高等數(shù)學(xué)試卷：2006上A、B期中參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、東 南 大 學(xué) 考 試 卷課程名稱高等數(shù)學(xué)A、B期中考試學(xué)期06-07-2得分適用專業(yè)工科類考試形式閉卷考試時(shí)間長(zhǎng)度120分鐘學(xué)號(hào) 姓名 一.填空題（前四題每題4分，第5題8分，滿分24分）1函數(shù)的全部間斷點(diǎn)分別是，它們的類型依次分別為 跳躍間斷點(diǎn)，無窮間斷點(diǎn)；2已知，則，；3設(shè)，其中為可微函數(shù)，則微分；4設(shè)，若在處可導(dǎo)，則，；5舉出符合各題要求的一例，并將其填寫在橫線上：（1）在處不連續(xù)，但當(dāng)時(shí)，極限存在的函數(shù)有，（2）在處連續(xù)，但在時(shí)不可導(dǎo)的函數(shù)有，（3）在處導(dǎo)數(shù)為，但不為極值點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)有，（4）屬于“”或“”未定型，且存在有限極限，但極限不能用洛必達(dá)法則求得的有.二.單項(xiàng)選擇題（每題4

2、分，滿分12分）1設(shè)是單調(diào)增函數(shù)，是單調(diào)減函數(shù)，且復(fù)合函數(shù)，都有意義，則下列函數(shù)組中全為單調(diào)減函數(shù)的是 C (A) (B) (C) (D) 2當(dāng)時(shí)，若是比更高階的無窮小，則 B (A) (B) (C) (D) 3下面四個(gè)論述中正確的是 D (A)若，且數(shù)列單調(diào)遞減，則數(shù)列收斂，且其極限 (B)若，且數(shù)列收斂，則其極限(C)若，則 (D)若，則存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有。三.計(jì)算題（每題7分，滿分35分）1 解： （3+2+2分）2. 解： （3+2+2分）3設(shè)，求 . 解：（3分）（4分）4. 設(shè)，求.解：（2+2+2分）（1分）5. 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程. 解：對(duì)方程

3、關(guān)于求導(dǎo)得：，（3分）將代入得，（2分）于是所求切線方程為，即.（2分）四.（8分）設(shè)，證明數(shù)列收斂并求極限.證：，有上界。（1分），設(shè)，由歸納法得：?jiǎn)握{(diào)遞增，（3分）故收斂。設(shè)（1分）在遞推關(guān)系式中令，得，即，得，由極限保序性得，故（3分）五.（8分）證明：當(dāng)時(shí), 有.證：設(shè)，（1分），（2分）（3分）所以 ，故，原不等式得證。（2分）六. (7分) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在一點(diǎn)，使得 證：設(shè)，（2分）在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，使得，由于，得（5分）七(6分) 設(shè) (其中為正整數(shù))， （1）證明：在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的，使；（2）計(jì)算極限.證：法一（1）令，故，使得，在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。，記，即，在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減，在內(nèi)至多存在一個(gè)零點(diǎn)。在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，記為。（4分）（2）由于，而嚴(yán)格單調(diào)遞減，故，所以