2019年中考數(shù)學總復習第三章變量與函數(shù)3.4二次函數(shù)試卷部分課件.pptx

1、第三章 變量與函數(shù) 3.4二次函數(shù),中考數(shù)學 (浙江專用),1.(2018杭州,9,3分)四位同學在研究函數(shù)y=x2+bx+c(b,c是常數(shù)),甲發(fā)現(xiàn)當x=1時,函數(shù)有最小值;乙發(fā)現(xiàn)-1是方程x2+bx+c=0的一個根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3;丁發(fā)現(xiàn)當x=2時,y=4.已知這四位同學中只有一位發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的,則該同學是() A.甲B.乙C.丙D.丁,考點一 二次函數(shù)解析式,A組 2014-2018年浙江中考題組,五年中考,答案B假設甲和丙發(fā)現(xiàn)的結論正確,則解得 該函數(shù)的解析式為y=x2-2x+4. 若-1是方程x2+bx+c=0的一個根,則x=-1是函數(shù)y=x2+bx+c的一個零點, 當x

2、=-1時,y=x2-2x+4=70, 乙發(fā)現(xiàn)的結論不正確. 當x=2時,y=x2-2x+4=4, 丁發(fā)現(xiàn)的結論正確. 四位同學中只有一位發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的, 假設成立.故選B.,2.(2017寧波,10,4分)拋物線y=x2-2x+m2+2(m是常數(shù))的頂點在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限,答案Ay=x2-2x+m2+2, y=(x-1)2+m2+1. 拋物線的頂點坐標為(1,m2+1). 又10,m2+10,頂點在第一象限. 故選A.,思路分析根據(jù)配方法得出頂點坐標,從而判斷出頂點所在的象限.,3.(2017紹興,8,4分)矩形ABCD的兩條對稱軸為坐標軸,點A的坐

3、標為(2,1).一張透明紙上畫有一個點和一條拋物線,平移透明紙,使紙上的點與點A重合,此時拋物線的函數(shù)表達式為y=x2,再次平移透明紙,使紙上的點與點C重合,則此時拋物線的函數(shù)表達式變?yōu)?) A.y=x2+8x+14B.y=x2-8x+14 C.y=x2+4x+3 D.y=x2-4x+3,答案A如圖,A(2,1),則可得C(-2,-1). 一點從A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4個單位,向下平移2個單位, 則所求表達式為y=(x+4)2-2= x2+8x+14, 故選A.,4.(2015寧波,11,4分)二次函數(shù)y=a(x-4)2-4(a0)的圖象在2x3這一段位于x軸的下方,

4、在6x7這一段位于x軸的上方,則a的值為() A.1B.-1C.2D.-2,答案A因為函數(shù)y=a(x-4)2-4(a0)圖象的對稱軸是x=4,又因為在2x3時函數(shù)圖象在x軸下方,所以在5x6時函數(shù)圖象也在x軸下方,又因為在6x7時函數(shù)圖象在x軸上方,所以函數(shù)圖象必過點(6,0),所以4a-4=0,即a=1.,解題關鍵巧妙利用二次函數(shù)圖象的對稱性是解決此題的關鍵.,5.(2016嘉興,14,5分)把拋物線y=x2先向右平移2個單位,再向上平移3個單位,平移后拋物線的表達式是.,答案y=(x-2)2+3,解析y=x2y=(x-2)2y=(x-2)2+3.,評析本題考查了二次函數(shù)圖象的平移.二次函數(shù)

5、平移的規(guī)律為“上加下減,左加右減”.,6.(2015嘉興、舟山,12,4分)把二次函數(shù)y=x2-12x化為形如y=a(x-h)2+k的形式:.,答案y=(x-6)2-36,解析y=x2-12x=x2-12x+36-36=(x-6)2-36.,7.(2015湖州,15,4分)如圖,已知拋物線C1:y=a1x2+b1x+c1和C2:y=a2x2+b2x+c2都經過原點,頂點分別為A,B,與x軸的另一交點分別為M,N. 如果點A與點B、點M與點N都關于原點O中心對稱,就稱拋物線C1和C2為姐妹拋物線.請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2,使四邊形ANBM恰好是矩形.你所寫的一對拋物線的函數(shù)表達式是.,答

6、案y=-x2+2x,y=x2+2x(答案不唯一),解析連接AB.根據(jù)姐妹拋物線的定義,可得姐妹拋物線所對應的二次函數(shù)的二次項的系數(shù)互為相反數(shù),一次項系數(shù)相等且不等于零,常數(shù)項都是零,設拋物線C1的解析式為y=ax2+bx, 根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得OA=OM. 又OA=MA,AOM是等邊三角形,取OM=2,則點A的坐標是(1,),點M的坐標為(2,0),可得C1 的解析式為y=-x2+2x,則拋物線C2的解析式為y=x2+2x. 故答案可為y=-x2+2x,y=x2+2x.,8.(2014杭州,15,4分)設拋物線y=ax2+bx+c(a0)過A(0,2),B(4,3),C三點,其中點

7、C在直線x=2上,且點C到拋物線的對稱軸的距離等于1,則拋物線的函數(shù)解析式為.,答案y=x2-x+2或y=-x2+x+2,解析把A(0,2),B(4,3)兩點的坐標代入y=ax2+bx+c(a0),可得c=2,16a+4b=1,由點C到拋物線對稱軸的距離等于1,可知拋物線的對稱軸是直線x=1或x=3,即-=1或-=3,由得 由得故所求解析式為y=x2-x+2或y=-x2+x+2.,9.(2018湖州,19,6分)已知拋物線y=ax2+bx-3(a0)經過點(-1,0),(3,0),求a,b的值.,解析把點(-1,0),(3,0)的坐標代入y=ax2+bx-3, 得解得即a的值為1,b的值為-2

