非線性理論第二章.ppt

1、非線性科學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用第二講 趙小梅8613室,第二章 分形理論基礎(chǔ),本章主要內(nèi)容,分形的起源 分形的定義 維數(shù)與規(guī)則分形 容量維數(shù)與信息維數(shù) 自然界的分形與計(jì)算機(jī)產(chǎn)生分形的方法 產(chǎn)生分形的物理模型,整數(shù)維（拓?fù)渚S或傳統(tǒng)的維數(shù) ） 點(diǎn) 零維 線 一維 面 二維 體 三維,整數(shù)維,規(guī)則分形,許多數(shù)學(xué)家從純數(shù)學(xué)興趣出發(fā)，構(gòu)造出一批自相似的幾何圖形： 科赫曲線 采用分形理論分析，看出這些圖形與正規(guī)幾何圖形之間存在直接聯(lián)系。,柯赫曲線（1）,科赫曲線 科赫曲線是具有相似結(jié)構(gòu)的彎曲線段。將長(zhǎng)度為 1 的直線段三等分，保留兩側(cè)，將中間一段改成夾角60度的兩個(gè)等長(zhǎng)直線。再將上次操作的四段邊長(zhǎng) 1/3 的線段三

2、等分，每段長(zhǎng)度為 1/9，也將中間一段改成夾角60度的兩直線。操作進(jìn)行下去，得一條有自相似結(jié)構(gòu)的曲線，稱為三次科赫曲線。,長(zhǎng)度的測(cè)量 Length(n=0)=1 Length(n=1)=4/3 Length(n=2)=16/9 Length=lim(Length(n) =lim(4/3)n = ,面積的測(cè)量 Area(n1)=(13/6)/2= 3/12 Area(n2)=3/12 (4/9) Area(n3)=3/12 (4/9)2 Area(n)=lim(3/12 (4/9)n)=0,Koch曲線在一維歐氏空間中的度量為 Koch曲線在二維歐氏空間中的面積為0 Koch曲線在傳統(tǒng)歐氏空間中

3、不可度量,人類生活的世界是一個(gè)極其復(fù)雜的世界:例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測(cè)的股市變化、蜿蜒曲折的海岸線等等，都表現(xiàn)了客觀世界豐富的現(xiàn)象。 基于傳統(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)的各門(mén)自然科學(xué)總是把研究對(duì)象想象成一個(gè)個(gè)規(guī)則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復(fù)雜性。 分形幾何則提供了一種描述這種不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)的新方法,分形的起源,“分形”是由美國(guó)曼德勃 羅特（Mandelbrot)在1975年首次提出，其原義是“不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的、支離 破碎的”物體。曼德勃羅是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無(wú)規(guī)的幾何對(duì)象。 “分

4、形理論”初步形成的標(biāo)志是由Mandelbrot分別在1977年著“分形：形態(tài)、偶然性和維”及1982年著“自然界的分形幾何學(xué)”。,分形理論的創(chuàng)始人曼德布羅特(Mandelprot)曾說(shuō)過(guò)：“浮云不呈球形，山峰不呈錐體，海岸線不是圓圈，樹(shù)干不是光溜溜的，閃電永不會(huì)沿直線行進(jìn)”，說(shuō)的就是人們一般不應(yīng)以簡(jiǎn)單的、理想的體系去對(duì)待實(shí)際體系。,自相似性,大自然中存在的不規(guī)則的物體，可能存在不同尺度上的相似性，稱為自相似性,即 - 某種結(jié)構(gòu)或過(guò)程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度看都是相似的 - 指某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。,自相似（1）,布朗微粒軌跡 皮蘭（Perrin）于1908年用顯微

