控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、MATLAB與控制系統(tǒng)仿真實(shí)踐,第2章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,本章主要內(nèi)容,原理要點(diǎn) 2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的MATLAB直接判定 2.1.1 MATLAB直接判定的相關(guān)函數(shù) 2.1.2 MATLAB直接判定實(shí)例 2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性的MATLAB圖解判定 2.2.1 MATLAB圖解判定的相關(guān)函數(shù) 2.2.2 MATLAB圖解判定實(shí)例 2.3 MATLAB LTI Viewer穩(wěn)定性判定實(shí)例,原理要點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定的概念,經(jīng)典控制分析中，關(guān)于線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念是：若控制系統(tǒng)在初始條件和擾動(dòng)作用下，其瞬態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間的推移而逐漸衰減并趨于原點(diǎn)(原平衡工作點(diǎn))，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果控制系統(tǒng)受到

2、擾動(dòng)作用后，其瞬態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間的推移而發(fā)散，輸出呈持續(xù)振蕩過(guò)程，或者輸出無(wú)限制地偏離平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,原理要點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定的意義,系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)設(shè)計(jì)與運(yùn)行的首要條件。只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才有價(jià)值分析與研究系統(tǒng)自動(dòng)控制的其它問(wèn)題，例如只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才會(huì)進(jìn)一步計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。所以控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是系統(tǒng)時(shí)域分析、穩(wěn)態(tài)誤差分析、根軌跡分析與頻率分析的前提。 對(duì)一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，還可以用相對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)一步衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。,系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越低，系統(tǒng)的靈敏性和快速性越強(qiáng)，系統(tǒng)的振蕩也越激烈。,原理要點(diǎn)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式,設(shè)線性定常系統(tǒng)閉環(huán)傳遞為： 式中， 稱為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式。,為系統(tǒng)特征方程。,原

3、理要點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定的判定,對(duì)于線性連續(xù)系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的所有特征根(極點(diǎn))的實(shí)部為負(fù)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果有實(shí)部為零的根，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（在實(shí)際工程中視臨界穩(wěn)定系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)）；反之，如有正實(shí)部的根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：描述該系統(tǒng)的微分方程的特征方程的根全具有負(fù)實(shí)部，即,全部根在左半復(fù)平面內(nèi)?；蛘哒f(shuō)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于左半s平面內(nèi)。 線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：如果閉環(huán)線性離散系統(tǒng)的特征方程根或者閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為則當(dāng)所有特征根的模都小于1時(shí)，即 該線性離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的：如果模的值大于1時(shí)，則該線性離散系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,原理要點(diǎn)其它穩(wěn)定性判據(jù)

4、,除上述判據(jù)之外，還有很多其它判據(jù)（其它分析方法中，后面各章將闡述）從各個(gè)不同的角度對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性加以判別，說(shuō)明系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)能夠成立與運(yùn)行的首要條件。,2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的 MATLAB直接判定,本節(jié)主要內(nèi)容,2.1.1 MATLAB直接判定的相關(guān)函數(shù) 2.1.2 MATLAB直接判定實(shí)例,由系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)可知，實(shí)際上是判定系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根的位置。其前提需要求出特征方程的根。MATLAB提供了與之相關(guān)的函數(shù)，見(jiàn)表2.1：,表2.1 判定系統(tǒng)穩(wěn)定的MATLAB函數(shù),2.1.2MATLAB直接判定實(shí)例,例1：已知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 用MATLAB判定 穩(wěn)定性。 num=1 0 2 1; d

5、en=1 2 8 12 20 16 16; G=tf(num,den) %得到系統(tǒng)模型,Transfer function: s3 + 2 s + 1 - s6 + 2 s5 + 8 s4 + 12 s3 + 20 s2 + 16 s + 16 p=eig(G) %求系統(tǒng)的特征根 p = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i p1=pole(G) %求系統(tǒng)的極點(diǎn),p1 = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2

6、.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i r=roots(den) %求系統(tǒng)特征方程的根 r = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i,系統(tǒng)特征根有2個(gè)是位于s左半平面的，而4個(gè)位于虛軸上。由于有位于虛軸的根，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。在實(shí)際工程應(yīng)用上看，系統(tǒng)可認(rèn)為是不穩(wěn)定的。 分析： 由不同MATLAB函數(shù)求得的系統(tǒng)特征方

7、程根是一致的。在需要時(shí)根據(jù)情況選擇使用。,例2：給定系統(tǒng)如圖2.1，給出MATLAB程序判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，要求程序給出適當(dāng)提 示。,num=1 3; den=2 4 5 8 10; G=tf(num,den); Gc=feedback(G,1); num,den=tfdata(Gc,v); r=roots(den); disp(系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)：); disp(r) a=find(real(r)0); b=length(a); if b0 disp(系統(tǒng)不穩(wěn)定.); else disp(系統(tǒng)穩(wěn)定.); end,程序運(yùn)行結(jié)果： 系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)： 0.0682 + 2.1811i 0.0682 - 2.

