第五章-線(xiàn)性系統(tǒng)的頻域分析法

1、第五章 線(xiàn)性系統(tǒng)的頻域分析法,頻域分析法的由來(lái)： 工程技術(shù)上常采用傅里葉分析法來(lái)分析線(xiàn)性系統(tǒng)（信號(hào)與系統(tǒng)）。 因?yàn)槿魏沃芷诤瘮?shù)都可以展開(kāi)為含有許多正弦分量或者余弦分量的傅里葉級(jí)數(shù)；而任何非周期函數(shù)都可表示為傅里葉積分，從而可將一個(gè)時(shí)間域的函數(shù)變換為頻率域的函數(shù)。 在我們研究輸入為非正弦函數(shù)的線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的這個(gè)性質(zhì)，可以通過(guò)研究對(duì)各種頻率正弦波的響應(yīng)特性來(lái)了解系統(tǒng)對(duì)非正弦輸入的響應(yīng)特性。 自動(dòng)控制系統(tǒng)的頻域分析法就是建立在這個(gè)基礎(chǔ)上的。,參見(jiàn)信號(hào)與系統(tǒng),控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號(hào)作用下系統(tǒng)響應(yīng)的性能，是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。 應(yīng)用頻率特性來(lái)研究線(xiàn)性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱(chēng)為頻

2、域分析法。 頻域分析法具有以下特點(diǎn)： 1.控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性可以運(yùn)用分析法或者實(shí)驗(yàn)法獲得，并可用多種形式的曲線(xiàn)來(lái)表示，因而系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)可以應(yīng)用圖解法進(jìn)行。 2.頻率特性的物理意義明確。頻域性能指標(biāo)和時(shí)域性能指標(biāo)之間有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 3.控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)可以兼顧動(dòng)態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制兩方面的要求。 4.還可以推廣到研究某些非線(xiàn)性系統(tǒng)。,頻域分析法的基本介紹,時(shí)域分析法與頻域分析法比較： 時(shí)域分析法是分析控制系統(tǒng)的直接方法，比較直觀、精確。當(dāng)往往需要求解復(fù)雜的微分方程。 頻域分析法是一種圖解分析法。它依據(jù)系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型頻率特性，利用頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，間接地揭

3、示系統(tǒng)的暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的影響，并能指明改進(jìn)系統(tǒng)的方向。也是一種工程上常用的方法。,復(fù)域分析法（根軌跡法），根軌跡法與時(shí)域分析法聯(lián)系較為緊密。,本章內(nèi)容,5-1 頻率特性（數(shù)學(xué)模型） 5-2 典型環(huán)節(jié)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性（系統(tǒng)建模） 5-3 頻率域穩(wěn)定判據(jù)（穩(wěn)定性問(wèn)題） 5-4 Matlab在頻率響應(yīng)法中的應(yīng)用 5-5 穩(wěn)定欲度（相對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題） 5-6閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性 5-7 頻域響應(yīng)和時(shí)域響應(yīng)之間的關(guān)系 5-8 控制系統(tǒng)頻域設(shè)計(jì),頻域分析法與時(shí)域分析法是截然不同的兩種分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的方法，但是本質(zhì)是統(tǒng)一的。,5-1 頻率特性,1

4、.頻域特性的基本概念（這種數(shù)學(xué)模型是怎樣的？） 2.頻率特性的幾何表示（這種數(shù)學(xué)模型怎樣表示？）,1.頻域特性的基本概念,首先以RC濾波網(wǎng)絡(luò)為例，引出頻率特性的基本概念。,那么該性質(zhì)是否具有一般性，即能否推廣到一般的n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)中？,其中，,如果該結(jié)論成立，我們知道，控制系統(tǒng)中的信號(hào)均可以表示為不同頻率正弦信號(hào)的合成。那么我們將各種不同頻率的輸入正弦信號(hào)對(duì)應(yīng)該線(xiàn)性系統(tǒng)的響應(yīng)情況都求出來(lái)，那么任何一種控制信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)就可以通過(guò)疊加相應(yīng)的正弦信號(hào)響應(yīng)而得到。（信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉變換。）這也是頻率分析法的根本思想所在。,該結(jié)論成立的意義：,那么該性質(zhì)是否具有一般性，即能否推廣到一般的n階線(xiàn)性定

5、常系統(tǒng)中？,其中，,證明：,對(duì)于一般的n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)中，若輸入 ，則輸出的穩(wěn)態(tài)值為,頻率特性的定義,對(duì)于一般的n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)中，若輸入 ，則輸出的穩(wěn)態(tài)值為,也就是說(shuō)， 對(duì)于穩(wěn)定的線(xiàn)性系統(tǒng)，由諧波輸入（正弦輸入）產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)分量仍然是與輸入同頻率的諧波函數(shù)，只是幅值和相位產(chǎn)生了變化，并且這種變化是頻率的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)與系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相關(guān)。,（重要概念）,獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個(gè): 1. 分析法 當(dāng)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，用 代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性G(j)。因此，頻率特性是 特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。這種通過(guò)傳遞函數(shù)確定頻率特性的方法是求取頻率特性的

6、分析法（解析法）。 2. 實(shí)驗(yàn)法 當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)建立，尚不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時(shí)，在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號(hào) ，測(cè)出不同頻率時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移，便可得到它的幅頻特性 和相頻特性 。這種通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定系統(tǒng)頻率特性的方法是求取頻率特性的實(shí)驗(yàn)法（也叫系統(tǒng)辨識(shí)）。 系統(tǒng)辨識(shí)：由系統(tǒng)的輸入與輸出確定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。,5、頻率特性一般針對(duì)穩(wěn)定的線(xiàn)性定常系統(tǒng)而言。,正弦輸入穩(wěn)態(tài)誤差求法總結(jié)： 1.定義法，求拉式反變換（不能用終值定理） 2.動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 3.頻率響應(yīng)法,用頻率特性求取正弦輸入穩(wěn)態(tài)誤差的方法：,2.頻率特性的幾何表示法（圖示法）（重點(diǎn)）,僅從 的表達(dá)式中看出的信息不直觀，在工程