5、鏡測(cè)量了布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡，他每隔30秒記錄一次某個(gè)微粒的位置，再將相繼得到的兩點(diǎn)位置連成直線，得到一幅由長(zhǎng)短不等的直線段連接成的軌跡圖。他又將測(cè)量時(shí)間間隔縮短為每隔3秒，畫(huà)出的另外一幅微粒的軌跡圖。將兩圖進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，兩幅圖雖不盡相同，它們具有同等的復(fù)雜程度。,以不同尺度去測(cè)量都有相似結(jié)果說(shuō)明，測(cè)量對(duì)象沒(méi)有特征尺寸，它們具有尺度（標(biāo)度）不變性。,自相似（2）,大自然中的自相似體 不管漫步在海岸邊以厘米量級(jí)觀察 ，還是從人造衛(wèi)星上以數(shù)千米跨度觀 察，海岸線的彎曲的復(fù)雜程度也可能 是相同的。 大自然中的許多不規(guī)則物體，可能 存在不同尺度上的相似性，稱為自相 似性。,分形的定義,Mandelbor

6、t 1982 - A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceed the topological dimension. Mandelbort 1986 - A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way - 分形是其組成部分以某種方式與整體相似的圖形，或者說(shuō)：分形是指一類體形復(fù)雜的體系，其局部與整體具有相似性。,分形的研究領(lǐng)域,分形的研究現(xiàn)已大大地超出了數(shù)學(xué)、物理學(xué)的

7、范疇，它不僅廣泛用于處理自然科學(xué)中相關(guān)問(wèn)題，而且在擴(kuò)展到生態(tài)、生命、經(jīng)濟(jì)、人文的許多領(lǐng)域。分形與系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)是密切相關(guān)的，是非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支。 數(shù)學(xué)，這是分形的基礎(chǔ)領(lǐng)域； 物理學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)， 如雷電、相變、聚合物生長(zhǎng)、天文、地理地質(zhì)、生態(tài)、生命等自然現(xiàn)象； 非線性動(dòng)力系統(tǒng)中的分形研究； 人文、經(jīng)濟(jì) 如股票漲落分析等； 國(guó)民經(jīng)濟(jì)：如地震、氣象的預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)、石油的多次開(kāi)采等領(lǐng)域。,維數(shù),與人們熟悉的規(guī)整形體的整數(shù)維不同，分形體的維數(shù)不一定是整數(shù)，它可取連續(xù)變化的各種數(shù)值，稱為分形維數(shù)（簡(jiǎn)稱分維）。 根據(jù)分形體不同特征，分形維數(shù)的定義有多種，而且不同維數(shù)定義計(jì)算出的維數(shù)也有一些差別。,

8、維數(shù)與規(guī)則分形,維數(shù) 規(guī)則分形 - 康托爾點(diǎn)集 - 科赫曲線 - 謝爾賓斯基圖形 - 模擬分形物質(zhì),豪斯道夫維數(shù)（1）,例. 取長(zhǎng)度為 l 的線段，放大 2 倍后的長(zhǎng)度 2 l。邊長(zhǎng)為 l 的正方形，每邊長(zhǎng)放大 2 倍的面積為 4 l2。邊長(zhǎng)為 l 的立方體，每邊長(zhǎng)放大2倍的體積為 8 l3。 結(jié)果整理如下： 一維圖形（線段） 21= 2 二維圖形（正方體） 22= 4 三維圖形（立方體） 23 = 8 歸結(jié)： 取對(duì)數(shù),豪斯道夫維數(shù),豪斯道夫維數(shù)（2）,推論： 對(duì)于正規(guī)幾何圖形，分子為分母整除，Df 為整數(shù)，是歐幾里德維數(shù)。對(duì)非規(guī)則圖形，分子與分母不總可整除， Df 一般是分?jǐn)?shù)，稱為分維。,自