8、1811i -1.1469 + 0.7535i -1.1469 - 0.7535i 0.0786 + 1.4147i 0.0786 - 1.4147i 系統(tǒng)不穩(wěn)定. 例3：某控制系統(tǒng)的方框圖如圖2.2所示。試用MATLAB確定當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)K的取值范圍（假設(shè) ）。,圖2.2 例3系統(tǒng)框圖,由題，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：,整理得：,當(dāng)特征方程的根均為負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)的共軛復(fù)根時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。先假設(shè)K的大致范圍，利用roots()函數(shù)計(jì)算這些K值下特征方程的根，然后判斷根的位置以確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。 程序如下： k=0:0.01:100; for index=1:10000, p=2 15

9、 27 k(index)+12 k(index)+1; r=roots(p); if max(real(r)0,break; end end sprintf(系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)K值為:K=%7.4fn,k(index) 程序運(yùn)行結(jié)果為： ans = 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)K值為:K= 90.1200,2.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的 MATLAB圖解判定,本節(jié)主要內(nèi)容,2.2.1MATLAB圖解判定的相關(guān)函數(shù) 2.2.2MATLAB圖解判定實(shí)例,2.2.1MATLAB圖解判定的相關(guān)函數(shù),對(duì)于給定系統(tǒng)G，pzmap(G)函數(shù)在無(wú)返回參數(shù)列表使用時(shí)，直接以圖形化的方式繪制出系統(tǒng)所有特征根在S復(fù)平面上的位置，所以判定系統(tǒng)是否

10、穩(wěn)定只需看一下系統(tǒng)所有極點(diǎn)在S復(fù)平面上是否均位于虛軸左側(cè)即可。這種圖形化的方式更直觀。,2.2.2MATLAB圖解判定實(shí)例,例4：已知一控制系統(tǒng)框圖，如圖2.3所示，試 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。, G1=tf(1 1,2 1); G2=tf(5,2 3 1); H1=tf(1,2 1); Gc=feedback(G2*G1,H1) %得到閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) Transfer function: 10 s2 + 15 s + 5 - 8 s4 + 20 s3 + 18 s2 + 12 s + 6 pzmap(Gc),分析：由于特征根全部在S-平面的左半平面， 所以此負(fù)反饋系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,例5：給定離散系

11、統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為： 和 采樣周期均為0.1秒。分別繪制系統(tǒng)零極點(diǎn)分 布圖，并判定各系統(tǒng)穩(wěn)定性。, num=1 4.2 5.43; den=1 -2.7 2.5 2.43 -0.56; Gc=tf(num,den,0.1) Transfer function: z2 + 4.2 z + 5.43 - z4 - 2.7 z3 + 2.5 z2 + 2.43 z - 0.56 Sampling time: unspecified pzmap(Gc),圖2.5 例5運(yùn)行結(jié)果,由上圖可知，系統(tǒng)G在單位圓外有極點(diǎn)存 在，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 num=0.68 5.43; den=1 -1.35 0.4 0

12、.08 0.002; G2=tf(num,den,0.1) Transfer function: 0.68 z + 5.43 - z4 - 1.35 z3 + 0.4 z2 + 0.08 z + 0.002 Sampling time: 0.1 pzmap(G2),圖2.6 例5運(yùn)行結(jié)果,由圖可知，系統(tǒng)G2閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)部，據(jù)此可知此閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,2.3MATLAB LTI Viewer穩(wěn)定性判定實(shí)例,MATLAB LTI Viewer是MATLAB為L(zhǎng)TI（Linear Time Invariant）系統(tǒng)的分析提供的一個(gè)圖形化工具。用它來(lái)可以很直觀簡(jiǎn)便地分析控制系

13、統(tǒng)的時(shí)域和頻域響應(yīng)。 用MATLAB LTI Viewer來(lái)觀察閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布情況，需要首先在MATLAB中建立系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型,例6：已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 用MATLAB LTI Viewer觀察閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布情況，并判斷此閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,1.建立系統(tǒng)模型。 z=-3; p=0 -2 -5; k=3; G=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: 3 (s+3) - s (s+2) (s+5) Gc=feedback(G,1) Zero/pole/gain: 3 (s+3) - (s+4.599) (s2 + 2.401s + 1.957),2.打開(kāi)LTI Viewer。在命令窗口輸入： ltiview 即進(jìn)入LTI Viewer窗口，如圖2.6。 圖2.6 LTI Viewer窗口圖2.7 LTI Viewer導(dǎo)入系統(tǒng)模型窗口,3.導(dǎo)入在MATLAB中建立好的系統(tǒng)模型。在LTI