材料力學(xué)+劉鴻文第四版+3章.ppt

1、3-1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例 3-2 外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖 3-3 純剪切 3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 3-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形,3-1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例,1受力特征：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方向相反的外力偶。 2變形特征：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。 軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱為軸 。,受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的，所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。,3-2 外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖,直接計算,1外力偶矩,按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算,電機每秒輸入功：,外力偶作功完成：,已知 軸轉(zhuǎn)速n 轉(zhuǎn)/分鐘 輸出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,例3-2

2、-1 傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。,解：計算外力偶矩,2扭矩與扭矩圖,扭矩的正負號規(guī)定：按右手螺旋法則，T矢量背離截面為正，指向截面為負（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負）,T稱為截面n-n上的扭矩。,用截面法求扭矩時，建議均假設(shè)各截面扭矩T為正，如果由平衡方程得到T為正，則說明是正的扭矩，如果為負，則是負的扭矩。在畫軸的扭矩圖，正的扭矩畫在x軸上方，負的扭矩畫在x軸下方。,注意,扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。,目 的,x

3、,T,例3-2-2 計算例3-2-1中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。,解：已知,477.5Nm,955Nm,637Nm,作扭矩圖如左圖示。,例3-2-3 已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。,解：計算外力偶矩,求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）,繪制扭矩圖,BC段為危險截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,3-3 純剪切,薄壁圓筒：壁厚,（r：為平均半徑）,1實驗：,實驗前：,繪縱向線，圓周線； 施加一對外力偶 m。,一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力,2 實驗后：,圓周線不變； 縱向線變成斜

4、直線。,3 結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。,4 與 的關(guān)系：,微小矩形單元體如圖所示：,5 薄壁圓筒剪應(yīng)力 大?。?A：平均半徑所作圓的面積。,二、切應(yīng)力互等定理：,上式稱為剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,三、切應(yīng)變 剪切胡克定律,單元體的四

5、個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。,T=m,剪切虎克定律：當剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。,式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。,剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：,可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。,1. 橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。,平面假設(shè)： 變形前為平

6、面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。,3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力,一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：,二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：,1. 變形幾何關(guān)系：,距圓心為 任一點處的與到圓心的距離成正比。, 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。,T,2. 物理關(guān)系：,虎克定律： 代入上式得：,3. 靜力學(xué)關(guān)系：,令,代入物理關(guān)系式 得：,橫截面上距圓心為處任一點剪應(yīng)力計算公式。,4. 公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。, 式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。,單位：mm4，m4。, 盡

7、管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是Ip值不同。,D,d,O,O,d, 應(yīng)力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（實心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。, 確定最大剪應(yīng)力：,由,知：當,Wt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。,對于實心圓截面：,對于空心圓截面：,三、強度條件,強度條件： ， t許用切應(yīng)力；,軸扭轉(zhuǎn)時，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點處于純剪切狀態(tài)，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。,理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應(yīng)力t與許用正應(yīng)力之間存在下述

8、關(guān)系：,對于塑性材料 t (0.5一0.577) 對于脆性材料， t (0.81.0) l 式中， l代表許用拉應(yīng)力。,強度計算三方面：, 校核強度：, 設(shè)計截面尺寸：, 計算許可載荷：,例3-4-1：一厚度為30mm、內(nèi)直徑為230mm 的空心圓管，承受扭矩T=180 kNm 。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用： (1)薄壁管的近似理論； (2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。,解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得,(2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得,例3-4-2：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？

9、（按強度計算）。,解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為1,例3-4-3：某汽車主傳動軸鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，試校核軸的強度。,解：計算截面參數(shù)：,由強度條件：,故軸的強度滿足要求。,同樣強度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，故空心軸較實心軸合理。,空心軸與實心軸的截面面積比(重量比)為：,由上式解出：d=46.9mm。,若將空心軸改成實心軸，仍使,，則,例3-4-4：功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力 =30M Pa, 試校核

10、其強度。,T,m,解：求扭矩及扭矩圖,計算并校核剪應(yīng)力強度,此軸滿足強度要求。,x,3-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形,一、扭轉(zhuǎn)時的變形,由公式,知：長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為,對于階梯軸，兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角 為,二、單位扭轉(zhuǎn)角 ：,或,三、剛度條件,或,GIp 抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強弱。, 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。,剛度計算的三方面：, 校核剛度：, 設(shè)計截面尺寸：, 計算許可載荷：,有時，還可依據(jù)此條件進行選材。,例3-5-1：圖示圓截面軸AC，承受扭力矩MA， MB與MC 作用，試計算該軸的總扭轉(zhuǎn)角AC(即截面C對截面A的相對轉(zhuǎn)角)，并校核軸的剛度。 已知MA180Nm， MB

11、320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。,解：1扭轉(zhuǎn)變形分析,利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分別為：T1180 Nm， T2-140 Nm,設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為AB和BC，則：,各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。,由此得軸AC的總扭轉(zhuǎn)角為,2 剛度校核 軸AC為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。AB段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：,可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度符合要求。,例3-5-2：長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應(yīng)力=30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若 =2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。, 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度,解：設(shè)計桿的外徑,代入數(shù)值得：,D 0.0226m。,40Nm,x,T,右端面轉(zhuǎn)角為：,例3-5-3：某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？