機(jī)器人雅可比矩陣

1、機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ),第四章 機(jī)器人雅可比矩陣 (Manipulator Jacobian) 課程的基本要求: 掌握運(yùn)動和力雅可比矩陣的物理含義及基本的求解方法,4.1 雅可比矩陣的定義,回顧：基本概念,剛體位姿描述和齊次變換 齊次坐標(biāo),歐拉角與 RPY 角 齊次變換和齊次變換矩陣的運(yùn)算 操作臂運(yùn)動學(xué) 連桿參數(shù)、連桿坐標(biāo)系 連桿變換和運(yùn)動學(xué)方程 機(jī)器人關(guān)節(jié)空間與操作空間,關(guān)節(jié)角位置和操作臂末端的直角坐標(biāo)位置,關(guān)節(jié)空間,操作空間,運(yùn)動學(xué)正解,運(yùn)動學(xué)反解,關(guān)節(jié)角速度和操作臂末端的直角坐標(biāo)速度,關(guān)節(jié)空間,操作空間,運(yùn)動學(xué)正解,運(yùn)動學(xué)反解,4.1 雅可比矩陣的定義(Jacobian matrix) 操作空間

2、速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性變換。,式中， 稱為末端在操作空間的廣義速度，簡稱為操作速度， 為關(guān)節(jié)速度； 是6n的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為操作臂的雅可比矩陣。它的第i行第j列元素為 ，i=1,2,6; j=1,2,n。,假設(shè)矢量yRm為uRn的函數(shù) y= y(u),y相對于u的偏導(dǎo)數(shù)定義為,對于m=1, （標(biāo)量對矢量的導(dǎo)數(shù)）,根據(jù)上述一般數(shù)學(xué)定義，對于6關(guān)節(jié)機(jī)器人： 設(shè)有6個各含6個獨立變量的函數(shù)，簡寫為x=f(q)。 求微分， 注意，如果函數(shù) f1(q) 到 f6(q) 是非線性的，則 是q的函數(shù)，寫成 ，式子兩邊同除以時間的微分， 上式中，66的偏導(dǎo)數(shù)矩陣J(q)叫做雅可比矩陣。其中,雅可比矩陣,

3、機(jī)器人關(guān)節(jié)數(shù),*雅可比矩陣的行數(shù)取決于機(jī)器人的類型,雅可比矩陣在機(jī)器人中的應(yīng)用,可以把雅可比矩陣看作是關(guān)節(jié)的速度 變換到操作速度V的變換矩陣 在任何特定時刻，q具有某一特定值，J(q)就是一個線性變換。在每一新的時刻，q已改變，線性變換也因之改變，所以雅可比矩陣是一個時變的線性變換矩陣。 在機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，通常談到的雅可比矩陣是把關(guān)節(jié)角速度和操作臂末端的直角坐標(biāo)速度聯(lián)系在一起的。 必須注意到，對于任何給定的操作臂的結(jié)構(gòu)和外形，關(guān)節(jié)速度是和操作臂末端的直角坐標(biāo)速度成線性關(guān)系，但這只是一個瞬間關(guān)系。,例4.1,將平面2R機(jī)械手的運(yùn)動學(xué)方程兩端分別對時間t求導(dǎo),則得其雅可比矩陣為,平面2R機(jī)械手的運(yùn)

4、動學(xué)方程為,對于關(guān)節(jié)空間的某些形位q，操作臂的雅可比矩陣的秩減少、這些形位稱為操作臂的奇異形位： 操作臂的雅可比矩陣的秩減少的形位（數(shù)學(xué)上） 操作臂在操作空間的自由度將減少（物理上）,(singular configuration),例4.1,可利用雅可比矩陣的行列式判別奇異形位,當(dāng)290或2 0時,機(jī)械手的雅可比行列式為0矩陣的秩為1，因而處于奇異狀態(tài)。從幾何上看機(jī)械手完全伸直(2 0)或完全縮回(2 180)時，機(jī)械手末端喪失了徑向自由度僅能沿切向運(yùn)動，在奇異形位時，機(jī)械手在操作空間的自由度將減少。,例4.2 如圖所示為了實現(xiàn)平面2R機(jī)械手末端沿x0軸以l m/s的速度運(yùn)動，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)速