9、相似維數(shù)（1）,換一個(gè)視角： 把單位面積的正方形等分成九個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)縮短為原來(lái)長(zhǎng)度的1/3，即有： 9(1/3)21 指數(shù) 2 顯然為正方形維數(shù)。該式表示局部與整體有相似關(guān)系。 定義：假定某個(gè)幾何體由N個(gè)局部組成，每個(gè)局部以相似比 beta 與整體相似，則客體的相似維數(shù)為：,自相似維數(shù)（2）,例：邊長(zhǎng)為 2l 的正方體，四等分得邊長(zhǎng) l 的四個(gè)小正方形。小正方形邊長(zhǎng)與原正方形邊長(zhǎng)之比為1/2，局部與整體的相似比為： beta= l/2l =1/2 ，Ds 為:,規(guī)則分形,許多數(shù)學(xué)家從純數(shù)學(xué)興趣出發(fā)，構(gòu)造出一批自相似的幾何圖形： 康托爾點(diǎn)集 科赫曲線 謝爾賓斯基地毯等 采用分形理

10、論分析，看出這些圖形與正規(guī)幾何圖形之間存在直接聯(lián)系。,康托集（1）,康托點(diǎn)集 取一線段 0,1 將其三等分，各段長(zhǎng)度為原線段的 1/3。取走中間一段，保留兩側(cè)。將留下的兩段再三等分并再取走中間一段，保留兩側(cè)其余兩段。繼續(xù)分割、取走，留下線段愈多則長(zhǎng)度愈短。隨著線段分為無(wú)窮多段，每段長(zhǎng)度為零，總長(zhǎng)度也為零，構(gòu)成了由無(wú)窮個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集。,康托集（2）,康托點(diǎn)集分維 豪斯道夫維數(shù) 每次三等分后的一小段，將此放大三倍，把中間的 1/3 段舍去得到兩個(gè)1/3 段，在豪斯道夫維數(shù)公式中，L3，K2，因此有： 相似維數(shù) 初始元線段長(zhǎng)度為1，生成元為兩個(gè)1/3，得局部與整體的相似比1/3，N2：,康托集（3）

11、,康托點(diǎn)的長(zhǎng)度 生成元 En 由長(zhǎng)度為(1/3)n 共有 2n 區(qū)段，當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，因此各點(diǎn)總長(zhǎng)度 多分集 上面的組成中每次將線段一分為三，故稱康托爾三分集。依此法則，可以生成四分、五分等多種康托爾點(diǎn)集。如四分康托爾點(diǎn)集，將一線段四等分，舍去中間兩段，保留兩側(cè)的兩段，如此進(jìn)行同樣操作下去。,康托集（4）,多分集維數(shù) 康托爾四分點(diǎn)集的維數(shù) 康托爾n分點(diǎn)集的維數(shù) （把一線段進(jìn)行 n 等分，舍去中間的 n2 段，保留兩側(cè)兩段） 結(jié)論： 當(dāng) n時(shí)，Df 0 各次多分集的 Df 維數(shù),柯赫曲線（1）,科赫曲線 科赫曲線是具有相似結(jié)構(gòu)的彎曲線段。將長(zhǎng)度為 1 的直線段三等分，保留兩側(cè)，將中間一段改成夾角

12、60度的兩個(gè)等長(zhǎng)直線。再將上次操作的四段邊長(zhǎng) 1/3 的線段三等分，每段長(zhǎng)度為1/9，也將中間一段改成夾角60度的兩直線。操作進(jìn)行下去，得一條有自相似結(jié)構(gòu)的曲線，稱為三次科赫曲線。 維數(shù) 三次科赫曲線由四個(gè)與整體相似的局部 組成，相似比 beta = 1/3 ，因此相似維數(shù),柯赫曲線（2）,科赫雪花 以三角形為源多邊形，每一邊作三等分并舍去中間 1/3。類似科赫曲線生成規(guī)則。第一步形成一個(gè)六角星形，第二步將六角星形的12條邊按科赫曲線規(guī)則，得 48 條邊圖形，以后依此進(jìn)行同樣得操作，直至無(wú)窮，稱為科赫雪花。極限情況下，科赫雪花上的折線演變成為曲線。 科赫雪花周長(zhǎng) 科赫雪花面積,維數(shù) 與科赫曲線