7、分析和設(shè)計(jì)中，通常把線(xiàn)性系統(tǒng)的頻率特性畫(huà)成曲線(xiàn)，觀察其在不同頻率段上的變換，再運(yùn)用圖解法進(jìn)行研究（包括穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能等）。常用的頻率特性曲線(xiàn)有三種：,（伯德曲線(xiàn)或伯德圖，波特圖）,（尼克爾斯曲線(xiàn)或尼克爾斯圖）,（極坐標(biāo)圖，奈奎斯特圖，奈氏圖，幅相曲線(xiàn)）,Bode 圖是重點(diǎn)，Nyquist圖次重點(diǎn)。（考試、考研必考）,本教材，寫(xiě)的跳躍性過(guò)大，也太難，建議參考其他作者書(shū)。,頻率特性 幅頻特性 相頻特性 實(shí)頻特性 虛頻特性 對(duì)數(shù)幅頻特性,Remark:,給定一個(gè)環(huán)節(jié)或者系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ，可以馬上得到：,以上特性，在頻率特性的幾何表示中，經(jīng)常用到，通常都需要事先計(jì)算出來(lái)，再繪圖。,例 RC網(wǎng)絡(luò)的奈

8、奎斯特圖,單位：弧度/秒,半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系的優(yōu)點(diǎn)： 對(duì)數(shù)頻率特性采用 的對(duì)數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線(xiàn)性壓縮，便于在較大頻率范圍內(nèi)反映頻率特性的變化情況。對(duì)數(shù)幅頻特性采用 則將幅值的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化曲線(xiàn)的繪制過(guò)程。,例 RC網(wǎng)絡(luò)的伯德圖,RC網(wǎng)絡(luò)Nichols圖(T=0.5),5-2 典型環(huán)節(jié)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性,設(shè)典型的線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，閉環(huán)系統(tǒng)的很多性能可通過(guò)研究開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性來(lái)得到。 該線(xiàn)性系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，為了研究開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線(xiàn)，本節(jié)先研究開(kāi)環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)的頻率特性，進(jìn)一步研究開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。,本節(jié)目錄 1.典型環(huán)節(jié) 2.最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性（Nyqu

9、ist圖與bode圖） 3.非最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性（Nyquist圖與bode圖） 4.系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)（Nyquist圖） 5.系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)（bode圖） 6.傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定 7.延遲環(huán)節(jié)和延遲系統(tǒng),重點(diǎn)掌握最小相位情況的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，非最小相位情況的考試不考，考研可能考。,1.典型環(huán)節(jié),2.最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性,（考試、考研重點(diǎn)，nyquist圖與bode圖必須會(huì)畫(huà)，概率圖）,考試的標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)法,o,比例環(huán)節(jié)的nyquist圖與bode圖,考試的標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)法,注意考察幾個(gè)特殊點(diǎn)：,與橫軸的交點(diǎn)。,o,積分環(huán)節(jié)的nyquist圖與bode 圖,半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的直線(xiàn)方程（重要

10、，bode圖解計(jì)算時(shí)經(jīng)常用到）,其中， 和 為直線(xiàn)上的兩點(diǎn)， 為直線(xiàn)斜率。,一定在第四象限，相角變化在0度到-90度。,考試的標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)法,慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線(xiàn),注意考察幾個(gè)特殊點(diǎn)：,與轉(zhuǎn)折點(diǎn),考試的標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)法,注意考察幾個(gè)特殊點(diǎn)：,與轉(zhuǎn)折點(diǎn),慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖,o,第四象限,第三象限,根據(jù)實(shí)頻和虛頻確定相角象限的方法（重要）,為 的減函數(shù) 。當(dāng) 時(shí)，諧振峰值 。,注意：,3.有諧振時(shí)，,2. 與虛軸的交點(diǎn),1.,（特殊點(diǎn)與趨勢(shì)）,（轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是阻尼比的減函數(shù)）,4.無(wú)諧振時(shí),對(duì)數(shù)幅頻特性：,時(shí)，忽略 中的 和,二階振蕩環(huán)節(jié)的折線(xiàn)（漸近線(xiàn)）方程,注意： 越小，最小為0， 出現(xiàn)的越晚； 越大，最大為0.70

11、7， 出現(xiàn)的越早,比例環(huán)節(jié)bode 圖,典型最小相位環(huán)節(jié)bode圖匯總,P193 圖5-11,振蕩環(huán)節(jié)與二階微分環(huán)節(jié)（折線(xiàn)圖怎么畫(huà)）,轉(zhuǎn)折頻率？,最小相位系統(tǒng)： 比例相頻不衰減； 積分相頻衰減-90度 一節(jié)慣性相頻逐步衰減90度 二階振蕩相頻逐步衰減180度 微分相頻超前90度 一階微分逐步超前90度 二階微分逐步超前180度,3.非最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性,注意：運(yùn)用實(shí)頻和虛頻判斷相角象限,4. 系統(tǒng)的概略開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)（Nyquist圖）（考試、考研必考）,1）將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：,2）求系統(tǒng)的頻率特性：,即,概略繪制的具體步驟,3）求,4）補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(主要指曲線(xiàn)

12、與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，相交時(shí)所對(duì)應(yīng)頻率稱(chēng)為穿越頻率)。 5）根據(jù) 的變化趨勢(shì)確定曲線(xiàn)歷經(jīng)的象限與單調(diào)性，畫(huà)出Nyquist 圖的大致形狀。,例：,已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Nyquist圖。,解：,1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性,2）起點(diǎn)和終點(diǎn),3）曲線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)。,例：,已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Nyquist圖并求與實(shí)軸的交點(diǎn)。,解：,1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性,2）起點(diǎn)和終點(diǎn),3）曲線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)。,相交時(shí)，滿(mǎn)足,解得：,舍去,（虛頻為零）,又,解得，,例：,已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Nyquist圖。,解：,1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性,2）起點(diǎn)和終點(diǎn),最小相位系統(tǒng)

13、nyquist圖的一般形狀：（考試、考研時(shí)利用此規(guī)律作圖）,考慮如下系統(tǒng)：,1）,n為分母階次,m為分子階次,只包含慣性環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)Nyquist圖,2),3),結(jié)論：（最小相位系統(tǒng)）（考試考研的快速作圖方法） 開(kāi)環(huán)含有v個(gè)積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)，Nyquist曲線(xiàn)起自幅角為v90的無(wú)窮遠(yuǎn)處。 n = m時(shí)，Nyquist曲線(xiàn)起自實(shí)軸上的某一有限遠(yuǎn)點(diǎn)，且止于實(shí)軸上的某一有限遠(yuǎn)點(diǎn)。 n m時(shí)，Nyquist曲線(xiàn)終點(diǎn)幅值為0 ，而相角為(nm)90。 不含一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，相角滯后量單調(diào)增加。含有一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，由于相角非單調(diào)變化， Nyquist曲線(xiàn)可能出現(xiàn)凹凸。,例5-3 已知單位反