5、度,解：由 可以看出，只要機(jī)械手的雅可比J(q)是滿秩的方陣,相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度即可解出 對于平面2R機(jī)械手，運(yùn)動學(xué)方程為,平面2R機(jī)械手的速度反解,例4.2 如圖所示為了實現(xiàn)平面2R機(jī)械手末端沿x0軸以l m/s的速度運(yùn)動，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度,解：雅可比J(q)為,于是得到與末端速度 相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度 反解為,逆雅可比可為,討論：機(jī)械手接近奇異形位時，關(guān)節(jié)速度將趨于無窮大。,當(dāng)20； 2180時，機(jī)械手在水平位置，,例：物理仿真中的雅可比矩陣,約束函數(shù)C(x), 單位圓上的質(zhì)點位置約束為 一般情況下，采用位姿矢量q聚合表達(dá)n個粒子的位置。在3D空間，矢量長度為3n?？紤]位置約束C是一個關(guān)于位姿矢量q

6、的未知函數(shù)，則速度約束 矩陣 被稱作C的雅可比矩陣，記作J。為了進(jìn)行物理仿真，求微分 ，根據(jù)力學(xué)關(guān)系，建立微分約束方程，基于物理仿真。,例子2：立體視覺雅可比矩陣,兩只CCD攝像機(jī)任意的安裝在機(jī)器人手腕上，形成手眼機(jī)器人立體視覺系統(tǒng)。 Xc,Yc,Zc為攝像機(jī)坐標(biāo)系， x,y為圖像坐標(biāo)系， CO為攝像機(jī)焦距 f Xw,Yw,Zw為世界坐標(biāo)系，則 根據(jù)上述透視投影關(guān)系,得到以 世界坐標(biāo)系表示的P點坐標(biāo)與其 投影點p的坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系：,攝像機(jī)成像模型,對上式兩邊求導(dǎo)，得： 為世界坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的雅可比映射矩陣，它是攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)的函數(shù)。進(jìn)一步，經(jīng)過立體視覺攝像機(jī)定標(biāo)，得到： 其中， =

7、，k代表攝像機(jī)1，2。上式為手眼機(jī)器人跟蹤系統(tǒng)的視覺伺服控制方程。 如果物體在世界坐標(biāo)系下的速度 已知，根據(jù)采樣時間步長t，前一幀圖像位置x(k)，根據(jù)上式可以估計下一幀圖像位置x(k+1)，則可通過控制攝像機(jī)位姿，可以實現(xiàn)對目標(biāo)的跟蹤。,4.2 微分運(yùn)動與廣義速度,4.2 微分運(yùn)動與廣義速度 剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動包含微分移動矢量d和微分轉(zhuǎn)動矢量。前者由沿三個坐標(biāo)軸的微分移動組成；后者又繞三個坐標(biāo)軸的微分轉(zhuǎn)動組成，即 將兩者合并為6維列矢量D，稱為剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動矢量： 相應(yīng)地，剛體或坐標(biāo)系的廣義速度V是由線速度v, 組成的6維矢量：,微分運(yùn)動D和廣義速度V是相對于參考坐標(biāo)系而言的。例

8、如，相對于坐標(biāo)系T而言，用 ， 表示。,d,若相對于基坐標(biāo)系的微分運(yùn)動為D，則相對于坐標(biāo)系T的微分運(yùn)動 為,T,p,n,o,a,注意：D的微分位移和旋轉(zhuǎn)應(yīng)看作通過基坐標(biāo)系的原點的矢量。,合并寫為,對于任何三維矢量p=px，py，pzT，其反對稱矩陣S(p)定義為 S(p)是一個叉積算子，易證 S(p) = p , S(p) = (p )T,微分位移的變換簡寫為 式中, R=n,o,a 是旋轉(zhuǎn)矩陣。 相應(yīng)地，廣義速度V 的坐標(biāo)變換為 任意兩坐標(biāo)系A(chǔ),B之間廣義速度的坐標(biāo)變換為,4.3 雅可比矩陣的構(gòu)造法,雅可比矩陣J(q)既可看成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間速度傳遞的線性關(guān)系，也可看成是微分運(yùn)動轉(zhuǎn)換的

