高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.3 空間直角坐標(biāo)系 2 空間兩點間距離公式教案 新人教A版必修

1、空間兩點間的距離公式一、教學(xué)任務(wù)分析1、通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行）頂點的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點間的距離公式。2、通過推導(dǎo)和應(yīng)用空間兩點間的距離公式，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。3、通過探索空間兩點間的距離公式，體會轉(zhuǎn)化（降維）的數(shù)學(xué)思想。二、教學(xué)重點和難點探索和推導(dǎo)空間兩點間的距離公式三、教學(xué)過程設(shè)計1、提出問題請大家來看一下這道題目。如圖，正方體棱長為1，求的長設(shè)問（1）怎么求這兩點距離呢？學(xué)生練習(xí)1分鐘左右，教師巡視。發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)構(gòu)造了一個直角三角形，卻發(fā)現(xiàn)計算很繁；有的同學(xué)還沒能構(gòu)造出直角三角形。我們知道平面上求兩點間距離有公式，（2）那么空間兩點間距離是否也有公式？

2、我們先請一個同學(xué)來回答一下平面兩點間距離公式。學(xué)生回答。這是我們在平面直角坐標(biāo)系中得到的平面兩點的距離公式。那么對于空間兩點距離，我們也可以放在空間直角坐標(biāo)系中研究。2、猜想公式（3）如已知這兩點的距離是多少呢？學(xué)生根據(jù)平面兩點距離公式，猜想空間兩點距離。接下來請同學(xué)們自己動手嘗試證明這個猜想。3、證明公式學(xué)生動手嘗試，教師巡視，搜集學(xué)生的證法。挑選有代表的證明方法拍照投影到屏幕上。并請那些同學(xué)來回答自己的想法。并借助于長方體來說明，學(xué)生所畫的那些情況相當(dāng)于長方體的哪些位置。幫助學(xué)生理解，使抽象問題變直觀、具體。學(xué)生所畫的圖最有可能的情況（1）P、Q兩點在YOZ平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面兩點距離，過點

3、P、Q作Y軸的垂線，構(gòu)造直角三角形解決。（2）點P在上底面，點Q在側(cè)面。過點P、Q分別作XOY平面的垂線，垂足分別為M、N,連接MN。在直角梯形PQMN中，過Q作PN的垂線，垂直為H。在RTPHQ中計算。空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。說明：1、公式對特殊圖形也成立。如這兩點連線平行于坐標(biāo)平面。2、還可以在YOZ平面和XOZ平面內(nèi)作P、Q兩點的射影。類比平面內(nèi)兩點間距離公式的推導(dǎo)過程，關(guān)鍵：作射影。平面內(nèi)：過點向軸作射影，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解決?？臻g內(nèi)：過點向面作射影，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解。設(shè)計意圖：使學(xué)生經(jīng)歷從易到難，從特殊到一般的認(rèn)識過程。4、認(rèn)識公式我們對平面兩點距離和空間兩點

4、距離作一比較。平面兩點距離空間兩點距離定義這兩點為端點的線段長度公式推導(dǎo)方法構(gòu)造直角三角形構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造長方體我們?nèi)S解決了，四維、五維怎么樣？如則。類比的好處在于，還可以類比出其他東西還可以知道了。5、運用公式現(xiàn)在請同學(xué)們解決我們剛開始提出的這個問題。例1：如圖，正方體棱長為1，求的長 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得則.變式1：若Q為對角線的中點，點P在面對角線上運動時，探究的最小值。解：易得設(shè)則= 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。故的最小值為，此時。變式2：若P為面對角線的中點，點Q在對角線上運動時，探究的最小值。解：易得設(shè)則= 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。故的最小值為，此時。變式3：若點P在面對角線上運動，點Q在對角線上運動時，探究的最小值。解：設(shè)則= 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。故的最小值為，此時，。思考：已知正方體，若點在底面ABCD內(nèi)運動，在棱上運動，且，求的中點M的軌跡與正方體相交所圍成的表面的面積。設(shè)點,由題意