數(shù)列中裂項(xiàng)求和的幾種常見(jiàn)模型

1、數(shù)列中裂項(xiàng)求和的幾種常見(jiàn)模型數(shù)列問(wèn)題是高考的一大熱點(diǎn)，而且綜合性較強(qiáng)，既注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，又注重?cái)?shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用。而此類(lèi)問(wèn)題大多涉及數(shù)列求和，所以數(shù)列求和方法是學(xué)生必須掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆項(xiàng)重組法、并項(xiàng)求和法，裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相加法、倒序相加法等等，而裂項(xiàng)相消法是其中較為基礎(chǔ)、較為靈活的一種，也是出現(xiàn)頻率最高，形式最多的一種。下面就例舉幾種裂項(xiàng)求和的常見(jiàn)模型，以供參考。模型一：數(shù)列是以d為公差的等差數(shù)列，且，則例1已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)

2、m； （2006年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題）解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）0，數(shù)列為等差數(shù)列 ()數(shù)列為等差數(shù)列，并且首項(xiàng)為=1，公差為4，=1+4（n1），an0， bn=,Snb1b2+bn=例4設(shè)，則不超過(guò)的最大整數(shù)為。(2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽浙江省預(yù)賽試題)解：,不超過(guò)的最

3、大整數(shù)為。模型三： = 例5設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，n=1,2,3,. （）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，n=1,2,3,，證明：（2006年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題）. 解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而數(shù)列 an+2n是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3

4、, ,()將an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 模型四：，且，則例6設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn).記的導(dǎo)函數(shù)為.數(shù)列滿(mǎn)足：,.()求函數(shù)的解析式;()試判斷數(shù)列的增減性,并給出證明;()當(dāng)時(shí),證明:.解：（）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，由于在處的切線(xiàn)平行于， (),故,所以,所以是單調(diào)遞增. () ,=,令當(dāng)時(shí), 例7已知數(shù)列滿(mǎn)足，滿(mǎn)足 ，證明： 。(2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽浙江省預(yù)賽試題)證明：記 ，則 。而。因?yàn)椋?。從而?。 （1）又因?yàn)?，所以，即。從而?。 （2）由（1）和（2）即得 。 綜合得到 。左邊不等式的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) n=1時(shí)成立。以上我們通過(guò)幾個(gè)典型問(wèn)題的解析，總結(jié)了四類(lèi)裂項(xiàng)求和