9、線性關(guān)系，即 對n個關(guān)節(jié)的機(jī)器人，J 的每一列代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度對于手爪線速度和角速度的傳遞比。因此，可將雅可比矩陣分塊為,4.3 雅可比矩陣的構(gòu)造法,關(guān)節(jié)速度,線速度,角速度,關(guān)節(jié)1速度引起手爪的線速度,下面采用構(gòu)造性的方法直接構(gòu)造出各項Jti和Jai,Whitney基于運(yùn)動坐標(biāo)系的概念提出求機(jī)器人雅可比的矢量積方法。如圖所示,末端手爪的線速度v和角速度與關(guān)節(jié)速度 有關(guān) （1）對于移動關(guān)節(jié) i , （2）對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié) i ,標(biāo)量,矢量,矢量積方法 其中， 表示手爪坐標(biāo)原點相對坐標(biāo)系i的位置矢量在基坐標(biāo)系o 中的表示。 zi是坐標(biāo)系i的z軸單位向量(在基坐標(biāo)系o表示的)。,用矢量積方法計算J(

10、q) 由于PUMA 560的6個關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)因此其雅可比具有下列形式：,4.4 PUMA560的雅可比矩陣,4.5 力雅可比,機(jī)器人與外界環(huán)境相互作用時，在接觸的地方要產(chǎn)生力f和力矩n，統(tǒng)稱為末端廣義(操作)力矢量。記為 例如，操作臂提取重物時承受的外載作用力和力矩；抓手對被抓物體的作用力和力矩；多足步行機(jī)構(gòu)與地面的作用力和力矩。在靜止?fàn)顟B(tài)下，廣義操作力矢量f應(yīng)與各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力(或力矩)相平衡。n個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力(或力矩)組成的n維矢量稱為關(guān)節(jié)力矢量,預(yù)備知識操作器的靜力,利用虛功原理可以導(dǎo)出關(guān)節(jié)力矢量與相應(yīng)的廣義操作力矢量F之間的關(guān)系。令各關(guān)節(jié)的虛位移為qi，末端執(zhí)行器相應(yīng)的虛位移為D。所

11、謂虛位移，是滿足機(jī)械系統(tǒng)幾何約束的無限小位移。各關(guān)節(jié)所作的虛功之和WTq與末端執(zhí)行器所作的虛功WFTDfTd+nT應(yīng)該相等(總的虛功為零)，即,將 代入上式可得出,操作臂的力靜態(tài)平衡,4.5 力雅可比,式中，JT(q)稱為操作臂的力雅可比。它表示在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，操作力向關(guān)節(jié)力映射的線性關(guān)系。上式也表示操作臂的力雅可比就是它的(運(yùn)動)雅可比的轉(zhuǎn)置。因此可以看出操作臂的靜力傳遞關(guān)系與速度傳遞關(guān)系緊密相關(guān)。具有對偶性。 操作臂的力雅可比表示在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，操作力向關(guān)節(jié)力映射的線性關(guān)系。,當(dāng)J(q)退化時(即秩虧)，操作臂處于奇異形位。J(q)的零空間N(J(q)表示不產(chǎn)生操作速度的關(guān)節(jié)速度的集合

12、。 靜力映射的零空間N(JT(q)代表不需要任何關(guān)節(jié)驅(qū)動力(矩)而能承受的所有操作力的集合，末端操作力完全由機(jī)構(gòu)本身承受。而值域空間R(JT(q)則表示操作力能平衡的所有關(guān)節(jié)力矢量的集合。,根據(jù)線性代數(shù)的有關(guān)知識，零空間N(J(q)是值空間R(JT(q)在n維關(guān)節(jié)空間的正交補(bǔ)，即對于任何非零的 N(J(q)，則有 R(JT(q)；反之亦然。其物理含義是，在不產(chǎn)生操作速度的這些關(guān)節(jié)速度方向上，關(guān)節(jié)力矩不能被操作力所平衡。為了使操作臂保持靜止不動，在零空間N(J(q)的關(guān)節(jié)力矢量必須為零。,在m維操作空間中存在著相似的對偶關(guān)系。R(J(q)是N(JT(q) 在操作空間的正交補(bǔ)。 因此，不能由關(guān)節(jié)運(yùn)

