閱讀與思考函數(shù)概念的發(fā)展歷程.ppt

1、函數(shù)概念的發(fā)展歷程,德國 F.克萊因：,F.克萊因（F.Klein,18491925）,“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂?！?“以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在它周圍，進(jìn)行充分地綜合?！?一、函數(shù)概念的形成與演變,1函數(shù)以表格、曲線形態(tài)呈現(xiàn),一一對(duì)應(yīng)思想是函數(shù)概念形成的基礎(chǔ),約在3萬年前,伏羲時(shí)代,I II III IV V,公元前1600年以前巴比倫人的數(shù)學(xué)泥板,晷影差分表,唐一行( 張遂, 683727),在14世紀(jì)，法國奧雷斯姆(N. Oresme，1320 -1382) 運(yùn)用曲線表示速率與時(shí)間之間的關(guān)系,函數(shù)的早期形態(tài)。,在17世紀(jì)，函數(shù)更多地以曲線的形態(tài)呈現(xiàn)出來,如 log

2、x, sinx，等初等超越函數(shù) 做曲線來研究的。,2. 函數(shù)是變量,functionfkn： 功能，作用 職務(wù)，職責(zé) 盛大宴會(huì)、儀式 【數(shù)】函數(shù),“function”(函數(shù))一詞，在數(shù)學(xué)中最初出現(xiàn)在解不定方程。,已經(jīng)蘊(yùn)含了一種依賴關(guān)系,1673年，德國萊布尼茲的手稿里 “function”-表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量。,萊布尼茲 （G.W. Leibniz,1646-1716）,“萬能大師”,1692年，萊布尼茲第一次明確給出了函數(shù)定義: “像曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂線的長度等，所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量，即稱為函數(shù).”,此詞出現(xiàn)前，Newton一直用“流量”一詞

3、來表示變量間的關(guān)系。,3函數(shù)是解析式,1718年，約翰伯努利打破幾何思想的束縛，給函數(shù)如下定義: “變量的函數(shù)是由這個(gè)量和常量組成的解析表達(dá)式.” （第一次擴(kuò)充）,約翰伯努利(Johann Bernoulli，16671748年 )瑞士數(shù)學(xué)家, 歐拉(Leonard Euler， 17071783 )瑞士數(shù)學(xué)家,變數(shù)(x)和常數(shù)之間由加、減、乘、除、開方、三角、指數(shù)、對(duì)數(shù)等算法所構(gòu)成的式子均稱之為“解析的函數(shù)”。,1734年，歐拉以 “f( )” 表示函數(shù)，是數(shù)學(xué)史上首次以“f”表示函數(shù)。f (x)取自function一詞的第一個(gè)字母。,但他認(rèn)為 一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析表達(dá)式，一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一條連

4、續(xù)曲線。,1748年，毆拉為使函數(shù)概念適應(yīng)積分的需要，定義“函數(shù)是由手隨意畫的曲線”。,曲線分為三種: (1)能用語言或等式來表示曲線的本質(zhì)定義的(如圓)叫第一種; (2)無法用語言或等式來表示曲線的本質(zhì)的叫第二種; (3)用兩條以上第一種線所構(gòu)成的叫第三種. 他認(rèn)為，只有第一種能用一個(gè)解析式y(tǒng) = f(x)或F(x,y) = 0表示，其它兩種都不能. 所以把第一種曲線的解析式y(tǒng) = f(x)稱為“真函數(shù)”，其它都是“偽函數(shù)”.,歐拉的這一函數(shù)概念受到達(dá)朗貝爾等人的嚴(yán)厲批評(píng)。數(shù)學(xué)家查爾斯（J. Charles）發(fā)現(xiàn)了即使是簡(jiǎn)單函數(shù)也存在著表達(dá)式不唯一的情形。如,看來，一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析式的論

5、斷是站不住腳的。,1755年，歐拉給出了一個(gè)新的函數(shù)定義: “如果某些量這樣地依賴于另一些量，當(dāng)后者改變時(shí)它經(jīng)受變化，那么稱前者為后者的函數(shù).”（第二次擴(kuò)充）,4函數(shù)是對(duì)應(yīng),在這個(gè)定義中，雖然包含了解析式給出的函數(shù)，也包含了曲線給出的函數(shù)，但并沒有指出“某些量”和“另一些量”依賴關(guān)系有何特性.,柯西的函數(shù)定義: “對(duì)于x的每一個(gè)值，如果y有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y叫做x的函數(shù).” （第三次擴(kuò)充）,柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）法國數(shù)學(xué)家,這個(gè)定義打破了歐拉“真函數(shù)”與“偽函數(shù)”的概念，把用分段解析式表示的關(guān)系式納入函數(shù)定義，而且基本上擺脫了“解析表達(dá)式

6、”的要求, 側(cè)重于關(guān)于變量間關(guān)系的認(rèn)識(shí). 不過柯西給出的具體例子仍考慮的是x和y的關(guān)系以若干個(gè)解析式表示的情形。 也就是說，在18世紀(jì)，人們把函數(shù)只局限在初等函數(shù)范圍內(nèi)，至多限于分段函數(shù)。,傅立葉(Fourier,17681830) 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,1807年, 傅立葉在推導(dǎo)傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)可以表示成一個(gè)無窮三角級(jí)數(shù)。,高斯 (Gauss,17771855) 德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家,1812年，高斯 (Gauss,17771855)把超幾何級(jí)數(shù)作為的函數(shù)，其表達(dá)式是無窮級(jí)數(shù).,1837，狄利克雷給出了新的函數(shù)定義: “如果對(duì)于給定區(qū)間上x的所有值都對(duì)應(yīng)著完全確定的y值，

7、則稱y是x的函數(shù). 至于用怎樣的方法建立所指出的對(duì)應(yīng)關(guān)系完全不是重要的.”（第四次擴(kuò)充）,狄利克雷(Dirichet,18051859) 德國數(shù)學(xué)家,他還舉出一個(gè)著名函數(shù)例子，以說明函數(shù)概念的一般性。,狄利克雷的定義，避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡(jiǎn)明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。,5函數(shù)是關(guān)系,法國數(shù)學(xué)家達(dá)布（ G. Darboux，18421917）給出另一個(gè)函數(shù),打破了人們對(duì)連續(xù)函數(shù)的直觀理解,1861年舉出了一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可微的函數(shù)例子,“現(xiàn)代分析之父”,魏爾斯

8、特拉（Weierstrass， 18151897），德國數(shù)學(xué)家,其中a為奇數(shù)， b(0,1)為常數(shù)，使得,到了19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家們驚奇的發(fā)現(xiàn)，狄利克雷的函數(shù)定義，包含有出人意料的原則性問題.,設(shè)每個(gè)自然數(shù)N = 1, 2, 3, 對(duì)應(yīng)著數(shù),是不是N的函數(shù)呢？,例如，,德國康托爾(Cantor，18451918)的“集合論”創(chuàng)立之后，美國維布倫(Veblen，18801960)用“集合“給出了近代函數(shù)定義如下:,在變量y的集合與另一個(gè)變量x的集合之間，如果存在著對(duì)于x的每一個(gè)值，y有確定的值與之對(duì)應(yīng)這樣的關(guān)系，那么，變量y叫做變量x的函數(shù). （第六次擴(kuò)充）,打破了“變量是數(shù)”的限制，強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系的存在性,20世紀(jì)中葉，更廣泛的函數(shù)概念：,設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集XY為 XY=（x, y）x X, y Y,積集XY中的一子集R稱為X與Y的一個(gè)關(guān)系，若 （x, y