高中數(shù)學(xué)論文：立足轉(zhuǎn)化以簡馭繁

1、高中數(shù)學(xué)論文立足轉(zhuǎn)化，以簡馭繁摘要 正方體是學(xué)生最早接觸和最熟悉的空間圖形, 它是立體幾何的精髓，也是立體幾何教學(xué)的一個關(guān)鍵突破口.充分挖掘它的教育功能，對提高學(xué)生創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力是非常有益的.本文利用正方體的特殊性質(zhì)，采取“回、補(bǔ)、割、構(gòu)、化”正方體來求解立體幾何題,可以使復(fù)雜問題簡單化.關(guān)鍵詞 立體幾何 正方體 立足轉(zhuǎn)化 以簡馭繁 經(jīng)常聽到這樣的抱怨聲：“立體幾何太難學(xué)了”，“很多問題實在是想不到啊”.對學(xué)生來說，立體幾何一向是難學(xué)的內(nèi)容.難學(xué)的原因主要有兩個：一是立體幾何涉及的關(guān)系比較多（表現(xiàn)為概念多、定理多）,這些關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化又很靈活，常常體現(xiàn)出較高的技巧性；二是立

2、體幾何的直觀圖形不像平面幾何圖形那樣給學(xué)生提供全真的視覺信息（如兩條看似相交成鈍角的直線可能是互相垂直的異面直線），這就需要學(xué)生充分發(fā)揮空間想象，克服視覺的直觀干擾.而突破上述兩大難點的關(guān)鍵之一是抓好正方體的研究.正方體中的問題和與正方體有關(guān)的問題，如果利用“回、補(bǔ)、割、構(gòu)、化”的方法求解，有時會比利用向量求解還要簡捷.一、回所謂“回”，即回歸到原來的地方.立體幾何圖形是由點、線、面構(gòu)成的,而點在線上，線在面內(nèi),這是一種回歸的體現(xiàn).在立體幾何教學(xué)中,僅憑直觀感知和空間想象,學(xué)生有時不易找到解決問題的規(guī)律和方法.回歸思想不僅能讓學(xué)生從整體的角度把握空間幾何體的性質(zhì),更能讓他們在這種思想的指導(dǎo)下,

3、有效地解決立體幾何問題,感受立體幾何的魅力.例1：已知a，b 為兩條不垂直的異面直線，是一個平面，則a，b 在平面上的射影有可能是: 兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點上面四個結(jié)論中，正確的結(jié)論的序號是_面對這個問題，有的同學(xué)手拿鋼筆和鉛筆在桌面上演示，也有同學(xué)利用教室空間指指點點，雖然給出了答案，但總覺得不夠放心.固然，借助學(xué)習(xí)用具，利用周圍環(huán)境，這些都是解立體幾何題的好方法，但是是否有更保險、更快捷的方法呢？答案是肯定的.我們可以把線，面回歸到正方體中 ，通過對圖1、圖2和圖3的觀察，我們可以直觀地發(fā)現(xiàn)選項都是正確的，而不正確.若a，b 在平面上的射影為同一條

4、直線，因為與平面相交且經(jīng)過這條直線的垂直平面有且只有一個，所以此時的a，b 為兩條共面線,與條件“異面直線”不符合.例2：已知a，b是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題中正確的是( )分析：把有關(guān)元素回歸到正方體中.如圖，對于A,設(shè)為平面ABCD,a為AB，b為A1Bl，則a，故A錯.對于B，設(shè)為平面ABCD,為平面ABB1A1,b為CD，則平面ABCD與平面ABB1A1 相交，故B錯.對于D，設(shè)為平面ABCD，a為AB，b為A1D1 ，此時a與b異面，故D錯.所以C正確.感悟：以上兩例是以空間點線面位置關(guān)系為考點,考查了空間想象能力、推理能力和探究能力.屬于“命題判斷”型試題,

