計(jì)算傳熱學(xué)第3講數(shù)學(xué)模型與求解區(qū)域的離散化.ppt

1、計(jì)算傳熱學(xué)第3講,數(shù)學(xué)模型與求解區(qū)域的離散化 Discretization of Mathematical Models and Computation Domain,作業(yè)與閱讀要求,閱讀：陶文銓數(shù)值傳熱學(xué)第2章 作業(yè)：P44 題23，題24 作業(yè)：P46 題211,本講主要內(nèi)容,求解區(qū)域的離散化 Taylor級(jí)數(shù)展開法 控制方程的離散化Taylor級(jí)數(shù)法 控制方程的離散化控制容積法 控制方程的離散化變物性的情況 控制容積法 Taylor級(jí)數(shù)法 交界面參數(shù)的計(jì)算 四個(gè)基本原則 源項(xiàng)的線性化,三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié),建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型 Proper Mathematical Modelling 對(duì)求解區(qū)域

2、進(jìn)行離散化處理 Discretization of Computational Domain 對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散化處理 Discretization of Mathematical Model,3-1求解區(qū)域的離散化,3.1.1求解區(qū)域的界定： 有限區(qū)域（finite domain）： 求解區(qū)域（Computational domain）實(shí)際區(qū)域 無(wú)限區(qū)域（infinite domain）： 求解區(qū)域?qū)嶋H區(qū)域 界定原則：計(jì)算結(jié)果不敏感原則，亦即，求解區(qū)域的大小對(duì)計(jì)算結(jié)果沒有明顯的影響。 例子：,求解區(qū)域的界定：例子,流動(dòng)問(wèn)題的出口界面：,求解區(qū)域的界定：例子,無(wú)窮大區(qū)域的“無(wú)窮遠(yuǎn)界面” 半無(wú)限

3、大介質(zhì)中的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,求解區(qū)域的界定：例子,無(wú)窮大區(qū)域的“無(wú)窮遠(yuǎn)界面” 無(wú)限大介質(zhì)中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,求解區(qū)域的界定,對(duì)稱區(qū)域：對(duì)稱問(wèn)題的求解區(qū)域,3.1.2 求解區(qū)域的離散化,什么是求解區(qū)域的離散化 將求解區(qū)域劃分為若干個(gè)互不重合的子區(qū)域（CV) 不重合 子區(qū)域（sub-region) 控制容積（control volume) 確定節(jié)點(diǎn)在子區(qū)域中的位置 給出節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo) 節(jié)點(diǎn)所代表的區(qū)域及其大小 方法： 用一組正交的網(wǎng)格線（可以是曲線）將求解區(qū)域進(jìn)行分割,求解區(qū)域的離散化：方法一,外節(jié)點(diǎn)法或節(jié)點(diǎn)-控制容積法 網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn) 節(jié)點(diǎn)所代表的求解區(qū)域（控制容積） 由兩節(jié)點(diǎn)間中心位置的對(duì)稱界面圍成的

4、區(qū)域。 例子：二維矩形區(qū)域,求解區(qū)域的離散化,節(jié)（結(jié)）點(diǎn)：網(wǎng)格線的交點(diǎn) 控制容積（節(jié)點(diǎn)所代表的求解區(qū)域）：兩節(jié)點(diǎn)中間界面所圍成的區(qū)域。 節(jié)點(diǎn)的分類： 相鄰接點(diǎn)：坐標(biāo)軸方向上相差一個(gè)步長(zhǎng)的節(jié)點(diǎn) 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)：所有相鄰節(jié)點(diǎn)都屬于求解區(qū)域的節(jié)點(diǎn) 邊界節(jié)點(diǎn)：至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于求解區(qū)域 節(jié)點(diǎn)的命名 研究對(duì)象點(diǎn)：P（i,j) 相鄰節(jié)點(diǎn)：按方位關(guān)系或位置坐標(biāo),P(i,j),N(i,j+1),S(i,j-1),W(i-1,j),E(i+1,j),求解區(qū)域的離散化,確定區(qū)域離散化的要素 節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo) 控制界面位置 節(jié)點(diǎn)間距 控制容積的大小,求解區(qū)域的離散化：方法二,內(nèi)節(jié)點(diǎn)法或控制容積-節(jié)點(diǎn)法 先劃定控制容積（

