數(shù)學(xué)(理)：專題4.2+等差數(shù)列與等比數(shù)列(解析版)

1、2017年高考備考之3年高考2年模擬1年原創(chuàng)【三年高考】1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,則 （ ）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【答案】C2【2016年高考四川理數(shù)】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( )（參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年【答案】B【解析】設(shè)第年的研發(fā)投資資金為，

2、則，由題意，需，解得，故從2019年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過200萬，選B.3【2016年高考北京理數(shù)】已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則_.【答案】6【解析】是等差數(shù)列，故填：64【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2 an的最大值為 【答案】5【2016高考江蘇卷】已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若，則的值是 .【答案】【解析】由得，因此6. 【2015高考重慶，理2】在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=（）A、-1 B、0 C、1 D、6【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，選B.7.【2015高考安徽，理14】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，則數(shù)列

3、的前項(xiàng)和等于 .【答案】【解析】由題意，解得或者，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項(xiàng)和 .8.【2015江蘇高考，20】設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列（1）證明：依次成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由.（3）假設(shè)存在，及正整數(shù)，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以及，并令（，），則，且將上述兩個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)，得，且化簡(jiǎn)得，且再將這兩式相除，化簡(jiǎn)得（）令，則令，則令，則令，則由，知，在和上均單調(diào)故只有唯一零點(diǎn)，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立所以不存在，及正整數(shù)，使得，

4、依次構(gòu)成等比數(shù)列9.【2015高考天津，理18】已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(I)求的值和的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. (II) 由(I)得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，兩式相減得，整理得所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.10. 【2014高考廣東卷理第13題】若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 .【答案】.【解析】由題意知，所以，因此，因此.11【2014高考安徽卷理第12題】數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則_.【答案】12【2014高考四川第16題】設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）.（1）若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的

5、前項(xiàng)和.【解析】據(jù)題設(shè)可得.（1），所以.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題, 對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的考查，主要以等差數(shù)列和等比數(shù)列為素材，圍繞著等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用設(shè)計(jì)試題，而等差數(shù)列和等比數(shù)列在公式和性質(zhì)上有許多相似性，是高考必考內(nèi)容，著重考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算、基本技能和基本思想方法，題型不僅有選擇題、填空題、還有解答題，題目難度中等【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】由前三年的高考命題形式可以看出 ,對(duì)于等差與等比數(shù)列的綜合考查也頻頻出現(xiàn)考查的目的在于測(cè)試考生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”就集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上在解答題中，有

6、的考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和知識(shí)，屬于中檔題，有的與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)結(jié)合考查，難度較大等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定，可能會(huì)在解答題中的第一問，或者滲透在解題過程中.等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以小題形式或者在解答題中考查，是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的瓶頸，要熟練掌握.等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用，主要以選擇或者填空的形式考查，難度較低對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的考查，直接考查或者通過轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列后的考查在2017年對(duì)數(shù)列的復(fù)習(xí)，除了加強(qiáng)“三基”訓(xùn)練，同時(shí)要緊密注意與函數(shù)、不等式、解析幾何結(jié)合的解答題故預(yù)測(cè)2017年高考可能以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本性質(zhì)為主要考查

7、點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生基本運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸能力，試題難度中等.【2017年高考考點(diǎn)定位】高考對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的考查有四種主要形式：一是考察等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定，主要以定義為主；二是考察通項(xiàng)公式，直接求或者轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列后再求；三是對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的考查；第四是求和【考點(diǎn)1】等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定【備考知識(shí)梳理】1等差數(shù)列的判定：（為常數(shù)）；（為常數(shù)）；（為常數(shù)）其中用來證明方法的有2.等比數(shù)列的判定：（）；（）；其中用來證明方法的有【規(guī)律方法技巧】判斷等差數(shù)列和等差數(shù)列的判斷方法：判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列，可以先計(jì)算特殊的幾項(xiàng)，觀察其特征，歸納出等差數(shù)列或者等比數(shù)列

8、的結(jié)論，證明應(yīng)該首先考慮其通項(xiàng)公式，利用定義或者等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)來證明，利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和只是作為判斷方法，而不是證明方法，把對(duì)數(shù)列特征的判定滲透在解題過程中，可以幫助拓展思維和理思路【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【2016年安徽淮北高三考前質(zhì)量檢測(cè)】如圖，已知點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，為邊的一列點(diǎn)，滿足，其中實(shí)數(shù)列中，則的通項(xiàng)公式為（ ）A B C D【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，所以?shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故選D2. 【2016屆石家莊市高三二模】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則使取得最大值時(shí)的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考點(diǎn)2】等差數(shù)列