13、維數(shù)相等,謝爾賓斯基圖形（1）,墊片 取一個(gè)等邊三角形，四等分得四個(gè)較小三角形。舍去中間小三角形，保留周圍的三個(gè)。此后將這三個(gè)較小三角形按上述分割與舍去法則操作下去，得到一種介于線段與面之間的幾何圖形。 維數(shù) 設(shè)想從一個(gè)小三角形開(kāi)始，將每邊擴(kuò)大 2 倍，得與之相似的大三角形，面積為小三角形4倍。將中間一個(gè)小三角形舍去， 實(shí)際面積為小三角形 3 倍。 維數(shù)計(jì)算 Df ，由 L2，K3,謝爾賓斯基圖形（2）,地毯(1) 取正方形將其 9 等分，得 9 個(gè)小正方形，舍去中央的小正方形，保留周圍 8 個(gè)小正方形。然后對(duì)每個(gè)小正方形再 9 等分，并同樣舍去中央正方形。按此規(guī)則不斷細(xì)分與舍去，直至無(wú)窮。謝

14、爾賓斯基地毯的極限圖形面積趨于零，小正方形個(gè)數(shù)與其邊的線段數(shù)目趨于無(wú)窮多，它是一個(gè)線集，圖形具有嚴(yán)格的自相似性。,維數(shù) 從一個(gè)小正方形出發(fā)，將每邊擴(kuò)大三倍，由于舍去中間的正方形，在 計(jì)算中，L3，K8，,謝爾賓斯基圖形（3）,地毯(2) 地毯 2 的構(gòu)成方法是取邊長(zhǎng)為 1 的正方形按 p : q : p 的方法劃分每邊，并去掉中間 q 部分，留下四角。然后對(duì)四角小正方形進(jìn)形類似的操作以至無(wú)限。它具有自相似性。,維數(shù) 右圖是 p =0.45, q =0.1 的地毯圖。 按 Ds 維數(shù)計(jì)算公式，局部與整體相 似比2/9，N4，得：,謝爾賓斯基圖形（4）,海綿 一個(gè)立方體的每邊三等分，得27個(gè)小立方

15、體。將體心和面心上七個(gè)小立方體舍去保留其余 20 個(gè)小立方體。再對(duì)每個(gè)小立方體進(jìn)行同樣操作，得到更小的 2020400個(gè)立方體，如此操作進(jìn)行下去直至無(wú)窮。其局部與其整體具有嚴(yán)格自相似性，極限情況下它的體積趨于零，而表面積趨于無(wú)窮大。,維數(shù) 用 3 維尺度測(cè)量時(shí)體積為零，用 2 維尺度測(cè)量時(shí)面積為無(wú)窮大，分維值介于 2 、 3 之間。從一個(gè)小立方出發(fā)，每邊擴(kuò)大 3 倍體積放大27倍，但舍去了7個(gè)體心和面心立方體。,模擬分形物質(zhì),模擬分形物質(zhì) 這是由物理或化學(xué)家們構(gòu)造出來(lái)的。構(gòu)成方法：將一個(gè)半徑為 1 的原子放在原點(diǎn)作為種子，在球的四個(gè)方向上結(jié)合四個(gè)原子，五個(gè)原子組成一個(gè)晶胞。再以這個(gè)晶胞為中心，

16、在其四個(gè)原子的方向上結(jié)合四個(gè)晶胞，再在四個(gè)晶胞的方向上結(jié)合上由五個(gè)晶胞結(jié)合成的集團(tuán)。這種模擬物質(zhì)具有自相似性。,維數(shù) 由圖可見(jiàn)當(dāng)線徑放大 L=3 倍數(shù)時(shí)，其面積放大 K=5 倍數(shù)。,分形的幾何特征,自相似性 便是局部與整體的相似。 自仿射性 自仿射性是自相似性的一種拓展。如果，將自相似性看成是局部到整體在各個(gè)方向上的等比例變換的結(jié)果的話，那么，自仿射性就是局部到整體在不同方向上的不等比例變換的結(jié)果。前者稱為自相似變換，后者稱為自仿射變換。 精細(xì)結(jié)構(gòu) 任意小局部總是包含細(xì)致的結(jié)構(gòu)。,容量維數(shù)與信息維數(shù),容量維數(shù) 信息維數(shù),盒子計(jì)數(shù)法(box counting) 計(jì)算相似比復(fù)雜圖形時(shí)，采用小方塊(

