03屆 普通高等學(xué)校春季招生（北京數(shù)學(xué)理）試卷及答案

1、2003年普通高等學(xué)校春季招生考試 數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.第卷1至2頁.第卷3至8頁.共150分.考試時間120分鐘. 第卷（選擇題 共60分）注意事項：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用像皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回. 正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式其中、c分別表示上、下底面周長l表示斜高或母線長球體的體積公式其中R表示球的半徑參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式 一、選擇題：

2、本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1若集合( )ABCD2若，則方程的根是( )ABC2D23設(shè)復(fù)數(shù)( )ABCD4函數(shù)的最大值是( )ABCD5在同一坐標(biāo)系中，方程的曲線大致是( )6若A，B，C是ABC的三個內(nèi)角，且，則下列結(jié)論中正確的是( )ABCD7橢圓為參數(shù)）的焦點坐標(biāo)為( )A（0，0），（0，8）B（0，0），（8，0）C（0，0），（0，8）D（0，0），（8，0）8如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點， G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點.將ABC 沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與I

3、J所成角的度 數(shù)為( ) A90B60C45D09某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為( )A42B30C20D1210已知直線相切，則三條邊長分別為|a|，|b|，|c|的三角形( )A是銳角三角形B是直角三角形C是鈍角三角形D不存在11若不等式的解集為（1，2），則實數(shù)a等于( )A8B2C4D812在直角坐標(biāo)系xOy中，已知AOB三邊所在直線的方程分別為，則AOB內(nèi)部和邊上整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的總數(shù)是( )A95B91C88D752003年普通高等學(xué)校春季招生考試 數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷

4、）第卷（非選擇題 共90分）注意事項：1第卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中.2答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.題 號二三總 分171819202122分 數(shù)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.13如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則 14在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表. 觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（ ）內(nèi)年齡（歲）30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓（水銀柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （ ）

5、145舒張壓（水銀柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ ）8815如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2的值是 16若存在常數(shù)，使得函數(shù)的一個正周期為 三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17（本小題滿分12分）解不等式：18（本小題滿分12分） 已知函數(shù)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域. 19（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為，側(cè)棱長為4.E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，EFBD=G. （）求證：平面B1EF平面BDD1B1； （）求點D1到平面

6、B1EF的距離d； （）求三棱錐B1EFD1的體積V. 20（本小題滿分12分）某租賃公司擁有汽車100輛. 當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出. 當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛. 租出的車每輛每月需要維護(hù)費150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費50元. （）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？ （）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？21（本小題滿分13分）如圖，在邊長為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去.

7、 記圓On的面積為. （）證明是等比數(shù)列； （）求的值.22（本小題滿分13分）已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上. （）求動圓圓心的軌跡M的方程； （）設(shè)過點P，且斜率為的直線與曲線M相交于A，B兩點. （i）問：ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標(biāo)；若不能，說明理由； （ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標(biāo)的取值范圍.2003年普通高等學(xué)校春季招生考試 數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）參考答案一、選擇題：本題主要考查基本知識和基本運算. 每小題5分，滿分60分. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C

8、12.B 二、填空題：本題主要考查基本知識和基本運算.每小題4分，滿分16分. 13 14（140）（85） 15 16注：填的正整數(shù)倍中的任何一個都正確. 三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17本小題主要考查不等式的解法、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查運算能力和邏輯思維能力. 滿分12分. 解：原不等式變形為.所以，原不等式.故原不等式的解集為. 18本小題主要考查三角函數(shù)的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力. 滿分12分.解：由. 所以的定義域為 因為的定義域關(guān)于原點對稱，且 是偶函數(shù). 當(dāng) ， 所以的值域為19本小題主要考查正四

9、棱柱的基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力. 滿分12分. （）證法一：連結(jié)AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1. E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，故EFAC，EF平面BDD1B1，平面B1EF平面BDD1B1. 證法二： BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD. 又 EFD1DEF平面BDD1B1， 平面B1EF平面BDD1B1.（）在對角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足為H. 平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足為H，點D1到平面B1EF的距離d

10、=D1H. 解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H. ， 解法二： D1HB1B1BG， ， 解法三： 連結(jié)D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半， 即， （） 20本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查分析和解決問題的能力. 滿分12分.解：（）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為，所以這時租出了88輛車. （）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為，整理得所以，當(dāng)x=4050時，最大，最大值為，即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307050元. 21本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、

11、三角函數(shù)等基本知識，考查邏輯思維能力. 滿分13分. （）證明：記rn為圓On的半徑，則所以故成等比數(shù)列. （）解：因為所以22本小題主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系，考查運用解析幾何的方法解決數(shù)學(xué)問題的能力. 滿分13分.解：（）依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為.（）（i）由題意得，直線AB的方程為消y得所以A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為（3，），假設(shè)存在點C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 由得但不符合，所以由，組成的方程組無解.因此，直線l上不存在點C，使得ABC是正三角形.（ii）解法一：設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由，即當(dāng)點C的坐標(biāo)為（1，）時，A，B，C三點共線，故.又， ， . 當(dāng)，即， 即為鈍角. 當(dāng)，即，即為鈍角. 又，即， 即. 該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角. 因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是. 解法二： 以AB為直徑的圓的方程為. 圓心到直線的距離為， 所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點G. 當(dāng)直線l上的C點與G重合時，ACB為