8、.,10.(2016金華,23,10分)在平面直角坐標系中,點O為原點,平行于x軸的直線與拋物線L:y=ax2相交于A,B兩點(點B在第一象限),點D在AB的延長線上. (1)已知a=1,點B的縱坐標為2. 如圖1,向右平移拋物線L使該拋物線過點B,與AB的延長線交于點C,求AC的長; 如圖2,若BD=AB,過點B,D的拋物線L2的頂點M在x軸上,求該拋物線的函數(shù)表達式; (2)如圖3,若BD=AB,過三點O,B,D的拋物線L3的頂點為P,對應函數(shù)的二次項系數(shù)為a3,過點P作PEx軸交拋物線L于E,F兩點,求的值,并直接寫出的值.,解析(1)對于二次函數(shù)y=x2, 當y=2時,2=x2,解得x

9、1=,x2=-, AB=2. 平移得到的拋物線L1經過點B,BC=AB=2, AC=4. 如圖,記拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N, 根據(jù)拋物線的軸對稱性,得BN=DB=, OM=. 設拋物線L2的函數(shù)表達式為y=a2.,由及已知得,點B的坐標為(,2), 2=a2,解得a2=4. 拋物線L2的函數(shù)表達式為y=4, 即y=4x2-12x+18. (2)如圖,記拋物線L3與x軸交于點G,其對稱軸與x軸交于點Q,過點B作BKx軸于點K. 設OK=t,則BD=AB=2t,點B的坐標為(t,at2), 根據(jù)拋物線的軸對稱性,得OQ=2t,OG=2OQ=4t. 則拋物線L3的函數(shù)表達式為y=a3x(x

10、-4t), 該拋物線過點B(t,at2),at2=a3t(t-4t), 又t0,=-. =.,11.(2015紹興,21,10分)如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M(1,1),則稱此拋物線為定點拋物線. (1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目:請你寫出一條定點拋物線的一個解析式.小敏寫出了一個答案:y=2x2+3x-4.請你寫出一個不同于小敏的答案; (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題:已知定點拋物線y=-x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式.請你解答.,解析(1)不唯一,如y=x2-2x+2. (2)定點拋物線的頂點坐標為(b,c+b2+1),且-1+2b

11、+c+1=1, c=1-2b,頂點縱坐標c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1, 當b=1時,c+b2+1最小,即拋物線頂點縱坐標的值最小,此時c=-1, 拋物線的解析式為y=-x2+2x.,方法點撥解決新定義題目,一定要先審清題意.,1.(2018湖州,10,3分)在平面直角坐標系xOy中,已知點M,N的坐標分別為(-1,2),(2,1),若拋物線y=ax2-x+2(a0)與線段MN有兩個不同的交點,則a的取值范圍是() A.a-1或aD.a-1或a,考點二 二次函數(shù)的圖象與性質,答案A拋物線y=ax2-x+2恒過(0,2)點,且對稱軸為直線x=. 易得直線MN的解析式為y=-x+,

12、 由消去y得3ax2-2x+1=0, 0,a0時,若拋物線與線段MN有兩個交點, 則0,且當x=2時,y1,即4a-2+21,即a. 綜上所述,a-1或a.故選A.,2.(2017金華,6,4分)對于二次函數(shù)y=-(x-1)2+2的圖象與性質,下列說法正確的是() A.對稱軸是直線x=1,最小值是2 B.對稱軸是直線x=1,最大值是2 C.對稱軸是直線x=-1,最小值是2 D.對稱軸是直線x=-1,最大值是2,答案By=-(x-1)2+2, 拋物線開口向下,頂點坐標為(1,2),對稱軸為直線x=1, 當x=1時,y有最大值2, 故選B.,3.(2017麗水,8,3分)將函數(shù)y=x2的圖象用下列

13、方法平移后,所得的圖象不經過點A(1,4)的方法是() A.向左平移1個單位 B.向右平移3個單位 C.向上平移3個單位 D.向下平移1個單位,答案DA.平移后,得y=(x+1)2,圖象經過A點,故A不符合題意; B.平移后,得y=(x-3)2,圖象經過A點,故B不符合題意; C.平移后,得y=x2+3,圖象經過A點,故C不符合題意; D.平移后,得y=x2-1,圖象不經過A點,故D符合題意. 故選D.,關鍵提示本題主要考查了函數(shù)圖象的平移,解題的關鍵是熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減,上加下減.,4.(2017杭州,9,3分)設直線x=1是函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是實數(shù),且a1,則(

14、m-1)a+b0 B.若m1,則(m-1)a+b0 D.若m1,則(m+1)a+b0,答案C直線x=1是函數(shù)y=ax2+bx+c(aam2+bm+c, 即a(m2-1)+b(m-1)0;當m1時,(m+1)a+b0. 此題選C.,思路分析由a0和圖象的對稱軸可以確定函數(shù)的最大值,其他的函數(shù)值都比這個值小,由此可以得到一個不等式,進而求解.,5.(2016寧波,11,4分)已知函數(shù)y=ax2-2ax-1(a是常數(shù),a0),下列結論正確的是() A.當a=1時,函數(shù)圖象過點(-1,1) B.當a=-2時,函數(shù)圖象與x軸沒有交點 C.若a0,則當x1時,y隨x的增大而減小 D.若a0,則當x1時,y

