【全程復(fù)習(xí)方略】湖南省2013版高中數(shù)學(xué) 1.1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)配套課件 理 新人教A版

1、第一節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì),三年7考 高考指數(shù): 1.了解平行線分線段成比例定理. 2.會(huì)證明、應(yīng)用直角三角形射影定理.,1.利用平行線分線段成比例定理及直角三角形的射影定理進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算是高考重點(diǎn). 2.本部分主要以填空題為主，其中以相似三角形為背景的綜合題是熱點(diǎn)題型，同時(shí)相似三角形與圓、方程、三角、函數(shù)等知識(shí)的結(jié)合多以探索性、閱讀性命題類型出現(xiàn).,1.平行線等分線段定理 (1)定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么 在其他直線上截得的線段也 . (2)推論1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必_ 第三邊. (3)推論2:經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直

2、線 另 一腰.,相等,平分,平分,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)如圖，ABC中，D是AB的中點(diǎn),DEBC,AC=6,則AE=_. (2)如圖，梯形ABCD中，EFADBC，E是AB的中點(diǎn),DC=m,則 FC=_.,【解析】(1)D是AB的中點(diǎn)，DEBC, 點(diǎn)E是AC的中點(diǎn), AE= AC= 6=3. (2)EFADBC,E是AB的中點(diǎn)， DF=FC= DC= m,即FC= m. 答案：(1)3 (2) m,2.平行線分線段成比例定理 (1)定理：三條平行線截兩條直線，所得的 線段成比例. (2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延 長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段 .,對(duì)應(yīng),成比例,【即時(shí)應(yīng)用】 (1

3、)如圖，ADBECF,且ABBC=23,則EFDF=_. (2)如圖，在ABC中，DEBC,BD= AD,則AEAC=_.,【解析】(1)ADBECF,ABBC=23, DEEF=ABBC=23,EFDF=35. (2)DEBC, 又BD= AD,AB= AD, 答案：(1)35 (2)34,3.相似三角形的判定與性質(zhì) (1)定義:對(duì)應(yīng)角 ，對(duì)應(yīng)邊 的兩個(gè)三角形叫做相 似三角形. （2）預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩 邊的延長(zhǎng)線） ，所構(gòu)成的三角形與原三角形 . （3）判定： 定理1：兩角對(duì)應(yīng) ，兩三角形相似. 定理2：兩邊對(duì)應(yīng) 且?jiàn)A角 ，兩三角形相似. 定理3：三邊對(duì)應(yīng) ，

4、兩三角形相似.,相等,成比例,相交,相似,相等,成比例,相等,成比例,（4）直角三角形相似的判定：,(5)性質(zhì)： 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比 都等于 . 相似三角形周長(zhǎng)的比等于 . 相似三角形面積的比等于相似比的 . 相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于 ,外接圓 的面積比等于相似比的 .,相似比,相似比,平方,相似比,平方,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)已知：如圖所示，在ABC中，D、 E分別在AC、AB邊上，要使ADE ABC成立的條件可以是_. （只填寫一個(gè)即可） (2)如圖所示，在ABC中，C=90, AC=3,D為BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEBC 交AB于E，若ED=1，

5、BD=2，則DC的長(zhǎng) 為_(kāi),SBDESABC=_.,【解析】(1)此題屬開(kāi)放題，答案不唯一，可根據(jù)判定定理 的條件填寫，如ADE=B或AED=C或 等. (2)BDE=C=90,B=B, BDEBCA, BC=6,DC=4,SBDESBCA=DE2AC2=19. 答案：(1)ADE=B(或AED=C或 )(答案不唯一) (2)4 19,4.直角三角形的射影定理 定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例 ；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷?與 的比例中 項(xiàng).,中項(xiàng),射影,斜邊,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)在RtABC中，ACB=90，CDAB 于D，AC=3,BC=4，則AD=_. (2)一直角

6、三角形兩條直角邊之比是12， 則它們?cè)谛边吷仙溆暗谋仁莀.,【解析】（1）先由勾股定理，得AB=5，再由射影定理，得 AC2=ADAB, AD= （2）AC、AB在斜邊BC上的射影為DC、DB， 由射影定理得：AC2=CDBC, AB2=BDBC, CDBD=AC2AB2=14. 答案：(1) (2)14,平行線分線段成比例定理 【方法點(diǎn)睛】 1.平行線等分線段定理的理解及應(yīng)用 平行線等分線段定理及推論1、推論2是證明線段相等或求線段 長(zhǎng)度的重要理論依據(jù)之一,在應(yīng)用這個(gè)定理時(shí)一定要看清條件 中是否是一組平行線已截得相等的線段，若是就可以用該定理.,2.利用平行線分線段成比例定理的注意事項(xiàng) 利用

7、平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題時(shí)要特別注意被平行線 所截的直線，找準(zhǔn)成比例的線段，得到相應(yīng)的比例式，有時(shí)需 要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而得到最終的結(jié)果.,【例1】(1)如圖，ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=6,OE BC，則EC=_. (2)(2012長(zhǎng)沙模擬)如圖，在ABC中，DEBC,EFCD，若BC=3，DE=2,DF=1，則AB的長(zhǎng)為_(kāi).,【解題指南】(1)可利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線等分線段 定理求線段EC的長(zhǎng). (2)這是一道利用平行線分線段成比例定理的計(jì)算題，由已知 條件分析知，需要中間比例式進(jìn)行轉(zhuǎn)換可以得到最終結(jié)果，即 由 等可以得出AB的長(zhǎng).,【規(guī)范解答】(1)在ABCD

