高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.3 二項式定理教學設(shè)計 新人教A版選修

1、二項式定理一、教學目標1、知識與技能：（1）理解二項式定理是代數(shù)乘法公式的推廣；（2）理解并掌握二項式定理，能利用組合思想證明二項式定理 2、過程與方法：通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生觀察、猜想、歸納的能力，以及學生的化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式 3、情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，體會數(shù)學語言的簡潔和嚴謹二、教學重點、難點重點：用組合思想分析、的展開式，得到二項式定理難點：用組合思想分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律三、教學手段制作多媒體課件，以增加課堂容量，提高學

2、生的興趣，使學生加深對定理、概念的理解 四、課型：新授課五、教學過程（一）提出問題，引入課題（提問）：若今天是星期三，今天是第一天，那么第天是星期幾？【設(shè)計意圖】把問題作為教學的出發(fā)點，引出課題，激發(fā)學生的求知欲，明確本課題要解決的問題復習引入：初中學習的完全平方式是什么？你能寫出、的展開式嗎？【設(shè)計意圖】通過復習舊知識，自然引入，在這里設(shè)計了層層遞進多項式展開問題，目的是為了讓學生了解知識發(fā)生、發(fā)展的過程，激發(fā)學生的認知的沖突，讓學生明白實質(zhì)上是多項式的乘法（二）引導探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律探究1：仿照上述過程，請你推導的展開式 （再提問），的展開式呢？ （太無聊了吧！我們應該尋求一個能代表這些式子的

3、一個通式）【提出問題】求的展開式探究2：通過組合思想來分析這兩個式子的展開式觀察此式：【問題1】：有幾項？【問題2】：展開式中各項字母的形式是什么？【問題3】：展開式中項的次數(shù)是什么？【問題4】：怎么得到項，項，項？【問題5】：項，項前的系數(shù)為什么是，項前的系數(shù)為什么是？能否用學過的組合知識分析這個問題？由多項式乘法知，其展開式的每一項是由個各取一項相乘而得，故每一項都是形式，即，各項系數(shù)是由相同的項合并而成，有幾項其系數(shù)就是幾，故當時，是由個中都不選得到的，相當于從個中取個（即都?。┑慕M合數(shù)，因此只有個，系數(shù)為：；當時，是由一個中選，另一個中選得到的，由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)

4、的次數(shù)相當于從個中取個的組合數(shù)，即共有個，系數(shù)為：；當時，是由個中都選得到的，相當于從個中取個的組合數(shù)，因此只有個，系數(shù)為：從而可得：【問題6】仿照上述過程，請你推導的展開式【問題7】能猜想寫出的展開式嗎？【設(shè)計意圖】通過幾個問題的層層遞進，引導學生用組合思想對、的展開式進行再思考，分析各項的形成，項的個數(shù)，這也為推導的展開式提供了一種方法，使學生在后續(xù)的學習過程中有“法”可依（三）形成定理，說理證明探究3：仿照上述過程，請你猜想的展開式【問題8】的展開式又是怎樣的呢？引導學生回答：可以對分類：取個,取個,取個,取個,取個 將這個式子相加，可得二項式定理 【問題9】如何證明這個猜想呢？證明：是

5、個相乘，每個在相乘時，有兩種選擇，選或選，由分步計數(shù)原理可知展開式共有項（包括同類項），其中每一項都是的形式，對于每一項，它是由個選了，個選了得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當于從個中取個的組合數(shù)，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理【設(shè)計意圖】通過仿照，展開式的探究方法，由學生類比得出的展開式二項式的定理的證明采用“說理”的方法，從計數(shù)原理的角度對展開過程進行分析、概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的展開式（四）概念剖析1、二項式定理的公式特征：（由學生歸納，讓學生熟悉公式）（1）項數(shù)：共有項；（2）各項次數(shù)：各項的次數(shù)都等于；（3）各項中

6、、的冪排列：字母按降冪排列，次數(shù)由遞減到；字母按升冪排列，次數(shù)由遞增到2、二項展開式的通項：式中的叫做二項展開式的通項，用表示即通項為展開的第項，（、的位置不能對換）3、二項式系數(shù)：依次為這里稱為二項式系數(shù)（注意：二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別）4、二項式定理是個恒等式，定理中字母、可表示數(shù)或式，其中（提問）寫出的展開式【設(shè)計意圖】對定理的特點加以說明，可使學生能熟練掌握定理的特點，以便今后在應用定理解決問題時能得心應手解決課前提出的問題：第天是星期三（五）熟悉定理，簡單應用例 求的展開式思考：展開式的第項的系數(shù)是多少？思考：展開式的第項的二項式系數(shù)是多少？思考：你能否直接求出展開式的第項？思考4

7、：求展開式中的【設(shè)計意圖】例目的在于對定理中字母、所表示的數(shù)或式的領(lǐng)會及提高運用定理的能力，熟悉二項展開式，培養(yǎng)學生的運算能力；從思考1與思考2中體會項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別；思考3與思考4是通項的應用 例 （1）求展開式的第項 ；（1）求展開式的第項 ；【設(shè)計意圖】例二題著重于學生對通項公式的掌握，體會二項式定理的展開式中與位置不能對換，并注意到例（1）的結(jié)論正是例（2）展開式中的倒數(shù)第項（六）課堂小結(jié)（由學生歸納本課學習的內(nèi)容及體現(xiàn)的數(shù)學思想）1、公式：2、思想方法：（1）從特殊到一般的思維方式；（2）用組合思想分析二項式的展開過程（七）課后作業(yè)鞏固性作業(yè)：課本36頁習題A組1、2、3；

8、思維拓展型作業(yè)：二項式系數(shù)有何性質(zhì)（八）板書設(shè)計（九）教學反思設(shè)計說明二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體應用，是學習概率的基礎(chǔ)本節(jié)課的教學重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教學中，采用“問題探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應用規(guī)律的四個階段讓學生體會研究問題的方式方法，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程本節(jié)課的難點是用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律在教學中，設(shè)置了對多項式乘法的再認識，引導學生運用計數(shù)原理來解決項數(shù)問題，明確每一項的特征，為后面的二項式展開式的推導作鋪墊再以，為對象進行探究，引導學生用計數(shù)原理進行再思考，分析各項