11頁輔助線-初二三角形常見輔助線做法總結(jié)及相關(guān)試題

1、.數(shù)學(xué)專題 三角形中的常用輔助線課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：歸納、掌握三角形中的常見輔助線二、重點、難點：1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實際問題的能力。三、考點分析：全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一， 是今后學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)。 判斷三角形全等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS和 HL，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了。典型例題人說幾何

2、很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一

3、”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。例 1：如圖， ABC是等腰直角三角形， BAC=90， BD平分 ABC交 AC于點D，CE垂直于 BD，交 BD的延長線于點 E。求證： BD=2CE。.思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2）解題思路 ：要求證 BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分 ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程 ：證明：延長BA ，CE 交于點 F，在BEF和BEC中， 1= 2， BE=BE ， BEF= BEC=90 ， BEF BEC， EF=EC，從而 CF=2CE 。又 1+ F= 3+

4、 F=90，故 1= 3。在 ABD 和 ACF中， 1= 3， AB=AC ， BAD= CAF=90 ， ABD ACF， BD=CF ， BD=2CE 。解題后的思考： 等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例 2：如圖，已知ABC 中， AD 是 BAC 的平分線， AD 又是 BC 邊

5、上的中線。求證：ABC是等腰三角形。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路 ：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了 AD 又是 BC 邊上的中線這一條件，而且要求證 AB=AC ，可倍長 AD 得全等三角形，從而問題得證。解答過程：.證明：延長AD 到 E，使 DE=AD ，連接 BE 。又因為 AD 是 BC 邊上的中線，BD=DC又 BDE= CDABEDCAD，故 EB=AC ， E= 2， AD 是 BAC 的平分線 1= 2， 1= E ，AB=EB，從而 AB=AC，即AB

6、C是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線， 常加倍延長此線段， 再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例 3：已知，如圖， AC平分 BAD， CD=CB，ABAD。求證： B+ADC=180。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路 ：因為 AC是 BAD的平分線，所以可過點 C作 BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程 ：證明：作 CEAB于 E，CF AD于 F。A

7、C平分 BAD，CE=CF。在 Rt CBE和 Rt CDF中，CE=CF， CB=CD，. Rt CBERtCDF， B=CDF， CDF+ADC=180， B+ADC=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例 4：如圖，ABC中，AB=AC， E 是 AB上一點， F 是 AC延長線上一點，連EF交 BC于 D，若 EB=CF。求證： DE=DF。思路分析 ：1）題意分析 ： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路 ：因為 DE

8、 、DF 所在的兩個三角形DEB與DFC不可能全等，又知 EB=CF ，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E 作 EG/CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：.證明：過 E 作 EG/AC交 BC于 G，則 EGB= ACB，又 AB=AC， B=ACB， B=EGB， EGD=DCF，EB=EG=CF， EDB= CDF， DGE DCF，DE=DF。解題后的思考： 此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例 5：ABC中， BAC=60， C=40，AP平分 BAC交 BC于 P，BQ平分 ABC交 AC于 Q，求證： AB+BP=BQ+A

9、Q。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路 ：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^ O作BC的平行線。得 ADO AQO。得到 OD=OQ， AD=AQ，只要再證出 BD=OD就可以了。解答過程 ：證明：如圖（ 1），過 O作 OD BC交 AB于 D， ADO=ABC=180 60 40=80，又 AQO= C+QBC=80， ADO=AQO，.又 DAO=QAO， OA=AO， ADO AQO，OD=OQ，AD=AQ，又 OD BP， PBO=DOB，又

10、 PBO=DBO， DBO=DOB，BD=OD，又 BPA= C+PAC=70，BOP= OBA+ BAO=70， BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：（1）本題也可以在 AB上截取 AD=AQ，連 OD，構(gòu)造全等三角形， 即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（ 2），過 O作 ODBC交 AC于 D，則 ADO ABO從而得以解決。如圖（ 5），過 P 作 PDBQ交 AC于 D，則 ABP ADP從而得以解決。.小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法， 體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同

11、的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例 6：如圖甲， ADBC，點 E 在線段 AB上， ADE=CDE， DCE= ECB。求證： CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）

12、解題思路： 結(jié)論是 CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再證 DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程 ：證明：在 CD上截取 CF=BC，如圖乙. FCE BCE（SAS）， 2=1。又 ADBC， ADC+BCD=180， DCE+CDE=90， 2+3=90， 1+4=90， 3=4。在 FDE與 ADE中， FDE ADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。解題后的思考： 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時， 一般方法是截長法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條

13、中的一條， 然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中， 再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。.小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍

14、半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式。請同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問題。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的運算法則是什么？同步練習(xí)全等三角形中的常見輔助線的添加方法舉例一有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 1：已知 AD為 ABC的中線，且 1 2, 3 4, 求證： BECFEF。ANEF1 2 34BDC圖 1二、有以線段中點為端點的線段時，常延長A加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。EF例：如圖 2：AD為 ABC的中線

15、，且 1 2，23 3 4，求證： BECFEF4C1BDM圖2.三、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 3：AD為 ABC的中線，求證： ABAC2AD。ABDCE圖 3練習(xí)：已知 ABC，AD是 BC邊上的中線，分別以 AB邊、 AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 4， 求證 EF2AD。EABDC圖4四、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖 5：在 ABC中， AB AC， 1 2， P 為 AD上任一點。求證： AB ACPB PC。A1 2PNDB圖 5E五、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 6：已知 ACBD，AD AC于 A ，BC BD于 B，求證： ADBCABODC圖6FCM.六、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 7：AB C