14、饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)概略開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)。,解：1）.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為,2）開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)的起點(diǎn)：,終點(diǎn)：,3）與實(shí)軸的交點(diǎn)：,當(dāng),時(shí)，存在交點(diǎn)。,交點(diǎn)為,當(dāng)時(shí) ，交點(diǎn)不存在。,應(yīng)該指出，由于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)具有一階微分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)有凹凸現(xiàn)象，因?yàn)槔L制的是概略幅相曲線(xiàn)，故這一現(xiàn)象無(wú)需準(zhǔn)確反映。,例5-4：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)。,解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為,非最小相位系統(tǒng)nyquist圖繪制舉例（考研）,開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)的起點(diǎn)幅頻：,各環(huán)節(jié)在 時(shí)的相頻特性范圍：,開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)的終點(diǎn)幅頻：,因此，開(kāi)環(huán)頻率特性的相頻范圍為：,即：,（象限判斷）,與虛軸的交點(diǎn)：令虛

15、部為零，解得,5.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)（bode圖）,（考試、考研重點(diǎn)）,最小相位系統(tǒng),尋找最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Bode圖特點(diǎn)（熟記） 最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v，斜率為20vdB/dec。 注意到最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性可近似為：（會(huì)推導(dǎo)） L() = 20lgK 20vlg 當(dāng)1 rad/s時(shí)，L()=20lgK，即最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性或其延長(zhǎng)線(xiàn)在1 rad/s時(shí)的數(shù)值等于20lgK。（在1 rad/s處，只有比例環(huán)節(jié)能夠提供增益，其它的環(huán)節(jié)在此處都為0；環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率在1前例外，此時(shí)對(duì)應(yīng)低頻段的延長(zhǎng)線(xiàn)。） 如果各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性用漸近線(xiàn)表示，則對(duì)數(shù)幅頻特性為一系列折線(xiàn)，折線(xiàn)的轉(zhuǎn)

16、折點(diǎn)為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。 對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線(xiàn)每經(jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化量由當(dāng)前轉(zhuǎn)折頻率對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。對(duì)慣性環(huán)節(jié)，斜率下降20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升40dB/dec。,由以上特點(diǎn)，可以總結(jié)出繪制最小相位系統(tǒng)bode圖的步驟（熟記）,1）將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)：,2）確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,并由小到大標(biāo)示在對(duì)數(shù)頻率軸上。,3）計(jì)算20lgK，在1 rad/s 處找到縱坐標(biāo)等于20lgK 的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率等于-20v dB/dec的直線(xiàn)，向左延長(zhǎng)此線(xiàn)至所有環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率之左，得到最低頻段

17、的漸近線(xiàn)。,4）向右延長(zhǎng)最低頻段漸近線(xiàn)，每遇到一轉(zhuǎn)折頻率改變一次漸近線(xiàn)斜率。,5）對(duì)漸近線(xiàn)進(jìn)行修正以獲得準(zhǔn)確的幅頻特性（主要針對(duì)振蕩環(huán)節(jié) 和二階微分環(huán)節(jié)）。,6）相頻特性曲線(xiàn)由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得，計(jì)算幾個(gè)點(diǎn)的值 繪出大致曲線(xiàn)。,（整理成尾一式）,考試標(biāo)準(zhǔn)繪圖,相頻特性bode圖在同樣的坐標(biāo)系下繪制一條近似的曲線(xiàn)即可。注意相頻的角度范圍不要錯(cuò)即可。,非最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)環(huán)bode圖的繪制（考研）,6.傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定（系統(tǒng)辨識(shí)）,可運(yùn)用頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)確定穩(wěn)定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,1)頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn) 頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理圖如圖所示。,首先選擇信號(hào)源輸出的正弦信號(hào)的幅值，以使系統(tǒng)處于非飽和狀態(tài)。 在一

18、定頻率范圍內(nèi)（感興趣的范圍內(nèi)），改變輸入正弦信號(hào)的頻率，記錄每個(gè)頻率點(diǎn)處系統(tǒng)輸出信號(hào)的波形。 由穩(wěn)定段的輸入輸出信號(hào)的幅值比和相位差繪制對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)。,2）傳遞函數(shù)的確定（由Bode圖確定傳遞函數(shù)） 從低頻段起，將實(shí)驗(yàn)所得的對(duì)數(shù)幅頻曲線(xiàn)用頻率為的 直線(xiàn)分段近似，獲得對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線(xiàn)。,3）由 反求傳遞函數(shù)實(shí)例（適用范圍：最小相位系統(tǒng)，考試，考研）,課外閱讀：用matlab中的levy函數(shù)曲線(xiàn)擬合得到傳遞函數(shù)的方法。,（非常重要）,例5-7(考研）圖為由頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)獲得的某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻曲線(xiàn)和對(duì)數(shù) 幅頻漸近特性曲線(xiàn)，試確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,解：,1）,2）,3）求,直線(xiàn)方程：,4）

19、求,作業(yè),注意： 最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性是一一對(duì)應(yīng)的。漸近特性曲線(xiàn)可以確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 值得注意的是，實(shí)際系統(tǒng)并不都是最小相位系統(tǒng)，而最小相位系統(tǒng)可以和某些非最小相位系統(tǒng)具有相同的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)，因此具有非最小相位環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，還需依據(jù)相應(yīng)環(huán)節(jié)對(duì)相頻特性的影響并結(jié)合實(shí)測(cè)相頻特性予以確定。,7.延遲環(huán)節(jié)與延遲系統(tǒng),延遲系統(tǒng)及其開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn),5-3 頻率域穩(wěn)定判據(jù)（考試、考研重點(diǎn)）,1.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（由奈奎斯特圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性） 2.對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)（由伯德圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性） 3.條件穩(wěn)定系統(tǒng),本節(jié)目錄,控制系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)所需要解決的首要問(wèn)題。奈

20、奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是常用的兩種頻域穩(wěn)定判據(jù)。頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)是根據(jù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線(xiàn)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。頻域判據(jù)使用方便，易于推廣。,一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),1、幅角原理(數(shù)學(xué)基礎(chǔ)),可以證明，對(duì)于 s 平面上給定的一條不通過(guò)任何奇點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線(xiàn)，在 F(s) 平面上必存在一條封閉象曲線(xiàn)與之對(duì)應(yīng)。,F(s) 平面上的原點(diǎn)被封閉象曲線(xiàn)包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。我們將包圍的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來(lái)。,復(fù)變函數(shù),設(shè),研究當(dāng)s沿閉合曲線(xiàn)G 順時(shí)針運(yùn)行一周，F(xiàn)(s)的相角變化。,因?yàn)?所以,jw,s,ImF(s),F(s),s,z1,z2,p2,p1