5、節(jié)點(diǎn)所代表的求解區(qū)域） 節(jié)點(diǎn)：控制容積的幾何中心 例子：二維矩形區(qū)域,3.1.3求解區(qū)域的離散化： 方法比較,邊界節(jié)點(diǎn)所代表的求解區(qū)域（控制容積）不同： 外節(jié)點(diǎn)法：半個(gè)控制容積 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法：容積為0的控制容積 節(jié)點(diǎn)在控制容積中的位置不同 外節(jié)點(diǎn)法： 控制界面始終位于兩節(jié)點(diǎn)中間位置上：導(dǎo)數(shù)計(jì)算準(zhǔn)確 不能保證節(jié)點(diǎn)始終位于CV的幾何中心上 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法： 節(jié)點(diǎn)始終位于CV的幾何中心上：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)計(jì)算準(zhǔn)確 不能保證控制界面始終位于兩節(jié)點(diǎn)中間位置上,求解區(qū)域的離散化：方法比較,當(dāng)網(wǎng)格劃分足夠細(xì)時(shí)，兩者沒有本質(zhì)區(qū)別 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法： 邊界節(jié)點(diǎn)處理較簡(jiǎn)單 邊界相鄰節(jié)點(diǎn)：要特別注意處理方法，與其它內(nèi)部節(jié)點(diǎn)有所不同 歷史及習(xí)

6、慣的原因：內(nèi)節(jié)點(diǎn)應(yīng)用較廣泛 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法在邊界相鄰節(jié)點(diǎn)處始終是非均勻網(wǎng)格 可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差,求解區(qū)域的離散化：網(wǎng)格參數(shù),一維為例,網(wǎng)格參數(shù)：名稱與定義,(x)w(x)+w(x)-w 節(jié)點(diǎn)WP之間的距離 (x)e(x)+e(x)-e 節(jié)點(diǎn)PE之間的距離 (x)+w 控制界面w節(jié)點(diǎn)P之間的距離 (x)-e 節(jié)點(diǎn)P控制界面e之間的距離 x (x)+w (x)-e 控制容積 w ， e 左、右控制面,網(wǎng)格參數(shù)：各參數(shù)之間的關(guān)系,外節(jié)點(diǎn)法 (x)+w (x)w ； (x)-e (x)e x (x)w (x)e 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法 (x)+w (x)-e x,3.2 Taylor級(jí)數(shù)展開法,控制方程離散化的方法：

7、Taylor級(jí)數(shù)法 多項(xiàng)式擬合法 控制容積法 。 Taylor級(jí)數(shù)法和控制容積法最為重要 Taylor級(jí)數(shù)法的基本思路 借助Taylor級(jí)數(shù)展開給出各階導(dǎo)數(shù)的差商表達(dá)式 將方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差商表達(dá)式代替 整理化簡(jiǎn),3.2.1 Taylor級(jí)數(shù)展開法等步長(zhǎng),參照前圖，等步長(zhǎng)時(shí)， x (x)w (x)e 各階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式 向后差分：用于時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)和對(duì)流項(xiàng)的處理,向前差分：,3.2.1 Taylor級(jí)數(shù)展開法等步長(zhǎng),三點(diǎn)中心差分格式：主要用于擴(kuò)散項(xiàng)的處理,3.2.2 Taylor級(jí)數(shù)展開法非均勻步長(zhǎng),將E在P點(diǎn)做Taylor展開,非均勻步長(zhǎng),將W在P點(diǎn)做Taylor展開,非均勻步長(zhǎng)：一階導(dǎo)數(shù)

