高中數(shù)學 第三章《函數(shù)的應用》幾類不同增長的函數(shù)模型教案 新人教版必修

1、3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型（第一課時）一內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)是高中數(shù)學必修1（人教A版）第三章函數(shù)的應用的起始課該課將經(jīng)歷運用和選擇函數(shù)模型解決實際問題的過程，從而認識在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中，各種函數(shù)存在增長的差異；理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義；認識研究函數(shù)增長（衰減）差異的方法；感受數(shù)學建模的思想對不同函數(shù)模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數(shù)模型的應用這一核心，結合具體實例展開討論，讓學生在應用函數(shù)模型的過程中，體驗到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點教材運用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數(shù)模型增長情況比較的問題，接著運用信息

2、技術從數(shù)值和圖象兩個角度比較了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長情況的差異，說明不同函數(shù)類型增長的含義在必修1前兩章，教材安排了函數(shù)的性質(zhì)以及基本初等函數(shù)本節(jié)內(nèi)容是幾類不同增長的函數(shù)模型，在此之后是研究函數(shù)模型的應用，因此，從內(nèi)容上看，本節(jié)課是對前面所學習的幾種基本初等函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，從思想方法上講，是對研究函數(shù)的方法的進一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續(xù)學習各種不同的函數(shù)模型的應用舉例奠定基礎，因此本節(jié)內(nèi)容，既是第二章基本初等函數(shù)知識的延續(xù)，又是函數(shù)模型應用學習的基礎，起著承前啟后的作用.本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學思想方法主要包括：由實際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊涵的符號化、模型

3、化的思想；在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想二目標和目標解析本節(jié)課的教學任務為： （1）創(chuàng)設一個投資方案的問題情境，讓學生通過函數(shù)建模、列數(shù)據(jù)表、研究函數(shù)圖象和性質(zhì)，體會直線上升和指數(shù)爆炸； （2）創(chuàng)設一個選擇獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會對數(shù)增長模型的特點； （3）通過建立和運用函數(shù)基本模型，讓學生初步體驗數(shù)學建模的基本思想，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和數(shù)學應用意識.根據(jù)內(nèi)容解析和教學任務，本節(jié)課的教學目標確定為： （1）通過實例的解決，運用函數(shù)表格、圖象，比較一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)模型等的增長，認識它們的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的

4、意義； （2）通過恰當?shù)剡\用函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達實際問題中的函數(shù)關系的操作，認識函數(shù)問題的研究方法：觀察歸納猜想證明； （3）經(jīng)歷建立和運用函數(shù)基本模型的過程，初步體驗數(shù)學建模的基本思想，體會數(shù)學的作用與價值，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.這部分內(nèi)容教科書在處理上，以函數(shù)模型的應用這一內(nèi)容為主線，以幾個重要的函數(shù)模型為對象，將前面已經(jīng)學習過的內(nèi)容以及處理問題的思想方法緊密結合起來，使之成為一個整體因此教學中應當注意貫徹教材的設計意圖，讓學生經(jīng)歷函數(shù)模型應用的全過程，能在這一過程中認識不同增長的差異，認識知曉函數(shù)增長差異的作用，認識研究差異的思想方法結合以上分析本節(jié)

5、課的教學重點為：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，在比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同類型函數(shù)增長的含義三教學問題診斷學生在前面已學過函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，但由于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長變化復雜，這就使得學生在研究過程中可能遇到困難因此本節(jié)課教學難點確定為：如何結合實際問題讓學生體會不同函數(shù)模型的增長差異，以及如何利用這種增長差異來解決一些實際問題為了解決這一難點，教科書分三個步驟，創(chuàng)設問題情境，并通過恰點恰時而又層層遞進的問題串，讓學生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，弄清幾個函數(shù)間的增長差異，并培養(yǎng)分析問題

6、解決問題的能力第一步，教科書先創(chuàng)設了一個選擇投資方案的問題情境，在解決問題的過程中給出了解析式、數(shù)表和圖象三種表示，然后提出了三個思考問題，讓學生一方面從中體會直線上升和指數(shù)爆炸，另一方面也學會如何選擇恰當?shù)谋硎拘问綄栴}進行分析第二步，教科書又創(chuàng)設了一個選擇公司獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會到對數(shù)增長模型的特點第三步，教科書提出了三種函數(shù)存在怎樣的增長差異的問題先讓學生從不同角度觀察指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長圖象，從中體會二者的差異；再通過兩個探究問題，讓學生對冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異，以及三種函數(shù)的衰減情況進行自主探究這樣的安排內(nèi)容上層次分明，可以引導學生從不同的方面積

7、極地開展觀察、思考和探究活動，對典型的問題，多視點寬角度地進行了研究對學生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)將有積極的推動由于本節(jié)內(nèi)容比較豐富，而且研究問題的方法和途徑也比較多，所以本節(jié)課我們只能重點解決其中的前兩個問題四教學支持條件分析要讓學生較為全面地體會函數(shù)模型的思想，特別是本節(jié)例題中用函數(shù)模型研究實際問題有許多數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術工具，就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異這樣，就使學生有機會接觸到一些過去難以接觸到的數(shù)學知識和思想方法因此在本節(jié)內(nèi)容教學的處理上，通過學生收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型， 利用計算器和計算機，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函