21、,F(s1),s1,G,G F,其特征式為：,函數(shù)F(s)在s平面內(nèi)除了奇點(diǎn)外處處解析。對(duì)于s平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)， F(s)平面上必有一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。,，則,為：,這樣，對(duì)于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過(guò)任何奇點(diǎn)，在,平面上就必有一個(gè)封閉曲線(xiàn)與之對(duì)應(yīng)。,例如,例如考慮下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,當(dāng)s平面上的圖形包圍,的兩個(gè)極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，,的軌跡將不包圍原點(diǎn),相應(yīng)的,0,0,如果這個(gè)曲線(xiàn)只包圍一個(gè)零點(diǎn)，相應(yīng)的,的軌跡將順時(shí)針包圍原點(diǎn)一次，,封閉曲線(xiàn)既不包圍零點(diǎn)又,的軌跡將永遠(yuǎn)不會(huì)包圍,平面上的原點(diǎn),不包圍極點(diǎn)，,幅角原理總結(jié)：,F

22、(s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)= 內(nèi) F (s)極點(diǎn)數(shù)- 內(nèi) F (s)零點(diǎn)數(shù),2、復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇,我們的目的是為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，希望通過(guò)F(s)建立系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,兩者的極點(diǎn)數(shù)相同,F(s)的極點(diǎn)-系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn),F(s)的零點(diǎn)-系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn),F(s)曲線(xiàn)與H(s)G(s)曲線(xiàn)形狀相同， H(s)G(s)曲線(xiàn)向右移動(dòng)1個(gè)單位即得到F(s)曲線(xiàn)。因此F(s)曲線(xiàn)對(duì)F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)的包圍就等價(jià)于H(s)G(s)曲線(xiàn)對(duì)H(s)G(s)平面(-1,j0)點(diǎn)的包圍。,為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們需要知道系統(tǒng)是否有閉環(huán) 極點(diǎn)在右半s平面，因此選取閉合曲線(xiàn)G

23、包圍整個(gè)右半s 平面。,Nyquist圍線(xiàn),F (s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)= 內(nèi)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)數(shù)- 內(nèi)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)數(shù),內(nèi)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)數(shù)= 內(nèi)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)數(shù)- F (s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù),奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的思路來(lái)源：,恰當(dāng)?shù)倪x擇 ，使得 包圍整個(gè)S右半平面，則根據(jù) 包圍原點(diǎn)的圈數(shù)和已知的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的數(shù)目，可以判斷系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的數(shù)目，進(jìn)而可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,F (s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)= 內(nèi) F (s)極點(diǎn)數(shù)- 內(nèi) F (s)零點(diǎn)數(shù),選擇時(shí) ，分了三種情況,0型系統(tǒng) 非0型系統(tǒng) 臨界穩(wěn)定系統(tǒng),3、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),A.,（P為右半平面系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)

24、目）,(0型系統(tǒng)),a,b,c,（原點(diǎn)或者某常值點(diǎn)）,（最小相位）,在右上圖，當(dāng)S沿著 順轉(zhuǎn)一周時(shí)，對(duì)應(yīng)于 ，此時(shí)， 線(xiàn)圍繞著-1點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了2圈。而系統(tǒng)不存在右半平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，所以 ，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且存在Z=P-R=0-（-2）=2個(gè)S右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)。,由對(duì)稱(chēng)性可以簡(jiǎn)化繪圖，只需做出的一半的曲線(xiàn) ， 即Nyquist圖即可，如右圖。但是 線(xiàn)圍繞著-1點(diǎn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)，應(yīng)該乘以2再與右半平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)作比較。,注：利用半閉合曲線(xiàn) 計(jì)算閉合曲線(xiàn) 包圍原點(diǎn)圈數(shù)R的方法。,根據(jù)半閉合曲線(xiàn) 可獲得 包圍原點(diǎn)的圈數(shù) 。設(shè) 為穿越點(diǎn) 左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)， 表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）， 表示負(fù)穿

25、越的次數(shù)和（從下向上穿越），則,此題中，,考試、考研標(biāo)準(zhǔn)答題格式,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，具有兩個(gè)右半平面的極點(diǎn)。,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右半平面的極點(diǎn)為0，所以P=0,（關(guān)鍵）,例,在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P=1。 當(dāng)K1時(shí)， ， R=2N=1=P 系統(tǒng)穩(wěn)定; 當(dāng)K1時(shí)，N=0 ，系統(tǒng)不穩(wěn)定; 當(dāng)K=1時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,B .,a,b,c,d,（也稱(chēng)為增補(bǔ)曲線(xiàn)）,(非0型系統(tǒng)),為,解：,開(kāi)環(huán)Nyquist曲線(xiàn)不包圍(-1, j0 )點(diǎn)，而P=0，因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,（如何順時(shí)針增補(bǔ)的曲線(xiàn)？）,最小相位系統(tǒng)增補(bǔ)曲線(xiàn)的基本形式,（考試）,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,C .,（不要求掌握）,(

26、臨界穩(wěn)定系統(tǒng)),注1：奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另外一種形式,注2：利用半閉合曲線(xiàn) 計(jì)算閉合曲線(xiàn) 包圍原點(diǎn)圈數(shù)R的方法。,根據(jù)半閉合曲線(xiàn) 可獲得 包圍原點(diǎn)的圈數(shù) 。設(shè) 為穿越點(diǎn) 左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)， 表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）， 表示負(fù)穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則,特殊情況：半次穿越。,半次正穿越,半次負(fù)穿越,某非最小相位系統(tǒng),注3：臨界穩(wěn)定,當(dāng)半閉合曲線(xiàn) 穿過(guò) 點(diǎn)時(shí)，表明存 在 ，使得 即系統(tǒng)閉環(huán)特征方程存在共軛虛根，則系統(tǒng)可能臨界穩(wěn)定。計(jì)算 的穿越次數(shù) 時(shí)，應(yīng)注意不計(jì)穿越 點(diǎn)的次數(shù)。,利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟： 1.繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖（注意表明奈奎斯特曲線(xiàn)與點(diǎn) 的關(guān)系

27、）。 2.增補(bǔ)奈奎斯特圖（非零型系統(tǒng)） 3.計(jì)算奈奎斯特曲線(xiàn)（及其增補(bǔ)曲線(xiàn)）圍繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)（兩種方式繪圖數(shù)圈均可，穿越或者數(shù)圈） 4.圈數(shù) 與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面極點(diǎn)數(shù) 是否相等，相等則穩(wěn)定。 5.若不穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面極點(diǎn)數(shù)為,切記：利用的是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖，判斷是的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,要求熟練掌握 1）相對(duì)應(yīng)的奈奎斯特曲線(xiàn)是怎么畫(huà)出來(lái)的。 2）用奈奎斯特判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。及右半平面閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。,3,例 已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)如下圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)K值的范圍。,P=0,（考試）,兩個(gè)重要例子：（考研）P211 例5-8 已知（最小相位）單位反