9、和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和【備考知識(shí)梳理】1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： ，2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：，3等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn=4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；當(dāng)q1時(shí)，Sn= Sn=5.當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列遞增；當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列遞減；當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列為常數(shù)列6. 對(duì)于等比數(shù)列：an=a1qn1.可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解.當(dāng)a10，q1或a10，0q1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)a10，0q1或a10，q1時(shí)，等比數(shù)列an是遞減數(shù)列.當(dāng)q=1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列.當(dāng)q0時(shí)，無法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列.【規(guī)律方法技巧】1 等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)

10、公式有兩個(gè)，一個(gè)表示的是項(xiàng)與首項(xiàng)關(guān)系和；另一個(gè)表示的是數(shù)列任意兩項(xiàng)的關(guān)系和，有時(shí)候選擇后組，可以很快求出答案2 滿足或者的數(shù)列為等差數(shù)列；滿足或者的數(shù)列為等比數(shù)列3 等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)元素（或）、，“知三求二”是等差（等比）的基本題型，通過解方程的方法達(dá)到解題的目的【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【2016年河南鄭州高三第二次聯(lián)考】設(shè)數(shù)列滿足，且，則的值是（ ）A B C D【答案】D.2. 【2016屆淮南市高三.二?！?已知數(shù)列滿足：，且，則前10項(xiàng)和等于（ ）A B C D【答案】B【解析】由題意得，則，即數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，又，所以，所以前項(xiàng)和等于，故選B【考

11、點(diǎn)3】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)【備考知識(shí)梳理】1等差數(shù)列an中，若m+n=p+q，則2等比數(shù)列an中，若m+n=p+q，則3等差數(shù)列an的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等差數(shù)列4等比數(shù)列an的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列（當(dāng)m為偶數(shù)且公比為-1的情況除外）5兩個(gè)等差數(shù)列an與bn的和差的數(shù)列an+bn、an-bn仍為等差數(shù)列6兩個(gè)等比數(shù)列an與bn的積、商、倒數(shù)的數(shù)列anbn、仍為等比數(shù)列7.等差數(shù)列an的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列8等比數(shù)列an的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列9等差中項(xiàng)公式：A= （有唯一的值）10. 等比中項(xiàng)公式：G= （ab0，有兩個(gè)值）【規(guī)律

12、方法技巧】1. 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的引申.應(yīng)用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比，使問題得到整體地解決，能夠在運(yùn)算時(shí)達(dá)到運(yùn)算靈活，方便快捷的目的2. 在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形3. “巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【2016屆河北省衡水中學(xué)高三下練習(xí)五】在等比數(shù)列中，若，則（ ）A B C D【答案】C2.

13、【2016屆福建福州三中高三最后模擬】在等比數(shù)列中，則（ ）A18 B24 C32 D34【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋曰?；若，則；若，則，故選D【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1等差、等比數(shù)列的判定與證明方法：(1)定義法：(為常數(shù)) 是等差數(shù)列； (為非零常數(shù)) 是等比數(shù)列；(2)利用中項(xiàng)法： ()是等差數(shù)列； ()是等比數(shù)列(注意等比數(shù)列的，)；(3)通項(xiàng)公式法：(為常數(shù)) 是等差數(shù)列；(為非零常數(shù)) 是等比數(shù)列；(4)前項(xiàng)和公式法： (為常數(shù)) 是等差數(shù)列；(為常數(shù)，) 是等比數(shù)列；(5)若判斷一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用驗(yàn)證即可2等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式中

14、一共包含(或)，與這五個(gè)量，如果已知其中的三個(gè)，就可以求其余的兩個(gè)其中 (或)是兩個(gè)基本量，所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題一般先設(shè)出這兩個(gè)基本量，然后根據(jù)通項(xiàng)公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組，通過解方程組求其值，這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn)易錯(cuò)提示等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算中，容易出現(xiàn)的問題主要有兩個(gè)方面：一是忽視題中的條件限制，如公差與公比的符號(hào)、大小等，導(dǎo)致增解；二是不能靈活利用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運(yùn)算量3.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題對(duì)于等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題，取決于首項(xiàng)和公差的正負(fù)即：，時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值.常用下面兩