8、（2階精度）,將（1）通乘(x)w/(x)e ,得到，,非均勻步長(zhǎng)：一階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,將（2）通乘(x)e/(x)w ,得到，,非均勻步長(zhǎng)：一階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,（3）（4）得到,非均勻步長(zhǎng)：一階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,從上式可以解出，,非均勻步長(zhǎng)：一階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,略去二階及二階以上無(wú)窮小量，,非均勻步長(zhǎng)：一階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,定義,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,基本思路、方法同前 為方便推導(dǎo)，在（5）中令，,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,方程（5）就變形為，,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,將（10）代入方程（1）,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,將（10）代入方程（2）,非

9、均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,（11） (x)2w(x)w+ (x)e，得,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,（12） (x)2e(x)e (x)w，得,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,（13）（14），得,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,從式（15）解得，,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,將式（9）()P的表達(dá)式代入（16），整理化簡(jiǎn)得到，,非均勻步長(zhǎng)：二階導(dǎo)數(shù)（2階精度）,最后得到，,3.2.2 Taylor級(jí)數(shù)展開法非均勻步長(zhǎng),更高精度的格式可以用類似的方法得到 格式截?cái)嗾`差（truncation error) 階數(shù)愈高，精度愈高 精度愈高，表達(dá)式愈繁 一般只用到二階精度格式 幾

10、點(diǎn)說(shuō)明 當(dāng)Lx1時(shí)，非等步長(zhǎng)格式一律退化為等步長(zhǎng)格式 格式精度（截?cái)嗾`差）與計(jì)算精度 網(wǎng)格密度相同的情況下，高精度格式，計(jì)算精度也高 高階精度的計(jì)算工作量大大增加 加密網(wǎng)格，可以彌補(bǔ)低階格式的不足，得到同樣精度的結(jié)果 工程上：二階精度格式,3.2.3 Taylor級(jí)數(shù)展開法 控制方程的離散化,方法： 用“差商”代替“導(dǎo)數(shù)” 例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,Taylor級(jí)數(shù)法：例題,參照前面的節(jié)點(diǎn)組，對(duì)于節(jié)點(diǎn)P，,Taylor級(jí)數(shù)法：例題,將二階導(dǎo)數(shù)的差商表達(dá)式代入（21）,Taylor級(jí)數(shù)法：例題,進(jìn)一步整理得到，,3.3 控制方程離散化的控制容積法,定義：將控制方程在控制容積上積分從而得到離散化方程

11、的離散化方法 具體步驟： 將控制方程在控制容積上積分； 假定適當(dāng)?shù)姆植己瘮?shù)（distribution function） 階梯分布 線性分布,控制容積法：階梯型分布函數(shù),控制容積上均勻分布（為一常數(shù)） 控制容積代表點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）處的值為分布值：,階梯型分布函數(shù),精確解,階梯分布,控制容積法：線性分布函數(shù),節(jié)點(diǎn)間線性分布,線性分布函數(shù),精確解,線性分布,分布函數(shù),梯形分布主要用于 計(jì)算控制容積上待求變量的值 源項(xiàng)，非導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 非穩(wěn)定項(xiàng) 線性分布主要用于 待求變量的梯度值 控制界面處待求變量值,3.3 控制方程離散化的控制容積法,具體步驟： 將控制方程在控制容積上積分； 假定適當(dāng)?shù)姆植己瘮?shù)（distri

12、bution function） 階梯分布 線性分布 將分布函數(shù)代入并完成積分，整理化簡(jiǎn)，得到離散化方程,3.3 控制方程離散化的控制容積法,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,控制容積法：例題,將方程（20）在控制容積Pxw , xe上對(duì)積分，,控制容積法：例題,代入方程（26），得到,控制容積法：例題,假定節(jié)點(diǎn)間待求變量線性分布，則，,控制容積法：例題,將（29）代入（28），,將（30）通乘(x)e ，并引入Lx的定義,控制方程的離散化,與Taylor級(jí)數(shù)法對(duì)比【方程（22）】，可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法得到的結(jié)果并不一致,這說(shuō)明，數(shù)值解不是唯一的 不同的方法將得到不同的結(jié)果 近似方法的共性,3.4 關(guān)于兩