17、或圓片)去覆蓋(或填充)被測(cè)對(duì)象，統(tǒng)計(jì)覆蓋所需的方塊數(shù)來(lái)計(jì)算其維數(shù)。如此方法計(jì)算的維數(shù)稱為容量維數(shù)。 現(xiàn)用長(zhǎng)度為 r 尺子去測(cè)長(zhǎng)度為 L 的線段， L 與 r 之比為N。 N 值的大小與 r 長(zhǎng)短有關(guān)， r 越小N 越大： 對(duì)于平面： 對(duì)于立方體： 對(duì)于 Dc 維物體： 取對(duì)數(shù)得容量維數(shù),容量維數(shù),大自然中存在大量的在統(tǒng)計(jì)意義下的自相似體，一般并不知道自相似比。為了解決這類物體的分維計(jì)算，發(fā)展了計(jì)算容量維數(shù)方法。,例子 應(yīng)用于物質(zhì)模型。 設(shè)晶胞重復(fù)結(jié)合了P 次，物質(zhì)的線徑為 L = 3p ，包含原子數(shù)有: N = 5p 個(gè) 用線徑為 r =1/ 3p-s 的小球覆蓋：,埃儂吸引子 用邊長(zhǎng) 1:

18、1/2:1/4 三種方塊覆蓋。 邊長(zhǎng) 1 方塊覆蓋 35 塊，邊長(zhǎng) 1/2 方塊覆蓋 95 塊， 邊長(zhǎng) 1/4 方塊覆蓋 220 塊, 可以用更短邊長(zhǎng)覆蓋。 實(shí)際計(jì)算得：,信息維數(shù),通常，測(cè)量對(duì)象具有不均勻性，導(dǎo)致不同計(jì)數(shù)盒子有不同填充程度，但盒子計(jì)數(shù)法不能反映客體的不均勻分布。改進(jìn)方法： (1) 對(duì)每個(gè)覆蓋盒子按填充程度（所含點(diǎn)多少）進(jìn)行編號(hào); (2) 統(tǒng)計(jì)出分形結(jié)構(gòu)落入第 i 只盒子的幾率Pi(r)： 得信息維數(shù) 當(dāng)各個(gè)盒子有同樣填充程度：Pi(r) = 1/N(r) 信息維數(shù)等于容量維數(shù)： Di = Dc ， 一般情況下:,自然界分形,大自然中普遍存在著分形體。山脈，樹(shù)林，閃電，海岸線

19、，都會(huì)包含各種形式自相似體。 海岸線 為什么是分形體？首先具有自相似性。如果以不同比例尺去測(cè)量，所得到的長(zhǎng)度是不同的。我國(guó)海岸線全長(zhǎng)一萬(wàn)八千余公里，是以1公里標(biāo)尺測(cè)量的。 1公里為單位：N=1.763x104 段， 1厘米為單位： N=3.812x104 段， 長(zhǎng)度為381.2萬(wàn)公里，是地理書(shū)212倍。,自然界的分形,海岸線維數(shù) 用不同 r 方格去覆蓋，統(tǒng)計(jì)出覆蓋海岸線的格子數(shù)； 在地圖上以不同 r 的標(biāo)尺去測(cè)量海岸線，得一組與標(biāo)尺對(duì)應(yīng)的段數(shù)。 兩種方法都用容量維數(shù)將測(cè)量結(jié)果作 logNlogr 雙對(duì)數(shù)圖，如得負(fù)斜率直線，其絕對(duì)值就是維數(shù)。,我國(guó)海岸線維數(shù) 用不同尺寸 r 測(cè)量，得不同的段數(shù)