28、饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn) ，如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)K值的范圍。,解：開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)處穿越頻率分別為 ，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)形如,由題設(shè)條件知,當(dāng)取K=10時(shí)，,若令 可得對(duì)應(yīng)的K值,對(duì)應(yīng)的，分別取 和 時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)分別如下圖所示。,綜上，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍為（0，5）和（20/3，20)。當(dāng)K等于5，20/3和20時(shí)，奈奎斯特曲線(xiàn)穿越臨界點(diǎn)（-1，j0),且在這三個(gè)值的鄰域，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)閉環(huán)條件穩(wěn)定。,例5-9 已知延遲系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,試根據(jù)奈氏判據(jù)確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)，延遲時(shí)間 值的范圍。,考研,解： 由圖知，延遲系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn) 即半閉合曲線(xiàn)

29、為螺旋線(xiàn)，且為順時(shí)針?lè)较?，若開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)與 點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸有個(gè) 交點(diǎn)，則 包圍 點(diǎn)的圈數(shù)為 ，由于 ，故 ，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，則必有 。設(shè) 為開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)穿越負(fù)實(shí)軸時(shí)的頻率，有,鑒于,當(dāng) 增大時(shí)， 減小。而在頻率 為最小的 時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)第一次穿過(guò)負(fù)實(shí)軸，因此 由下式求得,此時(shí) 達(dá)到最大，為使 ，必須使 即,由 解得,注意到,為 的減函數(shù)，因此 亦為 的減函數(shù)。當(dāng) 時(shí)， ，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng) 時(shí)， ，系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)值的范圍應(yīng)為,二、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),1）Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系,Nyquist圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)幅頻特性圖上的0 分貝線(xiàn)。單

30、位圓以外的Nyquist曲線(xiàn)，對(duì)應(yīng)L()0的部分；單位圓內(nèi)部的Nyquist曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)L()0的所有頻率范圍內(nèi)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)與180線(xiàn)的穿越點(diǎn)。,Nyquist 圖中的正穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)當(dāng)增大時(shí)從下向上穿越180 線(xiàn)(相角滯后減小)； 負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)當(dāng) 增大時(shí)，從上向下穿越180線(xiàn)( 相角滯后增大)。（兩圖中穿越方向的定義正好反向） Nyquist 曲線(xiàn)的輔助線(xiàn)（增補(bǔ)線(xiàn)）反映在對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)上。即將對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)的起始點(diǎn) 與 +v 90線(xiàn)相連(v 為開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)。,有了以上奈奎斯特圖和bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以很快得到利用bode圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法

31、，即對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)。,2）對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù),若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)存在 個(gè)位于右半s平面的特征根，則當(dāng)在 的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn) ( 含輔助線(xiàn))與-180線(xiàn)的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。 閉環(huán)系統(tǒng)右半平面的極點(diǎn)數(shù)為,例：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Bode圖如下，判斷系統(tǒng)閉環(huán)是否穩(wěn)定。,解：,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,（考試重點(diǎn)）,Nyquist穩(wěn)定判據(jù)和Bode穩(wěn)定判據(jù)中，區(qū)別 的穿越方向。相角變化本質(zhì)是一致的。,三、條件穩(wěn)定系統(tǒng),例5-8這種閉環(huán)穩(wěn)定有條件的系統(tǒng)稱(chēng)為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 無(wú)論開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)怎么變化，系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，這樣的系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。,若為最小相

32、位，怎么用奈奎斯特圖判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性? 怎么用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性？ 怎么用根軌跡判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性？,Matlab: G=tf(1,1 1 0 0); rlocus(G),Bode圖,調(diào)用格式 mag,phase,=bode(num,dne,) 式中G(s)=num/den,頻率自動(dòng)選擇范圍從=0.1到=1000rad/sec 若人為選擇頻率范圍,可應(yīng)用logspace函數(shù) 調(diào)用格式：=logspace(a,b,n) 采用自動(dòng)頻率范圍,上述MATLAB命令可簡(jiǎn)化為 bode(num,den) margin 命令也可以繪制伯德圖，并直接得出幅值裕度、相角裕度及其對(duì)應(yīng)的截止頻率、穿越頻率

33、。 margin(sys),Nyquist圖,調(diào)用格式 re,im,=nyquist(num,den,) 式中G(s)=num/den；用戶(hù)提供的頻率范圍；re極坐標(biāo)的實(shí)部；im極坐標(biāo)的虛部 若用戶(hù)不指定頻率范圍，則為 Nyquist(num,den),5-4 Matlab在頻域響應(yīng)法中的應(yīng)用,Nichols圖,調(diào)用格式 mag,phase,=nichols(num,den,) 注意使用上述調(diào)用函數(shù)時(shí)，必須與plot函數(shù)配合使用才能產(chǎn)生nichols圖 直接繪出nichols圖，可略去上述格式等號(hào)左邊部分，直接調(diào)用nichols函數(shù)，也可調(diào)用ngrid函數(shù)繪出nichols線(xiàn)圖,例：已知單位負(fù)

34、反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制其伯德圖，尼克爾斯圖和奈奎斯特圖，并判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：matlab程序： G=tf(1280 640,1 24.2 1604.81 320.24 16); figure(1) bode(G) figure(2) margin(G) figure(3) nyquist(G); axis equal,figure(4) nichols(G) axis(-270 0 -40 40);ngrid,1.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線(xiàn)與閉環(huán)階躍響應(yīng)的關(guān)系 2.幅值裕度 3.相角裕度 4.三段頻理論（初步認(rèn)識(shí)）,5-5 穩(wěn)定裕度,考試、考研,1.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲

35、線(xiàn)與閉環(huán)階躍響應(yīng)的關(guān)系,回憶：第三章中的相對(duì)穩(wěn)定性的概念。,（看幾個(gè)例子）,結(jié)論：開(kāi)環(huán)Nyquist曲線(xiàn)與(-1, j0)點(diǎn)的接近程度可以反映系統(tǒng)閉環(huán)的相對(duì)穩(wěn)定性， 即穩(wěn)定程度。,勞斯穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用中，是以閉環(huán)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部與虛軸的距離來(lái)衡量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性的。 在頻域中，通常用幅值裕度和相角裕度來(lái)衡量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。,相對(duì)穩(wěn)定性的衡量指標(biāo):,2.幅值裕度,（教材用 表示）,1）（相位）穿越頻率 開(kāi)環(huán)nyquist曲線(xiàn)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率稱(chēng)為（相位）穿越頻率。 顯然，,2）幅值裕度,注意到：如果開(kāi)環(huán)增益增加 倍，Nyquist曲線(xiàn)將穿過(guò)(-1, j0)點(diǎn)，系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。因此，幅值裕度的物