5、此類題型分為單一判斷、多項判斷和構(gòu)造命題判斷,是各地模考和高考的命題熱點.解決策略：當(dāng)題目沒有給出具體的圖形,只是給出了相關(guān)點、線、面的關(guān)系(如平行、垂直等)，要判斷某些元素的位置關(guān)系時，通?？煽紤]回歸到正方體模型中.把這些線、面變成正方體中的線段或某一面，逐個判斷.這樣可以使問題更為直觀，更便于同學(xué)們判斷.在立體幾何中,回歸思想是處處可見的.如處理棱臺、圓臺問題時我們通常會回歸到棱錐和圓錐來解決；而遇到一些錐體時又會回歸到柱體.回歸思想也是一種追溯本源的思想,它能讓我們更清楚地看清事物的本質(zhì),以便指導(dǎo)我們更有效地解決問題.二、補(bǔ)所謂“補(bǔ)”，就是根據(jù)題目的需要，通過補(bǔ)形，將不是正方體的幾何體補(bǔ)

6、為正方體，聚零為整，居高臨下地處理問題.常見題型有把正四面體補(bǔ)成正方體，將三棱錐，四棱錐補(bǔ)成正方體，將三棱柱補(bǔ)成正方體.例3: 過正方形ABCD的頂點A作線段PA平面ABCD，若AB=PA，則平面PAB與平面CDP所成二面角的度數(shù)為（ ） A.90 B.60 C.45 D.30分析：求二面角的常規(guī)求法是先作出它的平面角，而本題中的二面角是一個“無棱二面角”，要作出它的平面角有一定的難度.巧思妙解：把原四棱錐補(bǔ)成正方體.如圖所示，連接CQ，則所求二面角轉(zhuǎn)化為平面CDPQ與平面BAPQ所成的二面角，而CQB是二面角的平面角，所以有CQB=45.故平面PAB與平面CDP所成二面角的度數(shù)為45.選C.

7、例4：如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD, AB/DC,ADDC, AB=AD=1，DC= SD = 2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC. (1)證明：SE=2EB; (II)求二面角A-DE-C的大小. 分析:(1)略.(2)思路1:作EH/AB交AS于點H，連DH，則平面EDC即為平面HECD，二面角A-DE- H與二面角A-DE-C互補(bǔ).作AMDH于M，則AM面HECD，作AFDE于F，連MF，由三垂線定理知，AFM為二面角的平面角.計算可得AFM= 60，二面角A-DE-C的大小為120.點評:如果要求的二面角是鈍二面角，轉(zhuǎn)化為它的補(bǔ)角來求.這是常用的方法，只是這需

8、要很好的立幾功底和較強(qiáng)的計算能力,一般同學(xué)很難解出.思路2:(體積轉(zhuǎn)化法)如圖由，求出點A到平面DEC的距離，再求點A到DE的距離 h=，設(shè)二面角A-DE-C的大小為，易知點評：思路2雖不必添加輔助線，但需建立在考生熟練掌握空間線面距離、角度、錐體的體積公式等相關(guān)知識基礎(chǔ)之上.同時由于體積轉(zhuǎn)化法在教材中的要求弱化了,很大一部分同學(xué)們可能想不到.所以要想準(zhǔn)確解出也決非易事.追問:是否還有更簡捷的方法呢?分析:本題的幾何體恰是正方體經(jīng)兩次截面而成，故可嘗試補(bǔ)形成正方體后再解答.巧思妙解:補(bǔ)形成棱長為2的正方體由DE平面SGC，得DEEC，DEEG；所以GEC即為二面角A-DE-C的平面角.在RtS

9、DB中,由DE2=SEEB,得DE=在GEC中，GE=CE=，由余弦定理,cosGEC=,即二面角A-DE-C為例5：（1）如圖對于任一給定的四面體A1A2A3A4，找出依次排列的四個相互平行的平面1，2，3，4，使得Aii（i=1，2，3，4），且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個相互平行的平面1，2，3，4，其中每相鄰兩個平面間的距離都為1，若一個正四面體A1A2A3A4的四個頂點滿足：Aii（i=1，2，3，4），求該正四面體A1A2A3A4的體積.分析:（1）略（2）將此正四面體A1A2A3A4補(bǔ)形成一個正方體ABCD-A1B1C1D1，E1、F1分別為A1B1