15、隨x的增大而增大,答案D選項A,當a=1時,y=x2-2x-1,當x=-1時,y=2,即函數(shù)圖象不經過點(-1,1),錯誤;選項B,當 a=-2時,y=-2x2+4x-1,=42-4(-2)(-1)=80,即函數(shù)圖象與x軸有兩個交點,錯誤;選項C,二次函數(shù) y=ax2-2ax-1圖象的對稱軸為x=1,若a0,則拋物線開口向上,當x1時,y隨x的增大而增大,錯誤; 選項D,二次函數(shù)y=ax2-2ax-1圖象的對稱軸為x=1,若a0,則拋物線開口向下,當x1時,y隨x的 增大而增大,正確.故選D.,方法總結二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸交點的個數(shù)可以利用判別式=b2-4ac來判斷

16、,當0時,圖象與x軸有兩個交點;當=0時,圖象與x軸有一個交點;當0時,圖象與x軸沒有交點.二次函數(shù)的增減性要利用圖象開口方向和對稱軸的位置來確定.,6.(2016紹興,9,4分)拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過點A(2,6),且拋物線的對稱軸與線段y=0(1x3)有交點,則c的值不可能是() A.4B.6 C.8D.10,答案A拋物線過點A(2,6),4+2b+c=6,b=.拋物線的對稱軸與線段y=0(1x3) 有交點,1-3,-6b-2,即-6-2,解得6c14,則c的值不可能是4,故選A.,7.(2016湖州,9,3分)定義:若點P(a,b)在函數(shù)y=的圖象上,將以a為二次

17、項系數(shù),b為一次項系數(shù) 構造的二次函數(shù)y=ax2+bx稱為函數(shù)y=的一個“派生函數(shù)”.例如:點在函數(shù)y=的圖象 上,則函數(shù)y=2x2+x稱為函數(shù)y=的一個“派生函數(shù)”.現(xiàn)給出以下兩個命題: (1)存在函數(shù)y=的一個“派生函數(shù)”,其圖象的對稱軸在y軸的右側. (2)函數(shù)y=的所有“派生函數(shù)”的圖象都經過同一點. 下列判斷正確的是() A.命題(1)與命題(2)都是真命題 B.命題(1)與命題(2)都是假命題 C.命題(1)是假命題,命題(2)是真命題 D.命題(1)是真命題,命題(2)是假命題,答案C若點P(a,b)在y=的圖象上,則ab=10,-0,又二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象的對稱軸 為

18、x=-,所以y=的“派生函數(shù)”的圖象的對稱軸只能在y軸左側,故命題(1)是假命題;當x=0 時,y=ax2+bx=0,函數(shù)y=的所有“派生函數(shù)”的圖象都經過同一點(0,0),命題(2)是真命題.故選C.,8.(2016嘉興,10,4分)已知二次函數(shù)y=-(x-1)2+5,當mxn且mn0時,y的最小值為2m,最大值為 2n,則m+n的值為() A.B.2 C.D.,答案D由mn0得,m,n異號,結合mxn,得m為負數(shù),n為正數(shù). 二次函數(shù)y=-(x-1)2+5的圖象的開口向下,對稱軸為x=1,y最大=5.對于mxn,當0n1時,在x=n處y取最大值2n,即2n=-(n-1)2+5,解這個方程得

19、n=2(不滿足0n1,舍去); 當n1時,y最大=5=2n,即n=2.5;y最小=-(m-1)2+5=2m,即m1=-2,m2=2(不合題意,舍去),m+n=(-2)+2.5=,故選D.,關鍵提示本題考查了二次函數(shù)的圖象、性質及分類討論的思想.按照題意,得出m,n的取值范圍,并按n的取值分類討論是解決本題的關鍵.,9.(2016溫州,10,4分)如圖,在ABC中,ACB=90,AC=4,BC=2.P是AB邊上一動點,PDAC于點D,點E在P的右側,且PE=1,連接CE.P從點A出發(fā),沿AB方向運動,當E到達點B時,P停止運動.在整個運動過程中,圖中陰影部分面積S1+S2的大小變化情況是() A

20、.一直減小 B.一直不變 C.先減小后增大D.先增大后減小,答案C作CFAB于F.在RtABC中,ACB=90,BC=2,AC=4, AB=2,CF=.易知APDABC. 設PD=x,則AD=2x,AP=x,BE=2-1-x, S1=x2,S2=(2-1-x)=4-2x, S1+S2=x2-2x+4-=(x-1)2+3-. 根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質可知,當x1時,S1+S2隨x增大而增大.故選C.,關鍵提示這是一道關于面積變化的題目,需設立變量表示出面積,進而利用相關函數(shù)性質解題.,10.(2015杭州,10,3分)設二次函數(shù)y1=a(x-x1)(x-x2)(a0,x1x2)的圖象與一次函數(shù)y

21、2=dx+e(d0)的圖象交于點(x1,0),若函數(shù)y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點,則() A.a(x1-x2)=dB.a(x2-x1)=d C.a(x1-x2)2=dD.a(x1+x2)2=d,答案B一次函數(shù)y2=dx+e(d0)的圖象經過點(x1,0),0=dx1+ee=-dx1.y2=dx-dx1=d(x- x1).y=y1+y2=a(x-x1)(x-x2)+d(x-x1)=(x-x1)a(x-x2)+d.又二次函數(shù)y1=a(x-x1)(x-x2)(a0,x1x2)的圖象與一次函數(shù)y2=dx+e(d0)的圖象交于點(x1,0),函數(shù)y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點, 函數(shù)y

22、=y1+y2是二次函數(shù),且它的頂點在x軸上,即y=y1+y2=a(x-x1)2.(x-x1)a(x-x2)+d=a(x-x1)2 a(x-x2)+d=a(x-x1),整理得a(x2-x1)=d.故選B.,11.(2015嘉興、舟山,10,3分)如圖,拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點A(a,0)和B(b,0),交y軸于點C,拋物線的頂點為D.下列四個命題:當x0時,y0;若a=-1,則b=4;拋物線上有兩點P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x12,則y1y2;點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E,點G,F分別在x軸和y軸上,當m=2時,四邊形EDFG周長的最小值為6.其中真命題的序號是(

