江蘇省2019屆高考數(shù)學(xué)專題三解析幾何3.1小題考法—解析幾何中的基本問題講義

1、專題三 解析幾何江蘇卷5年考情分析小題考情分析大題考情分析?？键c1.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(5年4考)2.圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)(5年5考)主要考查直線與橢圓(如2014年、2015年、2017年、2018年)的位置關(guān)系、弦長問題、面積問題等；有時也考查直線與圓(如2016年)，常與向量結(jié)合在一起命題.偶考點直線的方程、圓的方程第一講 小題考法解析幾何中的基本問題考點(一) 直線、圓的方程主要考查圓的方程以及直線方程、圓的基本量的計算. 題組練透1已知點P(3,2)與點Q(1,4)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為_解析：由題意知直線l與直線PQ垂直，所以kl1.又直線l經(jīng)過PQ的中點(2

2、,3)，所以直線l的方程為y3x2，即xy10.答案：xy102(2018南通一模)已知圓C過點(2，)，且與直線xy30相切于點(0，)，則圓C的方程為_解析：設(shè)圓心為(a，b)，則解得a1，b0，r2.即所求圓的方程為(x1)2y24.答案：(x1)2y243(2018南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))在平面直角坐標系xOy中，若動圓C上的點都在不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)，則面積最大的圓C的標準方程為_解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，面積最大的圓C即為可行域三角形的內(nèi)切圓由對稱性可知，圓C的圓心在x軸上，設(shè)半徑為r，則圓心C(3r,0)，且它與直線xy30相切，

3、所以r，解得r2，所以面積最大的圓C的標準方程為(x1)2y24.答案：(x1)2y24方法技巧1求直線方程的兩種方法直接法選用恰當?shù)闹本€方程的形式，由題設(shè)條件直接求出方程中系數(shù)，寫出結(jié)果待定系數(shù)法先由直線滿足的一個條件設(shè)出直線方程，使方程中含有待定系數(shù)，再由題設(shè)條件構(gòu)建方程，求出待定系數(shù)2.圓的方程的兩種求法幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程考點(二) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求相關(guān)的最值與范圍問題.典例感悟典例(1)

4、(2018無錫期末)過圓x2y216內(nèi)一點P(2,3)作兩條相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，則四邊形ACBD的面積為_(2)(2018南通、泰州一調(diào))在平面直角坐標系xOy中，已知點A(4,0)，B(0,4)，從直線AB上一點P向圓x2y24引兩條切線PC，PD，切點分別為C，D.設(shè)線段CD的中點為M，則線段AM長的最大值為_解析(1)設(shè)O到AB的距離為d1，O到CD的距離為d2，則由垂徑定理可得dr22，dr22，由于ABCD，故d1d2，且d1d2OP，所以2r2d16，得AB，從而四邊形ACBD的面積為SABCD19.(2)法一：(幾何法) 因為直線AB的方程為yx4，所以可設(shè)P(a

5、，a4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程為x1xy1y4，PD的方程為x2xy2y4，將P(a，a4)分別代入PC，PD的方程，得則直線CD的方程為ax(a4)y4，即a(xy)44y，所以直線CD過定點N(1,1)，又因為OMCD，所以點M在以O(shè)N為直徑的圓上(除去原點)又因為以O(shè)N為直徑的圓的方程為22，所以AM的最大值為3.法二：(參數(shù)法) 因為直線AB的方程為yx4，所以可設(shè)P(a，a4)，同法一可知直線CD的方程為ax(a4)y4，即a(xy)44y，得a.又因為O，P，M三點共線，所以ay(a4)x0，得a.因為a，所以點M的軌跡方程為22(除去原點)，所以AM

6、的最大值為3.答案(1)19(2)3方法技巧解決關(guān)于直線與圓、圓與圓相關(guān)問題的策略(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量(2)解決直線與圓相關(guān)的最值問題：一是利用幾何性質(zhì)，如兩邊之和大于第三邊、斜邊大于直角邊等來處理最值；二是建立函數(shù)或利用基本不等式求解(3)對于直線與圓中的存在性問題，可以利用所給幾何條件和等式，得出動點軌跡，轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系演練沖關(guān)1已知圓M：(x1)2(y1)24，直線l：xy60，A為直線l上一點，若圓M上存在兩點B，C，使得BAC60，則點A的橫坐標的取值范圍是_解析：由題意知，直線l與圓M

