七數(shù)培優(yōu)競(jìng)賽講座第3講 創(chuàng)造的基石――觀察、歸納與猜想

1、第三講 創(chuàng)造的基石觀察、歸納與猜想 當(dāng)代著名科學(xué)家波普爾說過：我們的科學(xué)知識(shí)，是通過未經(jīng)證明的和不可證明的預(yù)言，通過猜測(cè)，通過對(duì)問題的嘗試性解決，通過猜想而進(jìn)步的 從某種意義上說，一部數(shù)學(xué)史就是猜想與驗(yàn)證猜想的歷史20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中巨大成果是，1995年英國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯證明了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)350多年的“費(fèi)爾馬大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已經(jīng)歷經(jīng)了兩個(gè)半世紀(jì)的探索，尚未被人證實(shí)猜想的正確性當(dāng)一個(gè)問題涉及相當(dāng)多的乃至無窮多的情形時(shí)，我們可以從問題的簡(jiǎn)單情形或特殊情況人手，通過對(duì)簡(jiǎn)單情形或特殊情況的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種研究問題的方法叫歸納猜想法

2、，是創(chuàng)造發(fā)明的基石例題【例1】 (1)用表示實(shí)圓，用表示空心圓，現(xiàn)有若干實(shí)圓與空心圓按一定規(guī)律排列如下： 問：前2001個(gè)圓中，有 個(gè)空心圓 (江蘇省泰州市中考題) (2)古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，2l，叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，則第24個(gè)三角形數(shù)與第22個(gè)三角形數(shù)的差為 (舟山市中考題)思路點(diǎn)撥 (1)仔細(xì)觀察，從第一個(gè)圓開始，若干個(gè)圓中的實(shí)圓數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，而空心圓的個(gè)數(shù)不變；（2）每個(gè)三角形數(shù)可用若干個(gè)數(shù)表示 【例2】觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字：像這樣，10條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )A40個(gè) B45個(gè) C50個(gè) D55個(gè) (湖北省荊門市中考題) 思路點(diǎn)

3、撥 隨著直線數(shù)的增加，最多交點(diǎn)也隨著增加，從給定的圖形中，探討每增加一條直線，最多交點(diǎn)的增加數(shù)與原有直線數(shù)的關(guān)系是解本例的關(guān)鍵 【例3】化簡(jiǎn) (第18屆江蘇省競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 先考察1，2，3時(shí)的簡(jiǎn)單情形，然后作出猜想，這樣，化簡(jiǎn)的目標(biāo)更加明確 【例4】古人用天干和地支記次序，其中天干有10個(gè)：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12個(gè)：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，將天干的10個(gè)漢字和地支的12個(gè)漢字分別循環(huán)排列成如下兩行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 從左向右數(shù)，第l列是甲子，第3列是丙寅，問當(dāng)?shù)诙渭缀妥釉谕涣袝r(shí)，該列的序號(hào)是多少?

4、 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 思路點(diǎn)撥 把“甲”、“子”在第一行、第二行出現(xiàn)的位置分別用相應(yīng)的代數(shù)式表示，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解 注： 觀察是解決問題的先導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)往往走從觀察開始的，歸納與猜想是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上的，解題中的觀察活動(dòng)主要有三條途徑： (1)數(shù)與式的特征觀察；(2)圖形的結(jié)構(gòu)觀察；(3)通過對(duì)簡(jiǎn)單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況歸納總是與遞推聯(lián)系在一起的，所謂遞推，就是在歸納的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)每一步與前一步或前幾步之間的聯(lián)系，更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律嘎證明通過歸蚋所猜測(cè)的規(guī)律的正確性【例5】 圖(a)、(b)、(c)、(d)都稱作平面圖圖頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)463(b)(c

5、)(d) (1)數(shù)一數(shù)每個(gè)圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)，多少條邊，這些邊圍出了多少區(qū)域，將結(jié)果填人表中(其中(a)已填好) (2)觀察表，推斷一個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系? (3)現(xiàn)已知某一平面圖有999個(gè)頂點(diǎn)和999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)(2)中推斷出的關(guān)系，確定這個(gè)圖有多少條邊? ( “華杯賽”決賽試題)思路點(diǎn)撥 從特殊情況人手，仔細(xì)觀察、分析、試驗(yàn)和歸納，從而發(fā)現(xiàn)其中的共同規(guī)律，這是解本例的關(guān)鍵學(xué)力訓(xùn)練1(1)如右圖的三角形數(shù)組是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，所表示的數(shù)是 (2001早浙江省紹興市中考題) 1 1 l 1 2 1 1 3 3 11 4 6