13、動產(chǎn)生的這些操作運(yùn)動的方向恰恰正是不需要關(guān)節(jié)力矩來平衡的操作力的方向。反之，若外力作用的方向是沿著末端執(zhí)行器能夠運(yùn)動的方向，則外力完全可以由關(guān)節(jié)力(矩)來平衡。當(dāng)雅可比J(q)退化時，操作臂處于奇異形位，零空間N(JT(q)不只包含0，因而外力可能承受在操作臂機(jī)構(gòu)本身上。 利用瞬時運(yùn)動和靜力的對偶關(guān)系，可以從瞬時運(yùn)動關(guān)系推導(dǎo)出相應(yīng)的靜力關(guān)系。由式(4.18)可以導(dǎo)出兩坐標(biāo)系A(chǔ)和B之間廣義操作力的坐標(biāo)變換關(guān)系,例：雙連桿平面機(jī)器人 (p48, 55-56)：雙連桿操作器,4.5 雅可比的奇異性和靈巧度,一、雅可比的奇異性 操作臂的雅可比依賴于形位q，關(guān)節(jié)空間的奇異形位q定義為操作臂6n的雅可比的

14、秩不是滿秩的這些關(guān)節(jié)矢量q，即滿足 相應(yīng)的操作空間中的點xx(q)為工作空間的奇異點。在奇異形位處，操作臂喪失一個或多個操作自由度。粗略地講，機(jī)器人的奇異形位分為兩類：,(1)邊界奇異形位； (2)內(nèi)部奇異形位。,二、速度反解 機(jī)器人在執(zhí)行某一特定任務(wù)時，所需抓手獨立運(yùn)動參數(shù)的數(shù)目m隨任務(wù)的性質(zhì)而異，最多為6，有些則小于6，例如弧焊、噴漆等有對稱軸線，獨立運(yùn)動參數(shù)是5個；帶球形測頭的機(jī)器人需要3個獨立運(yùn)動參數(shù)；用于圓柱銑刀加工的需要4個獨立運(yùn)動參數(shù)。用于端銑刀的需要4個獨立運(yùn)動參數(shù)，用于平面作業(yè)的機(jī)器人需要3個獨立運(yùn)動參數(shù)。獨立運(yùn)動參數(shù)的數(shù)目即為操作空間的維數(shù)m (1)當(dāng)Mn，且J(q)是滿秧

15、時，機(jī)器人具有冗余自由度，冗余度定義為dim(N(J) (2)當(dāng)Mn，且J(q)是滿秩的，稱為滿自由度； (3)當(dāng)Mn，機(jī)器人是欠自由度的。,對于滿自由度的機(jī)器人，J(q)是方陣，一般情況下，根據(jù)操作速度 ，可以反解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。只是在奇異形位時，逆雅可比J-1(q)不存在，速度反解可能不存在。并且，在奇異點附近J(q)矩陣是病態(tài)的，反解的關(guān)節(jié)速度矢量可能趨于無限大。操作臂的運(yùn)動性能和動態(tài)性能變壞。實際上，若雅可比J(q)是滿秩方陣時，操作臂運(yùn)動方程的速度反解為,雅可比矩陣的秩 若J是方陣，且非奇異，求逆運(yùn)算,對于冗余度機(jī)器人，其雅可比的列數(shù)多于行數(shù)即nm。當(dāng)J(q)是滿秩的時，冗余度為