7、相離，所以點A在圓M外設(shè)AP，AQ分別與圓M相切于點P，Q，則PAQBAC60，從而MAQ30.因為MQ2，所以MA4.設(shè)A(x0,6x0)，則MA2(x01)2(6x01)216，解得1x05.答案：1,52(2018蘇北四市期末)在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2(y1)2r2(r0)上存在點P，且點P關(guān)于直線xy0的對稱點Q在圓C2：(x2)2(y1)21上，則r的取值范圍是_解析：設(shè)圓C1上存在點P(x0，y0)滿足題意，點P關(guān)于直線xy0的對稱點Q(y0，x0)，則故只需圓x2(y1)2r2與圓(x1)2(y2)21有交點即可，所以|r1|r1，解得1r1.答案：1，13在平面

8、直角坐標系xOy中，已知點P(3,0)在圓C：x2y22mx4ym2280內(nèi)，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點，若ABC的面積的最大值為16，則實數(shù)m的取值范圍為_. 解析：圓C的標準方程為(xm)2(y2)232，圓心為C(m,2)，半徑為4，當ABC的面積的最大值為16時，ACB90，此時C到AB的距離為4，所以4CP4，即16(m3)2(02)232，解得2|m3|2，即m(32，3232，32)答案：(32，32 32，32)4(2018南京、鹽城、連云港二模)在平面直角坐標系xOy中，已知A，B為圓C：(x4)2(ya)216上的兩個動點，且AB2.若直線l：y2x上存在唯一的一

9、個點P，使得，則實數(shù)a的值為_解析：法一：設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，P(x，y)，則由AB2，得CM，即點M的軌跡為(x04)2(y0a)25.又因為，所以，即(x0x，y0y)，從而則動點P的軌跡方程為(x2)225，又因為直線l上存在唯一的一個點P，所以直線l和動點P的軌跡(圓)相切，則，解得a2或a18.法二：由題意，圓心C到直線AB的距離d，則AB中點M的軌跡方程為(x4)2(ya)25.由，得2，所以.如圖，連結(jié)CM并延長交l于點N，則CN2CM2.故問題轉(zhuǎn)化為直線l上存在唯一的一個點N，使得CN2，所以點C到直線l的距離為2，解得a2或a18.答案：2或18考點(三)圓錐曲線

10、的方程及幾何性質(zhì)主要考查三種圓錐曲線的定義、方程及幾何性質(zhì)，在小題中以考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)為主.題組練透1(2018南通、泰州一調(diào))在平面直角坐標系xOy中，已知F為拋物線y28x的焦點，則點F到雙曲線1的漸近線的距離為_解析：拋物線的焦點F(2,0)，雙曲線的漸近線方程為yx，不妨取yx，即3x4y0，所以焦點F到漸近線的距離為.答案：2(2018蘇北四市期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B1，B2分別為橢圓C：1(ab0)的右、下、上頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點若B2FAB1，則橢圓C的離心率是_解析：由題意得，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(xiàn)(c,0)，所以

11、(c，b)，(a，b)，因為B2FAB1，所以0，即b2ac，所以c2aca20，e2e10，又橢圓的離心率e(0,1)，所以e.答案：3(2017江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y21的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是_解析：由題意得，雙曲線的右準線x與兩條漸近線yx的交點坐標為.不妨設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，故四邊形F1PF2Q的面積是|F1F2|PQ|42.答案：24(2018常州期末)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)直線l：xy10與雙曲線C：1(a0，b0)的兩條漸近線都相交且

12、交點都在y軸左側(cè)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是_解析：雙曲線的漸近線分別為yx，yx，依題意有1，即ba，e1，所以e的取值范圍是(1，)答案：(1，)方法技巧應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)的兩個注意點(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍 必備知能自主補缺(一) 主干知識要記牢1直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20的位置關(guān)系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(