10、、C1D1的中點，平面EE1D1D和BB1F1F是兩個平行平面，若其距離為1，則四面體A1A2A3A4即為滿足條件的正四面體.上圖是正方體的上底面，利用平面幾何知識易計算得正方體的棱長為，所以正四面體的體積為.例6：正三棱錐OABC的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直且長度均為2E、F分別是AB、AC的中點，H是EF的中點，過EF的一個平面與側(cè)棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A1、B1、C1，已知OA1（1）證明：B1C1平面OAH；（2）求二面角OA1B1C1的正切值.分析：學(xué)生們都反映題目圖形復(fù)雜,不好做.也有很多學(xué)生認(rèn)為該題沒有辦法建立空間直角坐標(biāo)系, 從而放棄解題.這個題目從題面來

11、看是一個有關(guān)正三棱錐的問題, 從這一思路出發(fā), 第一問題就可以解決了.但是在解決第二個問題時, 麻煩就來了.該如何來找這個二面角呢?用空間向量法吧,又不知以哪一個頂點為原點建立空間直角坐標(biāo)系.這時,你如果有良好的運用正方體意識,就能夠發(fā)現(xiàn)這個正三棱錐可以看作以O(shè)為頂點的正方體的一個角, 將圖形作一變換, 補(bǔ)成一個正方體, 解題思路也就一目了然.如圖 （1）證明：由已知，EF為ABC的中位線，EFBC，則EF/平面OBC,又平面OBC平面=B1C1EFB1C1H為EF中點，AHEF,則AHB1C1OAOB, OAOCOA平面OBC 則OAB1C1又AHOA=A B1C1平面OAH（2）作ONA1

12、B1于N,連C1 N .OC1面OA1B1，根據(jù)三垂線定理知，C1 NA1B1 .則ONC1就是二面角OC1的平面角. 在OA1B1中， 則 故二面角O C1的平面角的正切值為.感悟：立體幾何題常以簡單幾何體為依托，討論其中線和面的相對位置及空間角的計算.其中不少題不是呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的幾何體，而是經(jīng)過截、切的多面體，從而增加了識圖的難度.如果能夠通過補(bǔ)形，變形成簡單熟悉的模型正方體,變局部為整體,化不規(guī)則為規(guī)則,就可以使問題得到簡化，從而縮短解題的長度.補(bǔ)形法也是處理空間圖形慣用的方法.當(dāng)你解一道不夠規(guī)則的幾何題,各種方法都不能湊效時,而這個問題與我們熟悉的圖形有關(guān)聯(lián),或它就是熟悉的圖形的一部分時,

13、你可以嘗試補(bǔ)形法,也許這樣做能使你豁然開朗.三、割 所謂“割”，就是將幾何體分割為正方體或正方體中的棱柱，棱錐.首先局部考慮問題，然后以點帶面，解決整個問題.例7：如圖所示，在長方體ABCD一A1B1C,D1中，AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點(1)求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值;(2)證明:平面ABM平面A1B1M分析：如圖，過點M作平行于底面的平面，分別交A1A,B1B,D1D于點P,Q,N，于是，把長方體分割為兩個正方體.對于(1)，異面直線A1M和C1D1所成的角即等于A1MN.在RtA1MN中，容易求出tanA1MN=.對于(2)，由BMA1B1 ,BMB1

