高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 雙曲線及其標準方程學案（含解析）新人教A版選修

1、22.1雙曲線及其標準方程雙曲線的定義提出問題問題1：平面內(nèi)，動點P到兩定點F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)的距離之和為12，動點P的軌跡是什么？提示：橢圓問題2：平面內(nèi)，動點P到兩定點F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)的距離之差的絕對值為6，動點P的軌跡還是橢圓嗎？是什么？提示：不是，是雙曲線導入新知雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距化解疑難平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值為常數(shù)，即|MF1|MF2|2a，關(guān)鍵詞“平面內(nèi)”當2a|F1F2|時，軌跡是雙曲線；當

2、2a|F1F2|時，軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；當2a|F1F2|時，軌跡不存在雙曲線的標準方程提出問題問題1：“知識點一”的問題2中，動點P的軌跡方程是什么？提示：1.問題2：平面內(nèi)，動點P到兩定點F1(0,5)，F(xiàn)2(0，5)的距離之差的絕對值為定值6，動點P的軌跡方程是什么？提示：1.導入新知雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點坐標F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b2化解疑難1標準方程的代數(shù)特征：方程右邊是1，左邊是關(guān)于x，y的平方差，并且分母大小關(guān)系不確定2a，b，c三個量的

3、關(guān)系：標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，與橢圓中b2a2c2相區(qū)別，且橢圓中ab0，而雙曲線中，a，b大小不確定對雙曲線標準方程的認識例1已知方程1對應(yīng)的圖形是雙曲線，那么k的取值范圍是()A(5，)B(2,2)(5，)C(2,2) D(，2)(2，)解方程對應(yīng)的圖形是雙曲線，(k5)(|k|2)0.即或解得k5或2k2.答案 B類題通法將雙曲線的方程化為標準方程的形式，假如雙曲線的方程為1，則當mn0時，方程表示雙曲線若則方程表示焦點在x軸上的雙曲線；若則方程表示焦點在y軸上的雙曲線活學活用若k1，則關(guān)于x，y的方程(1k)x2y2k

4、21所表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓B焦點在y軸上的橢圓C焦點在y軸上的雙曲線D焦點在x軸上的雙曲線解析：選C原方程化為1，k1，k210，k10.方程所表示的曲線為焦點在y軸上的雙曲線求雙曲線的標準方程例2求適合下列條件的雙曲線的標準方程(1)a4，經(jīng)過點A；(2)經(jīng)過點(3,0)，(6，3)解(1)當焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的標準方程為1(b0)，把A點的坐標代入，得b20，不符合題意；當焦點在y軸上時，設(shè)所求雙曲線的標準方程為1(b0)，把A點的坐標代入，得b29，所求雙曲線的標準方程為1.(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，雙曲線經(jīng)過點(3,0)，(6，3)，解得

5、所求雙曲線的標準方程為1.類題通法1雙曲線標準方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標準方程(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標準方程1或1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可2求雙曲線標準方程的兩個關(guān)注點(1)定位：“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在“標準方程”的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；(2)定量：“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解活學活用根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程(1)與橢圓1有共同的焦點，且過點(，4)；(2)c，經(jīng)過點(5,2)，焦點在x軸上解：(1)橢圓1的焦點

6、坐標為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設(shè)雙曲線的方程為1.由題意，知解得故雙曲線的方程為1.(2)焦點在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為1(其中06)雙曲線經(jīng)過點(5,2)，1，5或30(舍去)所求雙曲線方程是y21.雙曲線定義及標準方程的應(yīng)用例3設(shè)P為雙曲線x21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|PF2|32，則PF1F2的面積為()A6B12C12 D24解如圖所示，|PF1|PF2|2a2，且|PF1|PF2|32，|PF1|6，|PF2|4.又|F1F2|2c2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，S|PF1|PF2|6412.答案 B類題通法在解決雙曲線中與

7、焦點有關(guān)的問題時，要注意定義中的條件|PF1|PF2|2a的應(yīng)用；與三角形有關(guān)的問題要考慮正弦定理、余弦定理、勾股定理等另外在運算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用活學活用若把本題中的“|PF1|PF2|32”改為“0”，求PF1F2的面積解：由題意0，得PF1PF2，PF1F2為直角三角形，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2.又|PF1|PF2|2a2，|F1F2|24c24(a2b2)4(112)52，42|PF1|PF2|52，|PF1|PF2|24，SPF1F2|PF1|PF2|12.典例已知定點A(3,0)和定圓C：

