數(shù)學(xué)分析課件二重積分概念.ppt

1、1 二重積分概念,二重積分是定積分在平面上的推廣, 不 同之處在于: 定積分定義在區(qū)間上, 區(qū)間的 長度容易計(jì)算, 而二重積分定義在平面區(qū) 域上, 其面積的計(jì)算要復(fù)雜得多.,一、平面圖形的面積,二、二重積分的定義及其存在性,三、二重積分的性質(zhì),返回,一、平面圖形的面積,我們首先定義平面圖形的面積. 所謂一個(gè)平面圖形,P 是有界的, 是指構(gòu)成這個(gè)平面圖形的點(diǎn)集是平面,上的有界點(diǎn)集, 即存在一矩形 R , 使得,設(shè) P 是一平面有界圖形, 用平行于二坐標(biāo)軸的某一,組直線網(wǎng) T 分割這個(gè)圖形 (圖21-1) , 這時(shí)直線網(wǎng) T,將所有屬于第(i) 類小矩形,(圖 21-1 中紫色部分)的面,積加起來

2、,記這個(gè)和數(shù)為,形 R 的面積); 將所有第 (i) 類與第 (ii) 類小矩形的,面積加起來(圖 21-1中著色部分),記這個(gè)和數(shù)為,則有,由確界存在定理可以推得,對于平面上所有直線網(wǎng),顯然有,定理21.1 平面有界圖形 P 可求面積的充要條件是:,可證得,于是由(3)可得,從而對直線網(wǎng) T 有,積.,推論 平面有界圖形 P 的面積為零的充要條件是它,使得,定理 21.2 平面有界圖形 P 可求面積的充要條件是:,P 的邊界 K 的面積為零.,證 由定理21.1,P 可求面積的充要條件是: 對任給,為零.,的圖象, 則曲線 K 的面積為零.,，,高的小矩形所覆蓋. 由于這 n 個(gè)小矩形面積的

3、總和,因此由定理21.1 的推論即得曲線 K 的面積為零.,示的光滑曲線或按段光滑曲線,其面積一定為零.,上有反函數(shù). 再由有限覆蓋定理, 可把區(qū)間,上的曲線面積為零, 從而整個(gè)曲線面積為零.,推論2 由平面光滑曲線或按段光滑曲線所圍的平面,圖形都是可求面積的.,分成 n 段:,注 平面中并非所有的點(diǎn)集都是可求面積的. 例如,二、二重積分的定義及其存在性,二重積分的幾何背景是,求曲頂柱體的體積.設(shè),為定義在可求,面積的有界閉域 D上的,非負(fù)連續(xù)函數(shù).求以曲,底的柱體 (圖21-2) 的體積 V.,采用類似于求曲邊梯形面積的方法.,(1) 分割:先用一組平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng) T 把區(qū)域,曲頂柱體

4、,的小平頂柱體的體積,圖21-3), 即,把這些小平頂柱體的體積加起來, 就得到曲頂柱體,體積 V 的近似值,(3) 取極限: 當(dāng)直線網(wǎng) T 的網(wǎng)眼越來越細(xì)密, 即分割,有,這類問題在物理學(xué)與工程技術(shù)中也常遇到, 如求非,均勻平面的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量等等. 這些都是,所要討論的二重積分的實(shí)際物理背景.,上面敘述的問題都可歸為以下數(shù)學(xué)問題.,可求面積的小區(qū)域,上的函數(shù). J 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù), 若對任給的正數(shù),和式,D 上二重積分, 記作,分變量, D 稱為積分區(qū)域.,就等于積分區(qū)域 D 的面積.,可積, 則與定積分情形一樣, 對任何分割 T, 只要當(dāng),時(shí), (4) 式都成立. 因此為方便計(jì)算起見, 常,選取一些特殊的分割方法, 如選用平行于坐標(biāo)軸的,可求面積的 D上可積的必要條件是它在 D上有界.,數(shù)的上和與下和具有與一元函數(shù)的上和與下和同樣,的性質(zhì), 這里就不再重復(fù). 下面列出有關(guān)二元函數(shù)的,可積性定理, 這里只證明其中的定理 21.7.,定理21.6 有界閉域 D上的連續(xù)函數(shù)必可積.,某一條光滑曲線 L 上,并記 L 的長度為 l. 于是對任,現(xiàn)在把區(qū)域 D 分成兩部分: 第一部分,又記,分割, 則有,在 D 上可積.,三、二重積分的性質(zhì),二重積分與定積分具有類似的性質(zhì), 現(xiàn)列舉如下:,上也可積, 且,在 D 上也可積, 且,則有,也可積, 且,則有,積分中