數(shù)列，bn為正項等比數(shù)列，公比q1，若a1b

31、1，a11b11，則（ ）Aa6b6Ba6b6Ca6b6Da6b6或a6b6 答案：B 【解析】因為q1，b10，b110，所以b1b11，則a6b6.4已知數(shù)列an的前n項和Snn29n，第k項滿足ak，則k（ ）A9B8C7D6答案：B 【解析】因數(shù)列為等差數(shù)列，anSnSn-12n10，由52k108，得到k8.5已知等比數(shù)列an的公比q0，其前n項的和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是（ ）AS4a5S5a4BS4a5S5a4CS4a5S5a4D不確定答案：A 【解析】S4a5S5a4(a1a2a3a4)a4q(a1a2a3a4a5)a4a1a4a12q30，S4a5S5a46設(shè)

32、Sn123n，nN*，則函數(shù)f(n)的最大值為（ ）ABCD答案：D 【解析】由Sn，得f(n)，當n，即n8時取等號，即f(n)maxf(8)7已知y是x的函數(shù)，且lg3，lg(sinx)，lg(1y)順次成等差數(shù)列，則（ ）Ay有最大值1，無最小值By有最小值，無最大值Cy有最小值，最大值1Dy有最小值1，最大值1 答案：B 【解析】由已知y(sinx)21，且sinx，y1，所以當sinx1時，y有最小值，無最大值.8已知等比數(shù)列an中a21，則其前3項的和S3的取值范圍是（ ）(，1(，1)(1，)3，)(，13，)答案：D 【解】等比數(shù)列an中a21，S3a1a2a3a2(1q)1q

33、.當公比q0時，S31q123，當公比q0時，S31(q)121，S3(，13，).9設(shè)b是1a和1a的等比中項，則a3b的最大值為( )A1B2C3D4答案：B 【解析】b是1a和1a的等比中項，則3b21a2a23b21，令acos，bsin，(0，2)，所以a3bcosin2sin()2.10設(shè)等比數(shù)列an的首相為a1，公比為q，則“a10，且0q1”是“對于任意nN*都有an+1an”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分比要條件D既不充分又不必要條件答案：A 【解析】當a10，且0q1時，數(shù)列為遞增數(shù)列，但當數(shù)列為遞增數(shù)列時，還存在另一情況a10，且q1，故選A.11an為等

34、差數(shù)列，若1，且它的前n項和Sn有最小值，那么當Sn取得最小正值時，n（ ）A11B17C19D21答案：C 【解析】由1，得0000，則要使Sn取得最小正值必須滿足S190，且S200，此時n19.12設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x、yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項和Sn的取值范圍是（ ）A，2)B，2C，1)D，1答案：C 【解析】f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x、yR，都有f(x)f(y)f(xy)，a1，anf(n)(nN*)，an+1f(n1)f(1)f(n)an，Sn1()n.則數(shù)列an的前

35、項和的取值范圍是，1).二、填空題13等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a4a28，a3a526，記Tn，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，TnM都成立則M的最小值是_答案：2 【解析】由a4a28，可得公差d4，再由a3a526，可得a11，故Snn2n(n1)2n2n，Tn，要使得TnM，只需M2即可，故M的最小值為2，答案：214無窮等比數(shù)列an中，a11，|q|1，且除a1外其余各項之和不大于a1的一半，則q的取值范圍是_.答案：(1，0(0， 【解析】q，但|q|1，且q0，故q(1，0(0，.15已知x0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是_.

36、0124答案：4 【解析】4.16等差數(shù)列an的公差d不為零，Sn是其前n項和，給出下列四個命題：A若d0，且S3S8，則Sn中，S5和S6都是Sn中的最大項；給定n，對于一定kN*(kn)，都有an-kan+k2an；若d0，則Sn中一定有最小的項；存在kN*，使akak+1和akak-1同號其中真命題的序號是_.答案：D 【解析】對于：S8S3a4a5a6a7a85a60，S5S6，又d0，S5S6為最大，故A正確；對于：根據(jù)等差中項知正確；對于：d0，點(n，Sn)分布在開口向上的拋物線，故Sn中一定有最小的項，故正確；而akak+1d，akak-1d，且d0，故為假命題.三、解答題17

37、已知an是一個等差數(shù)列，且a21，a55（）求an的通項；（）求an前n項和Sn的最大值【解】（）設(shè)an的公差為d，由已知條件，解出a13，d2所以ana1(n1)d2n5（）Snna1dn24n(n2)24，所以n2時，Sn取到最大值418已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(，an+1)(nN*）在函數(shù)yx21的圖象上.()求數(shù)列an的通項公式；()若列數(shù)bn滿足b11,bn+1bn2an，求證：bnbn+2b2n+1.【解】()由已知得an+1an1，即an+1an1，又a11，所以數(shù)列an是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，故an1(a1)1n.()由（）知：ann從而bn+1bn2n

38、.bn(bnbn-1)(bn-1bn-2)（b2b1）b12n-12n-2212n1.因為bnbn+2b(2n1)(2n+21)(2n-11)2(22n+22n+22n1)(22n+222n+11)52n42n2n0,所以bnbn+2b.19設(shè)數(shù)列an的首項a1(0，1)，an，n2，3，4，.（）求an的通項公式；（）設(shè)bnan，證明bnbn+1，其中n為正整數(shù)【解】（）由an，n2，3，4，.整理得1an(1an-1)又1a10，所以1an是首項為1a1，公比為的等比數(shù)列，得an1(1a1)()n-1，（）由（）可知0an，故bn0那么，bn+12bn2an+12(32an+1)an2(32an)()2(32)an2(32an)(an1)2.又由（）知an0，且an1，故bn+12bn20，因此bnbn+1，為正整數(shù)20已知數(shù)列an中a12，an+1(1)( an2)，n1，2，3，.（）求an的通項公式；（）若數(shù)列an中b12，bn+1，n1，2，3，.證明：bna4n-3，n1，2，3，【解】（）由題設(shè)：an+1(1)(an2)(1)(an)(1)(2)，(1)(an)，an+1