20、N ，作 logNlogr 斜線。得斜線其方程為： 系數(shù)1.267 直線斜率，即海岸線分維值為,計(jì)算機(jī)產(chǎn)生分形,分形樹(shù) Julia集合 Mandebrot集合,樹(shù),設(shè)圖形T0為一條單位長(zhǎng)直線段， 在T0第一個(gè)三等分點(diǎn)上各向兩邊450角的方向延伸出兩條長(zhǎng)1/2L0的線段， 在中點(diǎn)處向左300以1/3L0延伸出長(zhǎng)的線段， 再在第二個(gè)三等分點(diǎn)處向右300方以1/3L0延伸出的線段。得到圖形T1, 將Tn的每5個(gè)分支做同樣的變換，得到Tn+1。,Julia集,在復(fù)平面上任意取一個(gè)點(diǎn)，其值是復(fù)數(shù)Z。將其代入下面方程中進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算：Zn+1=Zn2+C。就是說(shuō)，用舊的Z自乘再加上C后的結(jié)果作為新的Z。

21、再把新的Z作為舊的Z，重復(fù)運(yùn)算。 不停地做，最后得到的Z值有3種可能性： 1、Z值沒(méi)有界限增加（趨向無(wú)窮） 2、Z值衰減（趨向于零） 3、Z值是變化的，即非1或非2,趨向無(wú)窮和趨向于零的點(diǎn)叫定常吸引子，很多點(diǎn)在定常吸引子處結(jié)束，被定常吸引子所吸引。 非趨向無(wú)窮和趨向于零的點(diǎn)是“Julia集合”部分，也叫混沌吸引子。,Julia集,迭代公式 中，給定復(fù)數(shù)C，如果n趨向于無(wú)窮時(shí)Zn有界，則Z0屬于Julia集。,Mandelbrot集,Julia集和Mandelbrot集可以說(shuō)是一對(duì)孿生兄弟。 給定Z0為一個(gè)初始的復(fù)數(shù)，C為一個(gè)復(fù)常數(shù)。對(duì)Z進(jìn)行這樣的迭代： 如果n趨向于無(wú)窮時(shí)Zn有界，則C屬于Ma

22、ndelbrot集,產(chǎn)生分形的物理模型,擴(kuò)散置限聚集 (diffusion-limited aggregation-DLA)模型 元胞自動(dòng)機(jī),(1)擴(kuò)散置限聚集模型,DLA是針對(duì)生長(zhǎng)過(guò)程出現(xiàn)無(wú)規(guī)分形提出的。該模型在計(jì)算機(jī)上模擬完成。 生成過(guò)程這樣： 在一個(gè)二維點(diǎn)陣中心放上一棵種子，在點(diǎn)陣邊緣引進(jìn)一棵粒子讓它在點(diǎn)陣上隨機(jī)游蕩。當(dāng)粒子游動(dòng)到點(diǎn)陣中心附近時(shí)，與位于中心點(diǎn)種子相結(jié)合(A粒子)后附著不動(dòng)；當(dāng)游動(dòng)到點(diǎn)陣邊緣就會(huì)消失(B粒子)。點(diǎn)陣上一旦失去游動(dòng)粒 子，從點(diǎn)陣邊緣引進(jìn)新的游動(dòng)粒子。,1981年，Witten 和 Sander 提出擴(kuò)散置限聚集 (diffusion-limited aggregation-DLA)模型，1983年研究了模型與擴(kuò)散方程關(guān)系，完善了這個(gè)模型。,DLA模型可以說(shuō)明許多物質(zhì)生長(zhǎng)現(xiàn)象。例如：鐵絲表面鍍鋅，絕緣氣體 (SF6)中在玻璃板面上放電圖象等。,鐵絲表面鍍鋅,SF6氣體中玻璃 板上放電,中心種子生長(zhǎng) 的細(xì)菌群落,用DLA模型模擬植物的生長(zhǎng),如果初始不是一