13、種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,差分方程（difference equation)或離散化方程（discretization equation)不盡相同 均勻網(wǎng)格時(shí)，由于， x (x)w =(x)e ，Lx=1 兩種方法的結(jié)果一致，都是二階精度 用外節(jié)點(diǎn)法劃分網(wǎng)格，由于 (1 Lx)(x)w (x)e = (x)w (x)e (x)e = x (x)e 兩種方法的結(jié)果一致，都是二階精度 用內(nèi)節(jié)點(diǎn)法劃分網(wǎng)格：CV法不能給出二階精度的結(jié)果,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,它有分析解：,關(guān)于精度等級(jí)的說(shuō)明 二階格式應(yīng)該對(duì)該問(wèn)題給出精確解,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,數(shù)值計(jì)算時(shí)： S1，L7

14、 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法劃分網(wǎng)格 分成3個(gè)控制容積， x分別等于1，2和4。 5個(gè)節(jié)點(diǎn) 坐標(biāo)分別為：0, 0.5, 2, 5和7,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,計(jì)算結(jié)果如下,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,結(jié)論： 對(duì)于非均勻網(wǎng)格，如果網(wǎng)格劃分不當(dāng)，那么控制容積法不是二階精度的，它不能給出二階精度的解。,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,問(wèn)題的結(jié)癥： 界面處導(dǎo)數(shù)的處理過(guò)于粗糙 當(dāng)控制界面位于節(jié)點(diǎn)正中央時(shí)才能給出二階精度的結(jié)果。,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,代入方程（28）。不過(guò)，這又回到了Taylor級(jí)數(shù)展開法。 為用Taylor級(jí)數(shù)法解決變物性問(wèn)題提供了一個(gè)思路。,解決辦法：提高控制面處導(dǎo)數(shù)的精度。 參見前面的

15、節(jié)點(diǎn)組，,例題：一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題,我們忽略了例題的求解過(guò)程。務(wù)請(qǐng)大家把詳盡的求解過(guò)程補(bǔ)充出來(lái) 用外節(jié)點(diǎn)法劃分網(wǎng)格，重新求解該題。并與分析解比較。 給出該問(wèn)題的分析解。,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,在均勻網(wǎng)格的前提條件下， 控制方程中含非導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 對(duì)非導(dǎo)數(shù)項(xiàng)積分采用線性分布 CV法能得到較Taylor法更精確的結(jié)果。 例如：對(duì)于下面的問(wèn)題，,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,均勻網(wǎng)格，外節(jié)點(diǎn)法，源項(xiàng)也采用線性分布，則可以得到較Taylor法更為準(zhǔn)確的結(jié)果。 不具有普遍意義。,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,外節(jié)點(diǎn)法，均網(wǎng)格，源項(xiàng)線性分布,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,內(nèi)節(jié)點(diǎn)法，非均網(wǎng)格

16、，源項(xiàng)線性分布,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,結(jié)果如下,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,這兩個(gè)例題說(shuō)明： 應(yīng)用控制容積法時(shí)，采用均勻網(wǎng)格是至關(guān)重要的 采用內(nèi)節(jié)點(diǎn)法劃分網(wǎng)格無(wú)法實(shí)現(xiàn)均勻網(wǎng)格劃分 解決在非均勻網(wǎng)格條件的控制容積法具有重要意義。 文獻(xiàn)當(dāng)中的非均勻網(wǎng)格格式僅僅針對(duì)對(duì)流項(xiàng)。,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,CV法著眼于控制容積上流的平衡，在CV尺寸的選擇上更加靈活 Taylor法著眼于節(jié)點(diǎn)上的微分平衡 CV需要假定待求變量的分布函數(shù) Taylor法不需要分布函數(shù) 共同點(diǎn)：用節(jié)點(diǎn)上待求變量的數(shù)值作為控制容積上待求變量的代表 CV法中的分布函數(shù)僅存在