13、2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.2直線與圓相交(1)幾何法由弦心距d、半徑r和弦長的一半構(gòu)成直角三角形，計算弦長|AB|2.(2)代數(shù)法設(shè)直線ykxm與圓x2y2DxEyF0相交于點M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線方程代入圓方程中，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，求出x1x2和x1x2，則|MN|.3判斷兩圓位置關(guān)系時常用幾何法即通過判斷兩圓心距離O1O2與兩圓半徑R，r(Rr)的關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系(1)外離：O1O2Rr；(2)外切：O1O2Rr；(3)相交：RrO1O2Rr；(4)內(nèi)切：O1O2

14、Rr；(5)內(nèi)含：0O1O20，b0)的漸近線方程為yx.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系(二) 二級結(jié)論要用好1過圓O：x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.2.過圓C外一點P做圓C的切線，切點分別為A，B(求切線時要注意斜率不存在的情況)如圖所示，則(1)P，B，C，A四點共圓，且該圓的直徑為PC；(2)該四邊形是有兩個全等的直角三角形組成；(3)cossin；(4)直線AB的方程可以轉(zhuǎn)化為圓C與以PC為直徑的圓的公共弦，且P(x0，y0)時，直線AB的方程為x0xy0yr2.3橢圓焦點三角形的3個規(guī)律設(shè)橢圓方程是1(ab0)，焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0

15、)，點P的坐標是(x0，y0)(1)三角形的三個邊長是PF1aex0，PF2aex0，|F1F2|2c，e為橢圓的離心率(2)如果PF1F2中F1PF2，則這個三角形的面積SPF1F2c|y0|b2tan .(3)橢圓的離心率e.4雙曲線焦點三角形的2個結(jié)論P(x0，y0)為雙曲線1(a0，b0)上的點，PF1F2為焦點三角形(1)面積公式Sc|y0|r1r2sin (其中PF1r1，PF2r2，F(xiàn)1PF2)(2)焦半徑若P在右支上，PF1ex0a，PF2ex0a；若P在左支上，PF1ex0a，PF2ex0a.5拋物線y22px(p0)焦點弦AB的3個結(jié)論(1)xAxB；(2)yAyBp2；(

16、3)ABxAxBp.課時達標訓(xùn)練A組抓牢中檔小題1若直線l1：mxy80與l2：4x(m5)y2m0垂直，則m_.解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.答案：(x2)2y293(2018鎮(zhèn)江期末)已知雙曲線y21的左焦點與拋物線y212x的焦點重合，則雙曲線的右準線方程為_解析：因為拋物線的焦點為(3,0)，即為雙曲線的左

17、焦點，所以a2918，所以雙曲線的右準線方程為x.答案：x4已知直線l過點P(1,2)且與圓C：x2y22相交于A，B兩點，ABC的面積為1，則直線l的方程為_解析：當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為yk(x1)2，即kxyk20.因為SABCCACBsinACB1，所以sinACB1，所以sinACB1，即ACB90，所以圓心C到直線AB的距離為1，所以1，解得k，所以直線方程為3x4y50；當直線斜率不存在時，直線方程為x1，經(jīng)檢驗符合題意綜上所述，直線l的方程為3x4y50或x1.答案：3x4y50或x15已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，

18、B兩點若AF1B的周長為4 ，則C的方程為_解析：因為AF1B的周長為4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因為橢圓的離心率e，所以c1，b2a2c2312，所以橢圓C的方程為1.答案：1 6(2018南京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，若圓(x2)2(y2)21上存在點M，使得點M關(guān)于x軸的對稱點N在直線kxy30上，則實數(shù)k的最小值為_解析：圓(x2)2(y2)21關(guān)于x軸的對稱圓的方程為(x2)2(y2)21，由題意得，圓心(2，2)到直線kxy30的距離d1，解得k0，所以實數(shù)k的最小值為.答案：7已知以橢圓的右焦點F2為圓心的圓恰好過橢