6、 4 11 5 10 10 5 1 (第1題)(2)觀察列數(shù)：3，8，13，18，23，28，依此規(guī)律，在此數(shù)列中比2000大的最小整數(shù)是 (2003年金華市中考題)2如圖是2002年6月份的日歷現(xiàn)用一矩形在日歷中任意框出4個(gè)數(shù) ，請(qǐng)用，一個(gè)等式表示之間的關(guān)系： (安徽省中考題)3下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第個(gè)圖形由個(gè)正方形組成通過觀察可以發(fā)現(xiàn)；(1)第4個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是 ；(2)第個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是 (江西省中考題)4小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表，那么當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是( )輸入12345輸出A B C D (2003年重慶市中考題)5，

7、在以下兩個(gè)數(shù)串中： 1，3，5，7，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，1990，1993，19961990同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有( )個(gè) A333 B334 C335 D336 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)6圖是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖、是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個(gè)疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是( )A25 B66 C91 D120 (2003年寧波市中考題)7一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是l，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，

8、55，問：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)中(包括第100個(gè)數(shù))，有多少個(gè)偶數(shù)? (“華杯”賽試題)8自然數(shù)按下表的規(guī)律排列(1)求上起第10行，左起第13列的數(shù)； (2)數(shù)127應(yīng)在上起第幾行、左起第幾列? (北京市“迎春杯”競(jìng)賽題)9(1)觀察下列各式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? 3515， 而15=42一1，5735， 而3562一l， 1ll3143， 而143=122一l 將你猜想到的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示出來 (2000年濟(jì)南市中考題)（2）將l，按一定規(guī)律排成下表： 從表中可以看到第4行中，自左向右第3個(gè)數(shù)是，第5行中從左向右第2數(shù)是，那么第199行中自左向右第8個(gè)數(shù)是 ，第1998行中自左向

9、第11個(gè)數(shù)是 (希望杯”邀請(qǐng)賽試題)10有一列數(shù)，其中； ；則第個(gè)數(shù) ；當(dāng)2001時(shí)，n (江蘇省競(jìng)賽題)11一個(gè)正方體，它的每一個(gè)面上寫有一個(gè)字，組成“數(shù)學(xué)奧林匹克”有三個(gè)同學(xué)從不同的角度看到的結(jié)果依次如圖所示，那么，“學(xué)”字對(duì)面的字為 (重慶市競(jìng)賽題)12用盆栽菊花擺在如圖所示的大小相同的7個(gè)正方形花壇的邊緣，正方形每邊都等距離地?cái)[n(n3)盆花那么所需菊花的總盆數(shù)s與n的關(guān)系可以表示為 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)13如果一個(gè)序列滿足, (n為自然數(shù))，那么是( ) 9900 B9902 C9904 10100 E10102 (新加坡數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)14將正偶數(shù)按下表排成5列 第1列 第2列

10、第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 28 26 根據(jù)上面排列規(guī)律，則2000應(yīng)在( ) A第125行，第1列 B第125行，第2列 C第250行，第1列 D第250行，第2列 (2001年湖北省荊州市中考題)15(1)設(shè)n為自然數(shù)，具有下列形式的數(shù)是不是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積，說明理由 (2)化簡(jiǎn)，并說明在結(jié)果中共有多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字? 16(1)圖是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到形如圖、的木塊 我們知道，圖的正方體木塊有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面，請(qǐng)你將圖、圖頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)863中木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填人下表：2觀察此表，請(qǐng)你歸納上述各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)雖關(guān)系是： (3)圖是用虛線畫出的正方體木塊，請(qǐng)你想象一種與圖不同的切法，把切去一塊后得到的那一塊的每條棱都改畫成實(shí)線，則該木塊的頂點(diǎn)數(shù)為 ，棱數(shù)為 ，面數(shù)為 17怎樣的兩個(gè)數(shù)，它們的和等于它們的積?你大概馬上就會(huì)想到2+222其實(shí)這樣的兩個(gè)數(shù)還有很多，例如： (1)你能再寫出一些這樣的兩個(gè)數(shù)嗎?你能從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律嗎? (2)