15、個(gè)方法去解決：(1)若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；(2)若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或.4.利用等比數(shù)列求和公式注意的問題在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和時(shí)，如果公比未知，且需要利用求和公式列方程時(shí)，一定要對(duì)公比分兩種情況進(jìn)行討論. 1. 【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）A B C D【答案】D2. 【2016年九江市三?！吭O(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）A B C D【答案】C【解析】由,得，3. 【2016屆高三江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考】設(shè)為等差數(shù)列，公差d=2，為其前n項(xiàng)和，若，則( )A18 B20 C22 D24【答案】B【解析】由得

16、,即.由于,所以.故B正確.4. 【2016河南省八市重點(diǎn)高中質(zhì)檢】5個(gè)數(shù)依次組成等比數(shù)列，且公比為-2，則其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比值為（ ）A B-2 C D【答案】C【解析】由題意可設(shè)這5個(gè)數(shù)分別為故奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比值為.故選C5. 【2016河北省石家莊市高三二模】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C6. 【2016年安慶市高三二模】數(shù)列滿足：（,且）,若數(shù)列是等比數(shù)列,則的值等于（ ）A B C D 【答案】D【解析】由,得.由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,得.故選D.7. 【2016年河南六校高三聯(lián)考】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若和都是等差

17、數(shù)列，且公差相等，則（ ）A B C D1【答案】A.【解析】由題意得，又是等差數(shù)列，且公差相同，故選A8. 【河南商丘市高2016年高三三?！吭诘炔顢?shù)列中，首項(xiàng)，公差，若，則（ ）A B C D【答案】A【解析】,所以9【2016年江西九江市高三三?！恳阎獢?shù)列滿足.（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.10. 【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測(cè)試】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)（），求數(shù)列的前項(xiàng)和 11. 【2015屆吉林省東北師大附中高三第四次模擬】各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，則前12項(xiàng)和的最小值為（ ）（A） （B） （C） （D）

18、【答案】D【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，選D.12.【2015屆北京市西城區(qū)高三二?！繑?shù)列為等差數(shù)列，滿足，則數(shù)列前項(xiàng)的和等于（ ）A B21 C42 D84【答案】B【解析】等差數(shù)列，故選B13.【2015屆福建省泉州五中高三模擬】已知數(shù)列為遞增等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為若，則A B C D【答案】C【解析】由于數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，代入得，整理得，數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，故答案為C14.【2015屆浙江省余姚市高三第三次模擬】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的值為( )A.1006 B.1007 C.1008 D.1009【答案】C15.【2015屆山東省實(shí)驗(yàn)

19、中學(xué)高三6月份模擬】數(shù)列的前n項(xiàng)和記為 ，等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為，且，又 成等比數(shù)列（）求 ，的通項(xiàng)公式；（）求證：當(dāng)n 2時(shí)，【解析】（）由，得，兩式相減得，所以 ，所以 ，又所以，從而 ，而，不符合上式，所以 ，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且前三項(xiàng)的和，所以，可設(shè)，由于，于是，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，或（舍），所以 （）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí) .【一年原創(chuàng)真預(yù)測(cè)】1.已知在等差數(shù)列中，前項(xiàng)的和為，且，則 （ ）A B C D【答案】D【入選理由】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、以及運(yùn)算求解能力本題是一個(gè)常規(guī)題，符合高考試題要求，故選此題.2.在

20、等比數(shù)列中，且數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)等于（ ）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】在等比數(shù)列中有，又，或.當(dāng)時(shí)，得，再由得，解得.當(dāng)時(shí)，同理可得.【入選理由】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、以及運(yùn)算求解能力本題是一個(gè)常規(guī)題，符合高考試題要求，故選此題.3. 設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ） A B C7 D14【答案】C.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡(jiǎn)得，故選C.【入選理由】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和，等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、以及運(yùn)算求解能力本題是一個(gè)常規(guī)題，符合高考試題要求，故選此題.4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則 的值為【答案】【入選理由】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和，等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、以及運(yùn)算求解能力本題是一個(gè)常規(guī)題，符合高考試題要求，故選此題.5. 已知數(shù)列中，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為 .【答案】1123【解析】由題知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列的前20項(xiàng)和為=1123. 【入選