23、) A.B. C.D.,答案Cy=-x2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2, 可知拋物線對稱軸為直線x=1. 當xb時,y2,且x1y2.故正確. 當m=2時,y=-(x-1)2+4,D(1,4),E(2,3). 又G,F分別在x軸和y軸上, 由軸對稱的性質可得,D(1,4)關于y軸的對稱點為D(-1,4),E(2,3)關于x軸的對稱軸為點E(2,-3),連接DE與x軸交于點G,與y軸交于點F,此時四邊形EDFG的周長最小. D(-1,4),E(2,-3),DE=, 又DE=,四邊形EDFG的周長的最小值=DE+DE=+,故錯.故選C.,關鍵提示此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質及軸對稱的性質

24、,確定最短周長的問題中找到符合條件的點G,F是關鍵.,12.(2014嘉興,10,4分)當-2x1時,二次函數(shù)y=-(x-m)2+m2+1可取到的最大值為4,則實數(shù)m的值為() A.- B.或- C.2或-D.2或-或-,答案C由已知得,二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=m, 若m1,則當x=1時,y取最大值, 則-(1-m)2+m2+1=4,解得m=2. 綜上所述,m的值為2或-.故選C.,13.(2014寧波,12,4分)已知點A(a-2b,2-4ab)在拋物線y=x2+4x+10上,則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為() A.(-3,7)B.(-1,7) C.(-4,10)D.(0,10)

25、,答案D點A(a-2b,2-4ab)在拋物線y=x2+4x+10上, (a-2b)2+4(a-2b)+10=2-4ab, a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab, (a+2)2+4(b-1)2=0, a+2=0,b-1=0,解得a=-2,b=1, a-2b=-2-21=-4, 2-4ab=2-4(-2)1=10,點A的坐標為(-4,10). 對稱軸為直線x=-=-2, 點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為(0,10).故選D.,14.(2018湖州,15,4分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx(a0)的頂點為C,與x軸的正半軸交于點A,它的對稱軸與拋物線y=

26、ax2(a0)交于點B.若四邊形ABOC是正方形,則b的值是.,答案-2,解析四邊形ABOC是正方形, AO與BC相互垂直平分且相等. 拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=-, 點B的坐標為. 把B的坐標代入y=ax2中, 得-=a,即b2+2b=0, b0,b=-2. 故b=-2.,15.(2015衢州,16,4分)如圖,已知直線y=-x+3分別交x軸、y軸于點A、B,P是拋物線y=-x2+2x+ 5的一個動點,其橫坐標為a,過點P且平行于y軸的直線交直線y=-x+3于點Q,則當PQ=BQ時,a 的值是.,答案-1或4或4+2或4-2,解析P是拋物線上一動點,Q在直線y=-x+3上,當P

27、Q=BQ時,P,Q所在位置不唯一,有如圖所示 4種情況. 設點P的坐標為, 則點Q為,又易知點B為(0,3), BQ=|a|, PQ=,PQ=BQ, |a|=, 即-a2+a+2=a或-a2+a+2=-a, 整理得a2-3a-4=0或a2-8a-4=0, 解得a1=-1,a2=4,a3=4+2,a4=4-2.,思路分析設出點P的坐標,進而表示出PQ、BQ的長度,然后根據(jù)PQ=BQ列方程求解.,16.(2018溫州,21,10分)如圖,拋物線y=ax2+bx(a0)交x軸正半軸于點A,直線y=2x經過拋物線的頂點M.已知該拋物線的對稱軸為直線x=2,交x軸于點B. (1)求a,b的值; (2)P

28、是第一象限內拋物線上的一點,且在對稱軸的右側,連接OP,BP.設點P的橫坐標為m,OBP的面積為S,記K=,求K關于m的函數(shù)表達式及K的范圍.,解析(1)將x=2代入y=2x,得y=4, M(2,4), 由題意得 (2)如圖,過點P作PHx軸于點H, 點P的橫坐標為m,拋物線的解析式為y=-x2+4x, PH=-m2+4m.,B(2,0),OB=2, S=OBPH =2(-m2+4m) =-m2+4m, K=-m+4, K隨著m的增大而減小. 易得A(4,0), 又M(2,4),2m4. 0K2.,思路分析(1)根據(jù)已知求得點M(2,4),由點M為拋物線的頂點列出關于a、b的方程組,求解即;

29、(2)作PHx軸于H,根據(jù)三角形的面積公式求得S=-m2+4m,根據(jù)K=可得K關于m的函數(shù)解析 式,再結合點P的位置得出m的范圍,利用一次函數(shù)的性質可得結果.,方法總結本題主要考查拋物線的性質,解題的關鍵是用待定系數(shù)法求拋物線解析式及一次函數(shù)的性質的應用.,17.(2018金華,22,10分)如圖,拋物線y=ax2+bx(a0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上,設A(t,0),當t=2時,AD=4. (1)求拋物線的函數(shù)表達式; (2)當t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少? (3)保持t=2時的矩形ABCD不動,向右

30、平移拋物線,當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線GH平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.,解析(1)設拋物線的函數(shù)表達式為y=ax(x-10). 當t=2時,AD=4,點D的坐標為(2,4), 4=a2(2-10),解得a=-, 拋物線的函數(shù)表達式為y=-x2+x. (2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t,AB=10-2t. 當x=t時,AD=-t2+t. 矩形ABCD的周長=2(AB+AD)=2 =-(t-1)2+. -0, 當t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,最大值是. (3)當t=2時,點A,B,C,D的坐標分別為(2,0),(8,0),(8,4),(2,4), 矩形