8、中，OB=OD,AB=DC=6， 又OEBC,DE=EC= DC=3,即EC=3. 答案：3,(2)DEBC， , 又EFCD, AF=2FD=2,AD=3, 又DEBC, BD= , AB=AD+BD= . 答案：,【互動(dòng)探究】本例(2)中若BC=4，DE=3，DF=1，其他條件不變，則AB的長(zhǎng)為_(kāi). 【解析】DEBC, 又EFCD, AF=3FD=3,AD=4, 又DEBC, BD= AB=AD+BD=4+ 答案：,【反思感悟】本題靈活運(yùn)用了平行線分線段成比例定理，先 利用DEBC，EFCD得到比例式后，再進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化比例 式，從而解決問(wèn)題，這是在比例式的證明和計(jì)算中常見(jiàn)的一種 方法.,

9、相似三角形的判定和性質(zhì) 【方法點(diǎn)睛】1.相似三角形的判定思路,一對(duì)等角,找一對(duì)等角或找?jiàn)A邊成比例,兩邊成比例,找兩邊的夾角相等,含有等腰 三角形,找頂角相等或找一對(duì)底角相等或找腰和底對(duì)應(yīng)成比例,2.相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用 (1)運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，主要考慮相似三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、周長(zhǎng)、面積之間的關(guān)系. (2)相似三角形的性質(zhì)多用于求某條線段的長(zhǎng)度，求證比例式的存在、求證等積式的成立等. 【提醒】在做題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真觀察圖形特點(diǎn)，確定好對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角等.,【例2】(1)如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，ABCD,AB=2 m，CD=6 m，點(diǎn)P到CD的距離是2.

10、7 m，則AB與CD間的距離是_m. (2)如圖，梯形ABCD中，ABCD,且AB=2CD,E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M.若DB=9，則BM=_.,【解題指南】(1)先判定PAB與PCD相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，求出AB與CD間的距離. (2)由已知條件可判定四邊形BCDE是平行四邊形，所以BCDE，從而證明EDMFBM，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可求出BM的值.,【規(guī)范解答】(1)根據(jù)ABCD，知PABPCD. 設(shè)P到AB的距離為x m，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于 相似比，得 ，解得x=0.9， AB與CD間的距離為2.7-0.9=1.8(m). 答案：

11、1.8,(2)E是AB的中點(diǎn)， AB=2BE,又AB=2CD,CD=EB, 又ABCD,四邊形BCDE是平行四邊形, CBDE, EDMFBM. F是BC中點(diǎn),DE=BC=2FB, DM=2BM, BM= DB=3. 答案：3,【互動(dòng)探究】本例(2)中在所有條件不變的情況下，求SFBMSEDM=_. 【解析】由FBMEDM可知FBDE=12，所以SFBMSEDM=14. 答案：14,【反思感悟】判定三角形相似時(shí)，首先找出兩個(gè)三角形中已經(jīng)具備了哪些已知條件，再通過(guò)推理推出隱含的條件，選擇相似三角形的判定方法作出判定即可；當(dāng)三角形判定相似后，可再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出線段的長(zhǎng)、三角形的周長(zhǎng)及面

12、積等.,【變式備選】已知：如圖，在ABC中，D、E分別是BC、AB上任意點(diǎn)，EFMCDM，EF=1,CD=3，則EFM與CDM的周長(zhǎng)之比為_(kāi). 【解析】EFMCDM, EFM與CDM的周長(zhǎng)之比為EFCD=13. 答案：13,射影定理的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】射影定理的理解及解題思路 (1)射影定理建立了直角三角形中邊與射影之間的關(guān)系，揭示 了直角三角形的內(nèi)在關(guān)系. (2)利用直角三角形的射影定理解決問(wèn)題首先確定直角邊與其射影，再就是要善于將有關(guān)比例式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化，有時(shí)還要將等積式轉(zhuǎn)化為比例式或?qū)⒈壤睫D(zhuǎn)化為等積式，并且注意射影定理的其他變式.,【例3】(1)在ABC中，ACB=90,CDAB

13、于D，ADBD=23,則ACD與CBD的相似 比為_(kāi). (2)如圖，在RtABC中，ACB=90,CD AB于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F，CE= 3,CF=4,則AB=_.,【解題指南】(1)可由射影定理用AD表示出CD的長(zhǎng)，再求相似比. (2)先由勾股定理求CD的長(zhǎng)，再由射影定理求AC、BC的長(zhǎng)，最后 由勾股定理求出AB的長(zhǎng). 【規(guī)范解答】(1)設(shè)AD=2，則BD=3，ABC中，ACB=90, CDAB,CD2=ADDB=23=6,CD= ACD與CBD的相似 比=ADCD=2 答案：,(2)由勾股定理得CD= =5, 在RtACD中，由射影定理， 得CD2=CEAC, AC= 在RtBCD中，由射影定理， 得CD2=CFCB,CB= AB= 答案：,【互動(dòng)探究】本例(2)中條件不變，則ABC的面積為_(kāi). 【解析】由例題中可知 所以ABC的面積為: 答案：,