8、數(shù)間的增長差異；結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義五教學過程設計一、創(chuàng)設情境，引入課題1.介紹第三章章頭圖，提出問題問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發(fā)展到5億只？澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現(xiàn)象：指數(shù)增長.問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？2.在學生回答問題的基礎上引出各種不同類型的函數(shù)增長模型3.揭示課題：幾類不同增長的函數(shù)模型【設計意圖】運用章頭圖，形成問題情境，產(chǎn)生應用函數(shù)的需要，激發(fā)學生的學習愿望二、分析問題，建立模型（一）提出問題例1假如你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

9、方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0 .4元，以后每天的回報比前一天翻一番請問：你會選擇哪種投資方式？（二）分析問題1.引導審題，抓住關鍵詞“回報”問題3：你選擇的是什么樣的回報？怎樣比較回報資金的大?。繌慕鉀Q問題的角度看：（1）比較三種方案的每日回報；（2）比較三種方案在若干天內(nèi)的累計回報.2.引導分析數(shù)量關系，建立函數(shù)模型僅從日回報的角度引導學生根據(jù)數(shù)量關系，歸納概括出相應的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式.【設計意圖】引發(fā)學生思考，經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程【備注】累計回報的本質(zhì)是數(shù)列求和問題，由于學生目前的知識儲備還不夠

10、，現(xiàn)在僅限于通過對函數(shù)模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.三、組織探究，感性體驗1.教師提出問題問題4：你會選擇哪種投資方案？請用數(shù)學語言呈現(xiàn)你的理由2.學生分組操作，比較不同增長從解決問題的方式上：（1）用列表方法來比較；（2）畫出函數(shù)圖象來分析.【設計意圖】保成學生合作探究、動手實踐，能借助計算器，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義，初步體驗研究函數(shù)增長差異的方法四、成果交流，階段小結（一）學生交流讓學生交流小組探究的成果（表格、圖象、結論）（二）師生互動1.閱讀教材上例題解答中的數(shù)據(jù)表格與圖象（突出散點圖），引導學生關注增長量，感受增

11、長差異2.通過教師多媒體動態(tài)演示，讓學生進一步體會增長差異在不同的函數(shù)模型下，雖然都有增長，但增長態(tài)勢各具特點他們的增長不在同一個“檔次”上，當自變量變得很大時，指數(shù)型函數(shù)比一次函數(shù)增長的速度要快得多（三）歸納小結1.通過教師的小結，增強學生對增長差異的認識常數(shù)函數(shù)（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數(shù)爆炸（急劇增長）2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數(shù)量關系，把它抽象概括成一個函數(shù)問題，用解析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)的表達形式來研究的【設計意圖】分享學生成果，達到生生互動、師生互動；借助多媒體展示，幫助學生理解不同增長的函數(shù)模型的增長差異，并且初步體驗數(shù)學建模的基本思想，認識函數(shù)問題

12、的研究方法五、深入探究，理性分析（一）提出問題例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%現(xiàn)有三個獎勵模型： 其中哪個模型能符合公司的要求？（二）引導分析問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據(jù)是什么？問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數(shù)學關系？問題7：我們提供的三個增長型函數(shù)哪一個符合限制條件？（三）解決問題1.通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)增長差異； 2.結合限制條件，初步作出選擇；3.通過計算，進一步確認，驗證所得

13、結論；4.體會對數(shù)增長模型的增長特征：當自變量變得很大時平緩增長； 5.揭示函數(shù)問題的研究方法（觀察歸納猜想證明）【設計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中，學會理性分析，體會對數(shù)增長模型的特點【備注】對判斷模型二是否滿足限制條件“”，考慮到學生現(xiàn)在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學，通過構造新函數(shù)，觀察新函數(shù)的圖象來解決（因為該函數(shù)單調(diào)性的判定，必須運用高二數(shù)學中的導數(shù)知識與方法才能解決）六、拓展延伸，創(chuàng)新設計這個獎勵方案實施以后，立刻調(diào)動了員工的積極性，企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上，但隨著時間的推移，又出現(xiàn)了新的問題，員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.問題8：我們的獎勵方案有什么弊端？問題9：你能否設計出

14、更合理的獎勵模型？【創(chuàng)新設計】為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x (單位：萬元)的增加而增加,要求如下：10萬 50萬，獎金不超過2萬；50萬 200萬，獎金不超過4萬；200萬 1000萬，獎金不超過20萬請選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，用圖象表達你的設計方案（四人一組，合作完成）【設計意圖】設計開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學生對幾類不同模型增長差異的掌握情況，又鼓勵學生學以致用，用以致優(yōu)，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程七、歸納總結，提煉升華問題10：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？請你從知識、方法、思想方面作一個小結1.知識：對函數(shù)的性質(zhì)有了進一步的了解，我們體會到同是增長型函數(shù)，但其增長差異卻很大：常數(shù)函數(shù)（沒有增長）；一次函數(shù)（直線上升）；指數(shù)函數(shù)（爆炸增長）；對數(shù)函數(shù)（平緩增長）2.方法：函數(shù)有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數(shù)問題的一般研究方法（觀察歸納猜想證明）3.思想：兩個例題都體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想，即把實際問題數(shù)學化：面對實際問題，我們要讀懂問題，運用所學知識，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型，最終得