31、ABCD對角線的交點P的坐標為(5,2).,當平移后的拋物線過點A時,點H的坐標為(4,4),此時GH不能將矩形面積平分. 當平移后的拋物線過點C時,點G的坐標為(6,0),此時GH也不能將矩形面積平分. 當G,H中有一點落在線段AD或BC上時,直線GH不可能將矩形面積平分, 當點G,H分別落在線段AB,DC上時,直線GH過點P,必平分矩形ABCD的面積. ABCD, 線段OD平移后得到線段GH, 線段OD的中點Q平移后的對應點是P. 在OBD中,PQ是中位線, PQ=OB=4. 拋物線向右平移的距離是4個單位.,18.(2017杭州,22,12分)在平面直角坐標系中,設二次函數(shù)y1=(x+a

32、)(x-a-1),其中a0. (1)若函數(shù)y1的圖象經過點(1,-2),求函數(shù)y1的表達式; (2)若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與y1的圖象經過x軸上同一點,探究實數(shù)a,b滿足的關系式; (3)已知點P(x0,m)和Q(1,n)在函數(shù)y1的圖象上.若mn,求x0的取值范圍.,解析(1)由題意知(1+a)(1-a-1)=-2,即a(a+1)=2, 因為y1=x2-x-a(a+1), 所以y1=x2-x-2. (2)由題意知,函數(shù)y1的圖象與x軸交于點(-a,0)和(a+1,0). 當y2的圖象過點(-a,0)時,得a2-b=0; 當y2的圖象過點(a+1,0)時,得a2+a+b=0. (3)由

33、題意知,函數(shù)y1的圖象的對稱軸為直線x=, 所以點Q(1,n)與點(0,n)關于直線x=對稱. 又因為函數(shù)y1的圖象開口向上, 所以當mn時,0x01.,關鍵提示解決第(3)問需確定函數(shù)y1圖象的對稱軸和開口方向.,19.(2015溫州,23,12分)如圖,拋物線y=-x2+6x交x軸正半軸于點A,頂點為M,對稱軸MB交x軸于點B,過點C(2,0)作射線CD交MB于點D(D在x軸上方),OECD交MB于點E,EFx軸交CD于點F,作直線MF. (1)求點A,M的坐標; (2)當BD為何值時,點F恰好落在該拋物線上? (3)當BD=1時, 求直線MF的解析式,并判斷點A是否落在該直線上; 延長O

34、E交FM于點G,取CF中點P,連接PG,FPG,四邊形DEGP,四邊形OCDE的面積分別記為S1,S2,S3,則S1S2S3=.,解析(1)令y=0,則-x2+6x=0,解得x1=0,x2=6, A(6,0),對稱軸是直線x=3, M(3,9). (2)OECF,OCEF,C(2,0), EF=OC=2,BC=1.點F的橫坐標為5. 點F落在拋物線y=-x2+6x上, F(5,5),BE=5. =,DE=2BD, BE=3BD,BD=. (3)當BD=1時,BE=3, F(5,3). 設MF的解析式為y=kx+b, 將M(3,9),F(5,3)代入,得解得,y=-3x+18.當x=6時,y=-

35、36+18=0, 點A落在直線MF上. 348.,評析本題主要考查二次函數(shù)與幾何問題的綜合,主要涉及二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標,點是否在拋物線上,函數(shù)與方程綜合等知識點.,20.(2014紹興,22,12分)如果二次函數(shù)的二次項系數(shù)為1,則此二次函數(shù)可表示為y=x2+px+q,我們稱p,q為此函數(shù)的特征數(shù),如函數(shù)y=x2+2x+3的特征數(shù)是2,3. (1)若一個函數(shù)的特征數(shù)為-2,1,求此函數(shù)圖象的頂點坐標; (2)探究下列問題: 若一個函數(shù)的特征數(shù)為4,-1,將此函數(shù)的圖象先向右平移1個單位,再向上平移1個單位,求得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù); 若一個函數(shù)的特征數(shù)為2,3,問此函數(shù)的圖象

36、經過怎樣的平移,才能使得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)為3,4?,解析(1)由題意得特征數(shù)為-2,1的函數(shù)解析式為y=x2-2x+1=(x-1)2, 函數(shù)圖象的頂點坐標為(1,0). (2)特征數(shù)為4,-1的函數(shù)為y=x2+4x-1,即y=(x+2)2-5, 函數(shù)圖象先向右平移1個單位,再向上平移1個單位, 平移后的解析式為y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3, 特征數(shù)為2,-3. 特征數(shù)為2,3的函數(shù)為y=x2+2x+3,即y=(x+1)2+2, 特征數(shù)為3,4的函數(shù)為y=x2+3x+4,即y=+, 所求平移為先向左平移個單位,再向下平移個單位.,評析本題是新定義下的二次函數(shù)圖象的

37、平移問題,考查了學生的閱讀和理解能力,難度適中.,1.(2015金華,8,3分)圖2是圖1中拱形大橋的示意圖,橋拱與橋面的交點為O,B,以點O為原點,水平直線OB為x軸,建立平面直角坐標系,橋拱可以近似看成拋物線y=-(x-80)2+16,橋拱與橋 墩AC的交點C恰好在水面,有ACx軸.若OA=10米,則橋面離水面的高度AC為() A.16米B.米C.16米D.米,考點三 二次函數(shù)綜合,答案B把x=-10代入y=-(x-80)2+16得,y=-,故選B.,2.(2016臺州,16,5分)豎直上拋的小球離地高度是它運動時間的二次函數(shù).小軍相隔1秒依次豎直向上拋出兩個小球.假設兩個小球離手時離地高