16、dim(N(J(q) = nm 0 其運(yùn)動方程(4.2)的速度反解不唯一，解集合所包含的任意參數(shù)的數(shù)目等于冗余度dim(N(J(q) 。其通解可表示為 式中， 是方程(4.2)的一特解; 是J(q)零空間的任意矢量，k是任意常數(shù). 冗余度機(jī)器人對于避免碰撞，避開奇異狀態(tài)，增加操作臂的靈巧性，改善動態(tài)性能會帶來好處。,若,其中,是J的廣義逆,操作臂雅可比的奇異性定性地描述了操作臂的運(yùn)動靈巧性和運(yùn)動性能。為了定量分析操作臂的靈巧性和速度反解的精度，提出了許多度量指標(biāo)。所有這些指標(biāo)在概念上都與雅可比的奇異值有關(guān)。根據(jù)矩陣的奇異值分解理論，對操作臂在任意形位的雅可比J(q)進(jìn)行奇異值分解，即 式中，

17、為正交矩陣，而,式中，1 2 m0為J的奇異值。,三、雅可比矩陣的奇異值分解,1.條件數(shù),四、靈巧性度量指標(biāo),最大奇異值,最小奇異值,2. 最小奇異值,操作臂形位具有各向同性,操作臂終端對于關(guān)節(jié)運(yùn)動的響應(yīng)越快。,3可操作性(可操作度),小節(jié),計算雅克比 速度映射 力映射,作業(yè)： 4.4, 4.5, 4.15,4.7 剛度和變形,機(jī)械臂在外力作用下發(fā)生變形，與操作臂剛度和作用力矢量有關(guān)。 剛度是影響動態(tài)特性和定位精度的主要因素。 主要來源：連桿變形、連桿支撐和關(guān)節(jié)驅(qū)動裝置。,機(jī)器人關(guān)節(jié)變形的一個直接影響是引起末端的靜態(tài)變形誤差。在機(jī)器人的自重和外部負(fù)載的作用下，各關(guān)節(jié)會發(fā)生相應(yīng)的變形，而這種變形

18、又會累積到機(jī)器人的末端。對串聯(lián)機(jī)器人，這種作用尤為明顯。,對于絕大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人，連桿臂的剛度足夠大，機(jī)器人的彈性變形主要體現(xiàn)在組成關(guān)節(jié)的傳動部件上。 關(guān)節(jié)變形主要是由傳動件產(chǎn)生，如諧波齒輪，齒輪箱，傳動帶，長轉(zhuǎn)軸。連桿變形則主要是機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)剛度不足引起的。,轉(zhuǎn)子扭簧模型,操作剛度建模,為操作柔度矩陣,為操作剛度矩陣,在關(guān)節(jié)處附加一個彈簧，其彈性系數(shù)為k。稱k為關(guān)節(jié)剛度，稱k的倒數(shù)c為關(guān)節(jié)柔度。 設(shè)各關(guān)節(jié)剛度為kqi，在外力F的作用下，末端的變形為X，各關(guān)節(jié)的彈性變形為dqi。,模態(tài)分析結(jié)果,4.8 誤差標(biāo)定和補(bǔ)償,要對機(jī)器人位姿和軌跡誤差進(jìn)行補(bǔ)償，其基礎(chǔ)是對機(jī)器人位姿誤差進(jìn)行分析研究，而位姿誤差分析的關(guān)鍵之一就是建立位姿誤差模型。,2020/9/19,69,誤差源分析,誤差源：溫度、振動、電壓波動、空氣濕度與污染、操作者干預(yù)等；幾何參數(shù)誤差、受力變形、熱變形、摩擦力、振動等 。 幾何參數(shù)誤差 ：占總誤差80以上 關(guān)節(jié)變量誤差 固定參數(shù)誤差 影響因素：桿件加工精度；裝配誤差；相鄰軸線間的平行度和垂直度； 角度光學(xué)編碼器的零位與名義模型中關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)零位不重合而產(chǎn)生的零位偏置誤差。,在機(jī)器人機(jī)構(gòu)桿件上設(shè)置DH坐標(biāo)系。,機(jī)器人桿件DH坐標(biāo)系,D-H表示方法,通常把各誤差因素作為各相應(yīng)變量的微小量，通過適當(dāng)?shù)膮?shù)變量處理，推導(dǎo)出機(jī)器人手部位姿誤差模型。 當(dāng)相鄰軸