36、理意義可表述為：在保持系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定條件下，開(kāi)環(huán)增益所允許增大（或增加）的最大倍數(shù)（或分貝數(shù)）。,（教材用 表示）,討論：,Nyquist曲線(xiàn)穿過(guò)(-1, j0)點(diǎn)時(shí)， 1 Nyquist曲線(xiàn)與負(fù)實(shí)軸不相交， ,閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)，相位穿越點(diǎn)位于(-1, j0)點(diǎn)右邊， 。,閉環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，相位穿越點(diǎn)位于(-1, j0)點(diǎn)左邊， 0dB。此時(shí)， 指出了使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，需要減小的最小分貝數(shù)。,指出了使系統(tǒng)變得閉環(huán)不穩(wěn)定，需要增加的最小分貝數(shù)。也即穩(wěn)定裕量。,如下圖，某一種條件穩(wěn)定系統(tǒng)需要兩個(gè)幅值裕度 (1)和 (1)共同表示。 物理意義： 條件穩(wěn)定系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益放大 或 倍時(shí)，系統(tǒng)均達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,討論：

37、一種條件穩(wěn)定系統(tǒng),b.幅值裕度相同但穩(wěn)定程度不同的系統(tǒng),3）幅值裕度的局限性,3.相角裕度,2) 相角裕度,1）幅值穿越頻率 （教材稱(chēng)為截止頻率）,開(kāi)環(huán)Nyquist曲線(xiàn)與單位圓的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率 稱(chēng)為幅值穿越頻率。 顯然：,在幅值穿越頻率 上，使系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線(xiàn)穿過(guò)(-1, j0) 點(diǎn)（即達(dá)到臨界穩(wěn)定）尚可增加的相位滯后量 ，稱(chēng)為相角裕度。,即,閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量和相位裕量,閉環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量和相位裕量,為了得到滿(mǎn)意的性能，一般要求： 6dB 且 3070 與幅值裕度相比，幅值裕度所給出的是開(kāi)環(huán)增益改變對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的量度，而相角裕度則表示只改變G(j)H(j) 相角

38、的那些系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)對(duì)閉環(huán)穩(wěn)定性影響的量度。,注：,3）相角裕度的局限,由此可見(jiàn)，僅用增益裕量或相位裕量，甚至在某些情形下，同時(shí)應(yīng)用增益裕量或相位裕量都不足以說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 這個(gè)問(wèn)題在用勞斯相對(duì)穩(wěn)定判據(jù)判斷時(shí)不存在。,例5-12 已知單位反饋系統(tǒng) 設(shè) 分別為4和10時(shí)，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。,解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性,按,定義可得,時(shí),時(shí),分別作出 和 的開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)Nyquist圖，由奈氏判據(jù)知：,時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定， 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，,4） 幅值穿越頻率 的近似求解(考研）,對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線(xiàn)與 的位置關(guān)系,位于某段漸近線(xiàn)的兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率之間。,對(duì)于高階系統(tǒng)，一般難以準(zhǔn)確計(jì)算幅值穿越頻率

39、 。在工程設(shè)計(jì)和分析時(shí)，只要求粗略估計(jì)系統(tǒng)的相角裕度，故一般可以根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線(xiàn)（即折線(xiàn)圖）確定幅值穿越頻率 。再由相頻特性確定相角裕度 。,下面通過(guò)例題介紹兩種求法：,a),步驟,寫(xiě)出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)在各個(gè)頻段的漸近線(xiàn)方程,按順序求各漸近線(xiàn) 與0dB線(xiàn)的交點(diǎn)頻率,若 則 。,解：,例5-14,b),關(guān)于例5-14的討論,P217圖5-14，該圖表明，減小開(kāi)環(huán)增益 ，可以增大系統(tǒng)的相角裕度，但 減小會(huì)使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差變大。為了使系統(tǒng)具有良好的過(guò)渡過(guò)程，通常要求相角裕度達(dá)到 ，而欲滿(mǎn)足這一要求應(yīng)使開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在截止頻率附近的斜率大于 ，且有一定的寬度。（針對(duì)此題可以這么考慮，但不通

40、用。） 因此，為了兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和過(guò)渡過(guò)程的要求，有必要應(yīng)用校正方法。,一個(gè)設(shè)計(jì)合理的系統(tǒng)： 中頻段的斜率以20dB為宜； 低頻段和高頻段可以有更大的斜率。 低頻段斜率大，提高穩(wěn)態(tài)性能； 高頻段斜率大，排除干擾。 但中頻段必須有足夠的帶寬，以保證系統(tǒng) 的相位裕量，帶寬越大，相位裕量越大。 的大小取決于系統(tǒng)的快速性要求。 大，快速性好，但抗擾能力下降。,4. 三段頻理論（初步認(rèn)識(shí)）,5-6閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性,本節(jié)內(nèi)容 1.閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性 2.由開(kāi)環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性 1）利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 2）利用尼克爾斯圖求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 3.非單位反饋系

41、統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,1.閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性（定義與解析法）,式中， 和 分別為閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻和相頻特性，這種求取閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性的方法稱(chēng)為解析法。,利用解析法求閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性是可行的，進(jìn)而可以畫(huà)出閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性圖。 但是如果已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性圖，可利用圖解法較容易的獲得單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性圖。,2.由開(kāi)環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性（圖解法）,1）利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,定義 設(shè)開(kāi)環(huán)頻率特性 為 令 ，則 整理得：,a.等M圓（等幅值軌跡）,當(dāng)M=1時(shí)，由上式可求得X=-1/2，這是通過(guò)點(diǎn)

42、（-1/2，j0）且與虛軸平行的一條直線(xiàn) 當(dāng)M1時(shí)，由上式可化為 對(duì)于給定的M值（等M值），上式是一個(gè)圓方程式，圓心在 處，半徑 。所以在G(j)平面上，等M軌跡是一簇圓，見(jiàn)下圖,等M圓,分析 當(dāng)M1時(shí)，隨著M值的增大，等M圓半徑愈來(lái)愈小，最后收斂于（-1,j0）點(diǎn)，且這些圓均在M=1直線(xiàn)的左側(cè) 當(dāng)M1時(shí)，隨著M值的減小，M圓半徑也愈來(lái)愈小，最后收斂于原點(diǎn)，而且這些圓都在M=1直線(xiàn)的右側(cè) 當(dāng)M=1時(shí)，它是通過(guò)（-1/2，0j） 點(diǎn)平行于虛軸的一條直線(xiàn)。 等M圓簇既對(duì)稱(chēng)于M=1的直線(xiàn)，又對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。,b.等N圓（等相角軌跡）,定義： 閉環(huán)頻率特性的相角 為： 令 整理得：,分析 當(dāng)給定N值(等N