14、M,有BM平面A1B1M.又BM平面ABM，故平面ABM平面A1B1M例8：如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，AD/BC/FE,ABCD, M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD(1)求異面直線BF與DE所成的角的大小(2)證明：平面AMD上平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值.分析:將四面體切割成正方體中的三棱柱ABFPCE和三棱錐E一CDP，由正方體的性質(zhì)知(1)FB/EC，故CED為所求的角.又由正方體性質(zhì)知EC=CD=DE，所以(2)由正方體性質(zhì)知ADEC，而ECPM，所以EC平面AMD，所以平面CDE平面AMD(3)設(shè)Q為CD的中點，由正方體性質(zhì)知PQCD，

15、EQCD，所以EQP為所求二面角的平面角；在RtEQP中，tanEQP=感悟：如能將復(fù)雜的幾何體拆分成正方體或正方體中的棱柱、棱錐，再注意到相應(yīng)的點、線、面的位置關(guān)系和度量關(guān)系以及正方體具有的性質(zhì)，就能把未知的轉(zhuǎn)化為已知的、把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的、把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的、把不夠直觀的轉(zhuǎn)化為直觀易懂的.在學(xué)習(xí)中,我們要注意巧用此法,使問題變得簡單易求.四、構(gòu)所謂“構(gòu)”，就是構(gòu)造正方體，把不是正方體的問題放到正方體之中，再利用正方體的性質(zhì)解決問題.例9：已知直二面角-EF-, A EF,AB, AC, FAB=，F(xiàn)AC=，求BAC 的大小. 分析: 如圖, 構(gòu)造正方體ADBP-QMNC 使AC為正方形

16、APCQ的對角線, AB為正方形ADBP的對角線.連結(jié)BC, 易知AB=AC=BCBAC =例10：在三棱錐A-PMN中，APAM，AMAN, ANAP，C1是底面PMN內(nèi)一點，且C1到側(cè)面AMN、側(cè)面AMP、側(cè)面ANP的距離都是1, 求AC1的長.分析：如圖, 設(shè)CC1面AMP, 垂足為C，C1B1面ANP, 垂足為B1，C1D1面AMN, 垂足為D1, 則CC1=C1B =C1D1=1.以CC1、C1B1、C1D1為從C1出發(fā)的三條棱, 以A C1為對角線構(gòu)造正方體ABCD- A1B1C1D1，則易知AC1=.感悟：根據(jù)一類題目的特征, 巧妙地構(gòu)造正方體,可以使一些立體幾何問題別開生面地得

17、以解決.并使人有寓娛樂于解題之中的美感.常見題型有：由共點且兩兩互相垂直的三條相等線段構(gòu)造正方體；由共邊且互相垂直的兩個正方形面構(gòu)造正方體。巧妙地構(gòu)造正方體，可以達(dá)到化難為易、事半功倍的效果.五、化所謂“化”，即特殊化，將四棱柱,長方體等幾何體特殊化為正方體解題.例11：若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為a，則COSa=_分析:由于本題是填空題，聯(lián)想到正方體，它的體對角線A1C與各個面所成角都相等，故不妨構(gòu)造一個正方體，如圖由正方體的性質(zhì)知CA1D為所求的角，若設(shè)正方體棱長為1，則易得A1D=，A1C=，感悟: 對于是一些正方體能滿足題設(shè)條件的選擇題或填空題，可用特殊化思想求解.“特殊化”是一種重要的思想方法, 將一般問題特殊化,可以化抽象為具體,化高維為低維, 化整體為部分,化復(fù)雜為簡單.我們在解決數(shù)學(xué)問題時, 經(jīng)常以特殊問題為起點, 逐步分析、比較、討論, 層層深入, 從解決特殊問題的規(guī)律中, 尋求解決一般問題的方法和規(guī)律, 并由此推廣到一般.生活中正方體模型是隨處可見，無處不在的.它是最簡單、最特殊的幾何模型, 它蘊(yùn)涵了大量空間線面位置關(guān)系、各種角度和距離, 還與其他幾何體有密切聯(lián)系, 是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力、轉(zhuǎn)換能力、探究能力的重要載體, 一直是各類模擬考試和高考命題的熱點.在立體幾何學(xué)習(xí)中,若能養(yǎng)