38、度相同,在各自拋出后1.1秒時到達相同的最大離地高度.第一個小球拋出后t秒時在空中與第二個小球的離地高度相同,則t=.,答案1.6,解析各自拋出后1.1秒時到達相同的最大離地高度,設這個最大高度為h,又設小球拋出后時間為x秒,高度為y,則y=a(x-1.1)2+h.由題意,得a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,解得t=1.6.故第一個小球拋出后1.6秒時在空中與第二個小球的離地高度相同.故填1.6.,方法指導先構建二次函數(shù),再利用方程思想解決問題.,3.(2017溫州,16,5分)小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖1).完全開啟后,水流路線呈拋物線,把手端點A、出水口B

39、和落水點C恰好在同一直線上,點A到出水管BD的距離為12 cm,洗手盆及水龍頭的相關數(shù)據(jù)如圖2所示,現(xiàn)用高10.2 cm的圓柱形水杯去接水,若水流所在拋物線經過點D和杯子上底面中心E,則點E到洗手盆內側的距離EH為cm.,答案24-8,解析如圖所示,建立直角坐標系,過A作AGOC于G,交BD于Q,過M作MPAG于P, 由題可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36, 在RtAPM中,MP=8,故DQ=OG=MP=8, BQ=12-8=4, 由BQCG可得,ABQACG, =,即=, CG=12,OC=12+8=20,C(20,0), 水流所在拋物線經過點D(0,24), 可設拋物

40、線為y=ax2+bx+24, 把C(20,0),B(12,24)代入拋物線解析式, 可得解得 拋物線的解析式為y=-x2+x+24, 又點E的縱坐標為10.2, 令y=10.2,則10.2=-x2+x+24, 解得x1=6+8,x2=6-8(舍去), 點E的橫坐標為6+8, 又ON=30, EH=30-(6+8)=24-8.,即點E到洗手盆內側的距離EH為(24-8)cm.,思路分析先建立合適的平面直角坐標系,再作輔助線構造相似三角形,由此可求得C點坐標,進而結合D、B坐標確定拋物線的表達式,從而得到點E的坐標,求得EH.,4.(2016衢州,15,4分)某農場擬建三間長方形種牛飼養(yǎng)室,飼養(yǎng)室

41、的一面靠墻(墻長50 m),中間用兩道墻隔開(如圖).已知計劃中的建筑材料可建墻的總長度為48 m,則這三間長方形種牛飼養(yǎng)室的總占地面積的最大值為m2.,答案144,解析如圖,設總占地面積為S m2,CD的長度為x m,由題意知AB=CD=EF=GH=x m,BH=(48- 4x)m,易知0x12,S=ABBH=x(48-4x)=-4(x-6)2+144,當x=6時,S取得最大值,最大值為144.,方法點撥解決此類題時,需根據(jù)題意建立函數(shù)關系,進而利用相應函數(shù)性質求解.,5.(2018杭州,22,12分)設二次函數(shù)y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常數(shù),a0). (1)判斷該二次函數(shù)圖象與

42、x軸的交點的個數(shù),說明理由; (2)若該二次函數(shù)圖象經過A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三個點中的其中兩個點,求該二次函數(shù)的表達式; (3)若a+b0)在該二次函數(shù)圖象上,求證:a0.,解析(1)該二次函數(shù)圖象與x軸的交點有兩個或一個. 理由如下: 由題意得=b2-4a-(a+b)=b2+4ab+4a2=(2a+b)20, 該二次函數(shù)圖象與x軸的交點有兩個或一個. (2)當x=1時,y=a+b-(a+b)=0, 該函數(shù)圖象不經過點C. 把點A(-1,4),B(0,-1)分別代入二次函數(shù)的表達式得 解得 該二次函數(shù)的表達式為y=3x2-2x-1. (3)證明:當x=2時,m=4a+2

43、b-(a+b)=3a+b0, a+b0, 相加得2a0, a0.,思路分析(1)利用判別式進行判斷. (2)當x=1時,y=0,所以函數(shù)圖象不過點C,故圖象過點A、B,將A、B兩點坐標分別代入函數(shù)表達式,解方程組即可. (3)用a、b表示m,由m的范圍結合a+b0.,方法總結本題考查了二次函數(shù)圖象的性質及數(shù)形結合思想.解答時,注意將相關的點的坐標代入表達式.,6.(2018溫州,23,10分)溫州某企業(yè)安排65名工人生產甲、乙兩種產品,每人每天生產2件甲或1件乙,甲產品每件可獲利15元.根據(jù)市場需求和生產經驗,乙產品每天產量不少于5件,當每天生產5件時,每件可獲利120元,每增加1件,當天平均

44、每件利潤減少2元.設每天安排x人生產乙產品. (1)根據(jù)信息填表:,(2)若每天生產甲產品可獲得的利潤比生產乙產品可獲得的利潤多550元,求每件乙產品可獲得的利潤; (3)該企業(yè)在不增加工人的情況下,增加生產丙產品,要求每天甲、丙兩種產品的產量相等.已知每人每天可生產1件丙(每人每天只能生產一種產品),丙產品每件可獲利30元,求每天生產三種產品可獲得的總利潤W(元)的最大值及相應x的值.,解析(1)由已知得,每天安排x人生產乙產品時,生產甲產品的有(65-x)人,共生產甲產品2(65-x)件,在乙產品每件獲利120元的基礎上,增加(x-5)件乙產品,則當天平均每件獲利減少2(x-5)元,則乙產