43、值)時(shí)，上式為圓的方程，圓心在 處，半徑為 , 稱(chēng)為等N圓，見(jiàn)圖。 等N圓實(shí)際上是等相角正切的圓，當(dāng)相角增加180時(shí)，其正切相同，因而在同一個(gè)圓上。 所有等N圓均通過(guò)原點(diǎn)和（-1,j0）點(diǎn)。 對(duì)于等N圓，并不是一個(gè)完整的圓，而只是一段圓弧。,c.利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,意義：有了等M圓和等N圓圖，就可由開(kāi)環(huán)頻率特性求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性和相頻特性。 將開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖 疊加在等 M圓線(xiàn)上，如圖 (a)所示。 曲線(xiàn)與等M圓相交于,（a）等M圓,（b）等N圓,在 處， 曲線(xiàn)與 的等M圓相交，表明在 頻率下，閉環(huán)系統(tǒng)的幅值為 。依此類(lèi)推。 從圖上還可看出， 的等M

44、圓正好與 曲線(xiàn)相切，切點(diǎn)處的M值最大，即為閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值 ，而切點(diǎn)處的頻率即為諧振頻率 。 此外， 曲線(xiàn)與 的等M圓交點(diǎn)處的頻率為閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬頻率 ，0 稱(chēng)為閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶寬度。,將開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖 疊加在等 N圓線(xiàn)上，如圖 (b)所示 曲線(xiàn)與等N圓相交于 如 處， 曲線(xiàn)與-10的等N圓相交，表明在這個(gè)頻率處，閉環(huán)系統(tǒng)的相角為-10，依此類(lèi)推得閉環(huán)相頻特性。,在早期的工程實(shí)踐中，應(yīng)用等M圓求取閉環(huán)幅頻特性時(shí)，需先在透明紙上繪制出標(biāo)準(zhǔn)等M圓簇，然后按相同的比例尺在白紙或坐標(biāo)紙上繪制出給定的開(kāi)環(huán)頻率特性 的紙上重疊起來(lái)，并將它們的坐標(biāo)重合最后根據(jù) 曲線(xiàn)與等M圓簇的交點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)的M值和

45、值，便可繪制出閉環(huán)幅頻特性,（a）等M圓,（b）等N圓,閉環(huán)頻率特性曲線(xiàn)繪制如P224圖5-47,2）利用尼克爾斯圖求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,與,橫向走勢(shì)圈線(xiàn)為等M線(xiàn)，縱向駝峰線(xiàn)為 等線(xiàn),3.非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,思路：上面介紹的等M圓和等N圓求取閉環(huán)頻率特性的方法，適用于單位反饋系統(tǒng)。對(duì)于一般的反饋系統(tǒng)，如下圖 (a)所示，則可等效成如下圖 (b)所示的結(jié)構(gòu)圖，其中單位反饋部分的閉環(huán)頻率特性 可按上述方法求取，再與頻率特性 相乘，便可得到總的閉環(huán)頻率特性。,因此，研究閉環(huán)系統(tǒng)頻域特性或者頻域指標(biāo)時(shí)，只需重點(diǎn)針對(duì)單位反饋系統(tǒng)進(jìn)行。,通常情況下， 為常數(shù)。,總結(jié) 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性求

46、法： 1.解析法 2.圖解法 1）利用等M圓和等N圓 2）利用尼克爾斯圖線(xiàn),頻域響應(yīng)（頻率特性）和時(shí)域響應(yīng)都是描述控制系統(tǒng)固有特性的工具，因此兩者之間必然 存在著某種內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系通常體現(xiàn)在控制系統(tǒng)頻率特性的某些特征量與時(shí)域性能指標(biāo)之間的關(guān)系上。本節(jié)將著重討論系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的特征量與系統(tǒng)性能指標(biāo)之間的關(guān)系。,5-7頻域響應(yīng)和時(shí)域響應(yīng)之間的關(guān)系,本節(jié)內(nèi)容 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻域指標(biāo) 系統(tǒng)帶寬與信號(hào)頻譜的關(guān)系 系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間的關(guān)系 工程設(shè)計(jì)中需要注意的幾個(gè)問(wèn)題,1. 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻域指標(biāo),系統(tǒng)的帶寬是一個(gè)非常重要的概念，在用頻域法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合中經(jīng)常用到。,考試、考研,一

47、階系統(tǒng)的帶寬,設(shè)一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,因?yàn)殚_(kāi)環(huán)系統(tǒng)為1型， ，按帶寬定義，,可求得帶寬頻率,一階系統(tǒng)的bode 圖,結(jié)論：一階系統(tǒng)的帶寬頻率和時(shí)間常數(shù) 成反比，并且系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)速度和帶寬成正比。,慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線(xiàn),二階系統(tǒng)的帶寬,系統(tǒng)的幅頻特性,因?yàn)殚_(kāi)環(huán)系統(tǒng)為1型， ，按帶寬定義，,于是,教材P218頁(yè)用解析法推導(dǎo)出結(jié)論,二階系統(tǒng)的帶寬頻率 和自然頻率 成正比，與阻尼比 成反比。,從右圖中可以更直觀的看出該結(jié)論。,二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度和帶寬成正比。,二階系統(tǒng)的頻率特性,該結(jié)論是否具有一般性呢？,重要知識(shí)點(diǎn)1：（頻率尺度與時(shí)間尺度的反比性質(zhì)）,系統(tǒng)帶寬：系統(tǒng)帶寬是頻域中一項(xiàng)非常重要的性

48、能指標(biāo)。對(duì)一般控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)速度和帶寬成正比。即當(dāng)系統(tǒng)的帶寬擴(kuò)大 倍，系統(tǒng)的響應(yīng)速度則加快 倍。,證明：設(shè)兩個(gè)控制系統(tǒng)存在以下關(guān)系：,其中， 為任意正常數(shù)。兩個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性亦有,當(dāng)對(duì)數(shù)幅頻特性 和 的橫坐標(biāo)分別取為 和 時(shí)，其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)具有相同的形狀，按帶寬的定義可得,即系統(tǒng) 的帶寬頻率為系統(tǒng) 帶寬頻率的 倍。 設(shè)兩個(gè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分別為 和 ，按拉氏變換，有,即得,由時(shí)域性能指標(biāo)可知，系統(tǒng) 的上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間為 的倍。即當(dāng)系統(tǒng)的帶寬擴(kuò)大 倍，系統(tǒng)的響應(yīng)速度則加快 倍。,既然系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)速度與帶寬成反比，是不是系統(tǒng)的帶寬越寬越好呢？,系統(tǒng)的輸入和輸出端不可