19、圓的中心，交橢圓于點M，N，橢圓的左焦點為F1，且直線MF1與此圓相切，則橢圓的離心率e_.解析：因為圓的半徑rc，在RtF1F2M中，|F1F2|2c，|F2M|c，|F1M|c，所以2a|F1M|F2M|(1)c，離心率e1.答案：18(2018南京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，若直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)216相交于A，B兩點，且ABC為直角三角形，則實數(shù)a的值是_解析：由題意知ABC為等腰直角三角形，且ACBC4，AB4，圓心C到直線axy20的距離d2，2，解得a1.答案：19(2018揚州期末)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1(a0，b0)的漸近線與圓

20、x2y26y50沒有交點，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：由圓x2y26y50，得圓的標準方程為x2(y3)24，所以圓心C(0,3)，半徑r2.因為雙曲線1(a0，b0)的漸近線bxay0與該圓沒有公共點，則圓心到直線的距離應(yīng)大于半徑，即2，即3a2c，即e1，故雙曲線離心率的取值范圍是.答案：10在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2(y3)22，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ長的取值范圍是_解析：設(shè)PCA，所以PQ2sin .又cos ，AC3，)，所以cos ，所以cos2，sin21cos2，所以sin ，所以PQ.答案：11(2018南京、

21、鹽城、連云港二模)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：x21(b0) 的兩條漸近線與圓O：x2y22的四個交點依次為A，B，C，D.若矩形ABCD的面積為b，則b的值為_解析：由題意知，雙曲線C的漸近線方程為ybx，如圖所示，兩條漸近線與圓O的四個交點為A，B，C，D.不妨設(shè)點B的坐標為(m，n)，則解得m2，而矩形ABCD的面積為2m2n4mn4bm2b，解得b. 答案：12(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知直線l：xy20與x軸交于點A，點P在直線l上圓C：(x2)2y22上有且僅有一個點B滿足ABBP，則點P的橫坐標的取值集合為_解析：法一：由ABBP，得點B在以AP為直徑的圓D上，所以圓

22、D與圓C相切由題意得A(2,0)，C(2,0)若圓D與圓C外切，則DCDA；若圓D與圓C內(nèi)切，則DADC.所以圓心D在以A，C為焦點的雙曲線1上，即14x22y27.又點D在直線l上，由得12x28x150，解得xD或xD.所以xP2xDxA2xD25或xP.法二：由題意可得A(2,0)，設(shè)P(a，a2)，則AP的中點M，AP，故以AP為直徑的圓M的方程為222.由題意得圓C與圓M相切(內(nèi)切和外切)，故 ，解得a或a5.故點P的橫坐標的取值集合為.答案：13已知橢圓1(ab0)的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于A，B兩點若FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積為ab，則橢圓的離心率為_解析：設(shè)直線x

23、m與x軸交于點H，橢圓的右焦點為F1，由橢圓的對稱性可知FAB的周長為2(FAAH)2(2aF1AAH)，因為F1AAH，故當F1AAH時，F(xiàn)AB的周長最大，此時直線AB經(jīng)過右焦點，從而點A，B坐標分別為，所以FAB的面積為2c，由條件得2cab，即b2c22bc，bc，從而橢圓的離心率為e.答案：14已知A，B是圓C1：x2y21上的動點，AB，P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動點，則|的取值范圍為_解析：因為A，B是圓C1：x2y21上的動點，AB，所以線段AB的中點H在圓O：x2y2上，且|2|.因為點P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動點，所以5|5，即|，所以72|13，從而|的取值范圍是7,13答案：7,13B組力爭難度小題1已知點P是圓C：x2y24x6y30上的一點，直線l：3x4y50.若點P到直線l的距離為2，則符合題意的點P有_個解析：由題意知圓C的標準方程為(x2)2(y3)216，所以圓心(2,3)到直線l的距離d(4,5)，故滿足題意的點P有2個答案：22(2017全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點若MAN60，則C的離心率為_解析：雙曲線的右頂點為A(a,0)，一條漸近線的方程為yx，即bxay0，則圓心A到此漸近線