8、(x3)2y216，動圓和圓C相外切，并且過定點A，求動圓圓心M的軌跡方程解設(shè)M(x，y)，設(shè)動圓與圓C的切點為B，|BC|4.則|MC|MB|BC|，|MA|MB|，所以|MC|MA|BC|，即|MC|MA|BC|4|AC|.所以由雙曲線的定義知，M點軌跡是以A，C為焦點的雙曲線的左支，設(shè)其方程為1(x0，b0)，因為雙曲線過點P(2,1)，所以1，又a2b23，解得a22，b21，所以所求雙曲線方程是y21.法二：設(shè)所求雙曲線方程為1(14)，將點P(2,1)的坐標代入可得1，解得2(2舍去)，所以所求雙曲線方程為y21.3若方程1表示雙曲線，則k的取值范圍是_解析：由題意知，(1k)(1

9、k)0，即1k1.答案：(1,1)4在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線1上一點M的橫坐標為3，則點M到此雙曲線的右焦點的距離為_解析：由題易知，雙曲線的右焦點為(4,0)，點M的坐標為(3，)或(3，)，則點M到此雙曲線的右焦點的距離為4.答案：45求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a3，c4，焦點在x軸上；(2)經(jīng)過點(3，4)，.解：(1)由題設(shè)知，a3，c4，由c2a2b2得，b2c2a242327.因為雙曲線的焦點在x軸上，所以所求雙曲線的標準方程為1.(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，因為雙曲線經(jīng)過點(3，4)，所以解得故所求雙曲線的標準方程為1.課時達標檢測一

10、、選擇題1已知雙曲線的a5，c7，則該雙曲線的標準方程為()A.1B.1C.1或1D.0或0解析：選C由于焦點所在軸不確定，有兩種情況又a5，c7，b2725224.2已知m，nR，則“mn0”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選C若方程1表示雙曲線，則必有mn0；當mn0時，方程1表示雙曲線所以“mn0”是“方程1表示雙曲線”的充要條件3已知定點A，B且|AB|4，動點P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為()A. B. C. D5解析：選C如圖所示，點P是以A，B為焦點的雙曲線的右支上的點，當P在M處時，|PA|最小，最

11、小值為ac2.4雙曲線1的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，雙曲線上一點P到焦點F1的距離是12，則點P到焦點F2的距離是()A17 B7C7或17 D2或22解析：選D依題意及雙曲線定義知，|PF1|PF2|10，即12|PF2|10，|PF2|2或22，故選D.5焦點分別為(2,0)，(2,0)且經(jīng)過點(2,3)的雙曲線的標準方程為()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：選A由雙曲線定義知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求雙曲線的標準方程為x21.二、填空題6設(shè)m是常數(shù)，若點F(0,5)是雙曲線1的一個焦點，則m_.解析：由點F(0,5)可知該雙曲線1的焦點落在y軸上，

12、所以m0，且m952，解得m16.答案：167經(jīng)過點P(3,2)和Q(6，7)，且焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是_設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，則解得故雙曲線的標準方程為1.答案：18已知雙曲線的兩個焦點F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上一點，且0，|PF1|PF2|2，則雙曲線的標準方程為_解析：解析：由題意可設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)由0，得PF1PF2.根據(jù)勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根據(jù)雙曲線定義有|PF1|PF2|2a.兩邊平方并代入|PF1|PF2|2得20224a2，解得a24，從而b2541，所以雙曲線方程為y21.答案：y21三、解答題9已知與雙曲線1共焦點的雙曲線過點P，求該雙曲線的標準方程解：已知雙曲線1.據(jù)c2a2b2，得c216925，c5.設(shè)所求雙曲線的標準方程為1(a0，b0)依題意，c5，b2c2a225a2，故雙曲線方程可寫為1.點P在雙曲線上，1.化簡，得4a4129a21250，解得a21或a2.又當a2時，b225a2250，不合題意，舍去，故a21，b224.所求雙曲線的標準方程為x21.10已知ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x25y25的左焦點和右焦點，且三個內(nèi)角A，B，C滿足