49、避免的存在確定性擾動(dòng)和隨機(jī)噪聲，因此控制系統(tǒng)帶寬的選擇需要綜合考慮各種輸入信號(hào)的頻率范圍及其對(duì)系統(tǒng)性能的影響，即應(yīng)使系統(tǒng)對(duì)控制輸入信號(hào)具有良好的跟蹤能力（跟蹤能力其實(shí)暗含兩個(gè)要求：快速性與準(zhǔn)確性，即準(zhǔn)確、快速的復(fù)現(xiàn)控制信號(hào)）和對(duì)擾動(dòng)輸入信號(hào)具有較強(qiáng)的抑制能力。,2. 系統(tǒng)帶寬與信號(hào)頻譜的關(guān)系（信號(hào)與系統(tǒng)）,1）確定性信號(hào)頻譜的概念 a.周期信號(hào) 的頻譜是其傅里葉系數(shù)（復(fù)系數(shù)）的集合，通常用該復(fù)系數(shù)的幅頻值集合來(lái)表示，是離散的。如教材P220頁(yè)圖5-43，周期性方波信號(hào)的頻譜。 b.非周期信號(hào) 的頻譜是其傅里葉變換，是連續(xù)的。如教材P220頁(yè)圖5-44，單個(gè)方波信號(hào)的頻譜。,2）信號(hào)與系統(tǒng)的關(guān)系

50、 當(dāng)信號(hào)通過(guò)一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)，相當(dāng)于該信號(hào)的頻譜經(jīng)過(guò)了該線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性變換后，再求傅里葉反變換。 因此系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的能力取決于系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，對(duì)于輸入端信號(hào)，帶寬大，則復(fù)現(xiàn)能力越強(qiáng)（跟蹤能力強(qiáng)）；而另一方面，抑制輸入端高頻干擾的能力則弱，因此系統(tǒng)帶寬的選擇在設(shè)計(jì)中應(yīng)折中考慮，不能一味求大。,考試、考研,3. 系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間的關(guān)系,控制系統(tǒng)的頻域分析和綜合是經(jīng)典控制論中的精華，但是頻域指標(biāo)不像時(shí)域指標(biāo)那樣物理意義明確且直觀。 系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)物理意義明確、直觀，但不能直接應(yīng)用于頻域的分析和綜合。 另外，閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標(biāo) 雖然能反映系統(tǒng)的跟蹤速度和抗干擾能力，但由于需要通過(guò)閉環(huán)

51、頻域特性加以確定，在校正元件的形式和參數(shù)尚需確定時(shí)，顯得較為不方便。 鑒于以上原因，需要建立系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)和閉環(huán)頻域指標(biāo)以及開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)之間的關(guān)系。有了這些關(guān)系，可以指導(dǎo)我們?cè)陬l域?qū)刂葡到y(tǒng)進(jìn)行分析和綜合。,主要時(shí)域指標(biāo),主要閉環(huán)頻域指標(biāo),主要開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo),上升時(shí)間 調(diào)節(jié)時(shí)間 峰值時(shí)間 超調(diào)量,帶寬頻率 諧振頻率 諧振峰值 零頻值,截止頻率 相角裕度,1）低階系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間的定量關(guān)系,開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo),閉環(huán)頻域指標(biāo),時(shí)域指標(biāo),顯然，,考試、考研,a,b,c,a,b,c,d,指標(biāo),指標(biāo),可查圖表P228 圖5-51,考試、考研,對(duì)于一般高階系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)之間不存在解析關(guān)系。通

52、過(guò)大量系統(tǒng)的研究，可歸納出如下的近似計(jì)算公式：,應(yīng)用上述經(jīng)驗(yàn)公式估算高階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)，一般偏于保守，即實(shí)際性能比估算結(jié)果要好。 對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行初步設(shè)計(jì)時(shí)，使用經(jīng)驗(yàn)公式，可以保證系統(tǒng)達(dá)到性能指標(biāo)的要求且留有一定的余地，然后進(jìn)一步應(yīng)用matlab軟件包進(jìn)行驗(yàn)證。 應(yīng)用matlab軟件包可以方便的獲得閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性和系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，便于統(tǒng)籌兼顧系統(tǒng)的頻域性能和時(shí)域性能。,注：若高階系統(tǒng)存在一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，則可由二階系統(tǒng)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系近似估算該高階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)。,2）高階系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間的定量關(guān)系,一個(gè)設(shè)計(jì)合理的系統(tǒng)： 中頻段的斜率以20dB為宜； 低頻段和高頻段可

53、以有更大的斜率。 低頻段斜率大，提高穩(wěn)態(tài)性能； 高頻段斜率大，排除干擾。 但中頻段必須有足夠的帶寬，以保證系統(tǒng) 的動(dòng)態(tài)性能，帶寬越大，相位裕量越大（穩(wěn)定性問(wèn)題），響應(yīng)速度越快。 的大小取決于系統(tǒng)的快速性要求。 大，快速性好，但抗擾能力下降。,3）開(kāi)環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)的定性關(guān)系,三段頻理論,考試、考研,4.工程設(shè)計(jì)中需要注意的幾個(gè)問(wèn)題,1）鑒于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)相角裕度 和截止頻率 可以利用已知的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)確定，且由前面分析知， 和 的大小在很大程度上決定了系統(tǒng)的性能，因此工程上常用 和 來(lái)估算系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)。 2）控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，一般先根據(jù)控制要求提出閉環(huán)頻域指標(biāo) 和 ，再由 確定相交裕度 和選擇合適的截止頻率 ，然后根據(jù) 和 選擇校正網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)并確定參數(shù)。（研究開(kāi)環(huán)的意義） 3）為使得控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能，一般希望， 當(dāng)選定 后，可以進(jìn)而通過(guò)查圖法或者解析法獲得 ，再由 確定 和 。,例5-16,本章小結(jié),1.頻率特性的物理意義 2.典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖 3.開(kāi)環(huán)頻率特性作圖 Nyquist圖 Bode圖 4.頻域穩(wěn)定性判據(jù) Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（包圍、穿越、輔助線(xiàn)） 對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù) 增益裕量與相位裕量 5.閉環(huán)頻率特性 6.頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間的關(guān)系 7. 三段頻,考試、考研題型（重點(diǎn)