45、品的每件利潤為(130-2x)元. (2)由題意得152(65-x)=x(130-2x)+550, x2-80 x+700=0, 解得x1=10,x2=70(不符合題意,舍去), 130-2x=110, 每件乙產品可獲得的利潤是110元. (3)設生產甲產品的工人有m人, 則W=x(130-2x)+152m+30(65-x-m) =-2(x-25)2+3 200. 2m=65-x-m,m=. x、m都是非負整數(shù), 取x=26,此時m=13,65-x-m=26,即當x=26時,W最大值=3 198. 安排26人生產乙產品時,可獲得的總利潤最大,為 3 198元.,思路分析(1)根據(jù)題意列代數(shù)式即

46、可; (2)根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)表示出每天生產甲、乙產品獲得的利潤,根據(jù)題意列方程即可; (3)根據(jù)每天甲、丙兩種產品的產量相等得到m與x之間的關系式,用x表示出總利潤,利用二次函數(shù)的性質求最值.,7.(2018嘉興,23,10分)已知,點M為二次函數(shù)y=-(x-b)2+4b+1圖象的頂點,直線y=mx+5分別交x軸正半軸,y軸于點A,B. (1)判斷頂點M是否在直線y=4x+1上,并說明理由. (2)如圖1,若二次函數(shù)圖象也經過點A,B,且mx+5-(x-b)2+4b+1,根據(jù)圖象,寫出x的取值范圍. (3)如圖2,點A坐標為(5,0),點M在AOB內,若點C,D都在二次函數(shù)圖象上,試比較 y1

47、與y2的大小.,解析(1)點M坐標是(b,4b+1), 把x=b代入y=4x+1中,得y=4b+1, 點M在直線y=4x+1上. (2)如圖,直線y=mx+5與y軸交于點B,點B的坐標為(0,5).,圖,又B(0,5)在拋物線上, 5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2, 二次函數(shù)的表達式為y=-(x-2)2+9, 當y=0時,得x1=5,x2=-1(舍),A(5,0).,觀察圖象可得,當m+5-(x-b)2+4b+1時, x的取值范圍為x5. (3)如圖,設直線y=4x+1與直線AB交于點E,與y軸交于點F,圖,解方程組得 點E,易得F(0,1),點M在AOB內,0y2; 當b=時,y1=

48、y2; 當b時,y1y2.,8.(2018衢州,23,10分)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3米處達到最高,高度為5米,且各方向噴出的水柱恰好在水池中心的裝飾物處匯合,如圖所示,以水平方向為x軸,噴水池中心為原點建立直角坐標系. (1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式; (2)王師傅在水池內維修設備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內? (3)經檢修評估,游樂園決定對噴水設施做如下設計改進:在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴大到32米,各方向噴出的水柱仍

49、在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請?zhí)骄繑U建改造后水柱的最大高度.,解析(1)由題意可知拋物線的頂點為(3,5),設y=a(x-3)2+5, 將(8,0)代入得a=-, y=-(x-3)2+5(0x8). (2)當y=1.8時,1.8=-(x-3)2+5, 可得x1=7,x2=-1(舍去), 所以王師傅必須站在離水池中心7米以內. (3)由y=-(x-3)2+5可得原拋物線與y軸的交點為, 裝飾物高度不變,新拋物線也過點. 噴出水柱的形狀不變,a=-. 直徑擴大到32米,新拋物線過點(16,0). 設新拋物線解析式為y新=-x2+bx+c,將和(16,0)代入,解得b=3,c=,

50、y新=-x2+3x+=-+. 當x=時,y新=. 答:擴建改造后噴水池水柱的最大高度為(或14.45)米.,9.(2017溫州,22,10分)如圖,過拋物線y=x2-2x上一點A作x軸的平行線,交拋物線于另一點B,交y 軸于點C.已知點A的橫坐標為-2. (1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標; (2)在AB上任取一點P,連接OP,作點C關于直線OP的對稱點D. 連接BD,求BD的最小值; 當點D落在拋物線的對稱軸上,且在x軸上方時,求直線PD的函數(shù)表達式.,解析(1)對稱軸是直線x=-=-=4. 點A,B關于直線x=4對稱,點A的橫坐標為-2, 點B的橫坐標為10. 當x=10時,y=5, 點B

51、的坐標為(10,5). (2)如圖,連接OD,OB. 點C,D關于直線OP對稱, OD=OC=5. OD+BDOB,BDOB-OD=5-5, 當點D在線段OB上時,BD有最小值5-5.,如圖,連接OD,設拋物線的對稱軸交x軸于點F,交BC于點H. OD=5,OF=4,DF=3, D(4,3),DH=HF-DF=2. 設CP=a,則PD=PC=a,PH=4-a,在RtPHD中,(4-a)2+22=a2, a=,P. 設直線PD的函數(shù)表達式為y=kx+b(k0), 解得 直線PD的函數(shù)表達式為y=-x+.,10.(2016杭州,20,10分)把一個足球垂直于水平地面向上踢,時間為t(秒)時該足球距

52、離地面的高度h(米)適用公式h=20t-5t2(0t4). (1)當t=3時,求足球距離地面的高度; (2)當足球距離地面的高度為10米時,求t的值; (3)若存在實數(shù)t1和t2(t1t2),當t=t1或t2時,足球距離地面的高度都為m(米),求m的取值范圍.,解析(1)當t=3時,h=20t-5t2=203-59=15, 所以,此時足球離地面的高度為15米. (2)由題意知h=10,所以20t-5t2=10, 即t2-4t+2=0,解得t=2+或t=2-. 所以,經過(2+)或(2-)秒時,足球距離地面的高度為10米. (3)因為m0,由題意得t1和t2是方程20t-5t2=m的兩個不相等的

53、實數(shù)根,所以=b2-4ac=202-20m0,所以m20. 所以m的取值范圍是0m20.,11.(2016杭州,22,12分)已知函數(shù)y1=ax2+bx,y2=ax+b(ab0).在同一平面直角坐標系中: (1)若函數(shù)y1的圖象過點(-1,0),函數(shù)y2的圖象過點(1,2),求a,b的值; (2)若函數(shù)y2的圖象經過y1的圖象的頂點. 求證:2a+b=0; 當1x時,比較y1與y2的大小.,解析(1)由題意,得解得 所以a=1,b=1. (2)證明:因為函數(shù)y1的圖象的頂點坐標為, 所以a+b=,即b=, 因為ab0,所以-b=2a,所以2a+b=0. 因為b=-2a,所以y1=ax(x-2)

54、,y2=a(x-2), 所以y1-y2=a(x-2)(x-1). 因為10,所以(x-2)(x-1)0時,a(x-2)(x-1)0,即y1y2.,12.(2016紹興,21,10分)課本中有一個例題: 有一個窗戶形狀如圖1,上部是一個半圓,下部是一個矩形.如果制作窗框的材料總長為6 m,如何設計這個窗戶,使透光面積最大? 這個例題的答案是:當窗戶半圓的半徑約為0.35 m時,透光面積的最大值約為1.05 m2. 我們如果改變這個窗戶的形狀,上部改為由兩個正方形組成的矩形,如圖2,材料總長仍為6 m.利用圖3,解答下列問題: (1)若AB為1 m,求此時窗戶的透光面積; (2)與課本中的例題比較

55、,改變窗戶形狀后,窗戶透光面積的最大值有沒有變大?請通過計算說明.,解析(1)由已知得AD=,S=m2. (2)窗戶透光面積的最大值變大.理由: 設AB=x m,則AD=3-x,3-x0,01.05. 與課本中的例題比較,現(xiàn)在窗戶透光面積的最大值變大.,方法點撥解決面積最值問題一般需建立二次函數(shù)模型.,方法總結建立函數(shù)模型解決最值問題的基本步驟: (1)選擇與問題相關的、簡單合適的變量,將這個變量設為未知數(shù); (2)用所設的未知數(shù)表示問題所需的邊或角; (3)列函數(shù)關系式; 列函數(shù)關系式常用的方法有:用勾股定理列函數(shù)關系式;用幾何圖形的面積公式(三角形的面積公式、平行四邊形的面積公式)列函數(shù)關

56、系式;用三角形的邊角關系和三角函數(shù)知識列函數(shù)關系式;用相似三角形對應邊成比例列出函數(shù)關系式. (4)根據(jù)函數(shù)的增減性求最大或最小值.,13.(2016湖州,23,10分)如圖,已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經過點A(3,1),點C(0,4),頂點為點M.過點A作ABx軸, 交y軸于點D,交該二次函數(shù)圖象于點B,連接BC. (1)求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標; (2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移m(m0)個單位,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在ABC的內部(不包括ABC的邊界),求m的取值范圍; (3)點P是直線AC上的動點,若點P,點C,點M所構成的三角形與BCD

57、相似,請所有點P 的坐標(直接寫出結果,不必寫解答過程).,解析(1)由二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經過點A(3,1),點C(0,4), 得解得(2分) 二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+4,(3分) 由配方,得y=-(x-1)2+5, 點M的坐標為(1,5).(4分) (2)設表示直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+n(k,n都為常數(shù)且k0), 直線AC過點A(3,1),C(0,4),解得 直線AC的函數(shù)解析式為y=-x+4.(5分) 結合圖象,得拋物線的對稱軸x=1與ABC兩邊分別交于點E(1,3),F(1,1), 2m4.(7分),(3)符合題意的點P有4個,分別為P1(-3,7),

58、P2(3,1),P3,P4.(10分),思路分析本題是二次函數(shù)的綜合題,第(1)問:用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,進而配方得頂點坐標;第(2)問:求出ABC與拋物線對稱軸x=1的交點,進而得m的范圍;第(3)問:關注相似三角形的對應邊和對應角,由此進行分類討論.,14.(2016麗水,23,10分)如圖1,地面BD上兩根等長立柱AB,CD之間懸掛一根近似成拋物線y =x2-x+3的繩子. (1)求繩子最低點離地面的距離; (2)因實際需要,在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子(如圖2),使左邊拋物線F1的最低點距MN為1米,離地面1.8米,求MN的長; (3)將立柱MN的長度提升為3

59、米,通過調整MN的位置,使拋物線F2對應函數(shù)的二次項系數(shù)始終為.設MN離AB的距離為m,拋物線F2的頂點離地面距離為k,當2k2.5時,求m的取值范圍.,解析(1)a=0,拋物線頂點為最低點, y=x2-x+3=(x-4)2+, 繩子最低點離地面的距離為米. (2)由(1)可知,BD=8,令x=0,得y=3,A(0,3),C(8,3). 由題意得:拋物線F1的頂點坐標為(2,1.8). 設F1的解析式為y=a(x-2)2+1.8(a0). 將(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3, 拋物線F1的解析式為y=0.3(x-2)2+1.8. 當x=3時,y=0.31+1.8=2.1,MN的長度為2.1米. (3)MN=CD=3,根據(jù)拋物線的對稱性可知拋物線F2的頂點在ND的垂直平分線上, 拋物線F2的頂點坐標為, 拋物線F2的解析式為y=+k.,把C(8,3)代入,得+k=3, k=-+3, k=-(m-8)2+3,k是關于m的二次函數(shù). 又m8,k隨m的增大而增大. 當k=2時,-(m-8)2+3=2,解得m1=4,m2=12(不符合題意,舍去). 當k=2.5時,-(m-8)2+3=2.5,解得m1=8-2,m2=8+2(不符合題