17、于推導(dǎo)過(guò)程之中 結(jié)論：CV法與Taylor級(jí)數(shù)法同屬于有限差分法的范疇,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,關(guān)于Control volume method或Finite volume method與Taylor級(jí)數(shù)展開法關(guān)系的爭(zhēng)論 有人將之歸為不同的方法 殊途同歸：起點(diǎn)不同，落腳點(diǎn)完全一樣 主要差分格式幾乎都可以用Taylor級(jí)數(shù)展開法得到 二階Taylor級(jí)數(shù)：相當(dāng)于3點(diǎn)上按拋物分布 二階CV：節(jié)點(diǎn)間按線性分布,3.4 關(guān)于兩種方法的進(jìn)一步說(shuō)明,Taylor級(jí)數(shù)法、控制容積法精度上并無(wú)實(shí)質(zhì)上的優(yōu)劣之分，但是，CV法 簡(jiǎn)捷 物理概念清楚 得到廣泛應(yīng)用（尤其是在Numerical Heat Tra

18、nsfer中）,特別提示,要盡可能采用均勻網(wǎng)格 相鄰節(jié)點(diǎn)間距不宜相差過(guò)大（小于1.5為宜） 如有可能，優(yōu)先考慮采用外節(jié)點(diǎn)法（節(jié)點(diǎn)-控制容積法）劃分網(wǎng)格。,3.5 變物性問(wèn)題控制容積法,定義：物性參數(shù)與待求變量有關(guān)的問(wèn)題 基本方法同前 例題：,其中是待求變量的已知函數(shù)，即,變物性問(wèn)題控制容積法,將方程（37）在控制容積P上積分，,變物性問(wèn)題控制容積法,假定節(jié)點(diǎn)間待求變量按線性分布，則,代入方程（40)，得到,變物性問(wèn)題控制容積法,整理后得到，,其中，,變物性問(wèn)題控制容積法,符號(hào)意義： 大寫下標(biāo)W、E和P表示在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)處取值 小寫下標(biāo)w和e表示在相應(yīng)的控制界面處取值 w和e分別表示在控制界面w和

19、e的數(shù)值 交界面參數(shù)（interface parameters) 注意：控制界面處的待求變量是未知的。,3.6 變物性問(wèn)題Taylor級(jí)數(shù)法,均勻網(wǎng)格，則將方程（37）應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)P有，,變物性問(wèn)題Taylor級(jí)數(shù)法,將(w,P,e)看作一個(gè)節(jié)點(diǎn)組，將(d/dx)視為待求變量，則有,變物性問(wèn)題Taylor級(jí)數(shù)法,將(W,w,P)看作一個(gè)節(jié)點(diǎn)組，則有,變物性問(wèn)題Taylor級(jí)數(shù)法,將(P,e,E)看作一個(gè)節(jié)點(diǎn)組，則有,變物性問(wèn)題Taylor級(jí)數(shù)法,將（45）、（46）代入（44）,將（47）與控制容積法的方程（40）對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，兩種方法得到了相同的結(jié)果。,特別提示,對(duì)于一維問(wèn)題，不論問(wèn)題性質(zhì)如

20、何，也不管采用什么樣的離散化方法，其離散化方程的形式都一樣，都可以表示為,問(wèn)題不同，離散化方法不同，離散化方程中的系數(shù)不同,3.7 交界面參數(shù)的計(jì)算,交界面參數(shù)（interface parameters)：擴(kuò)散系數(shù)等在控制界面處的取值 交界面參數(shù)一般是待求變量的函數(shù) 待求變量在控制界面處是未知的 節(jié)點(diǎn)上待求變量的數(shù)值已知 節(jié)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)參數(shù)的數(shù)值已知 交界面的位置已知 不能直接計(jì)算交界面參數(shù) 應(yīng)該考慮的情況： 待求變量的函數(shù) 突變（discountinuities),交界面參數(shù)的計(jì)算,方法一：利用節(jié)點(diǎn)物性參數(shù)插值 方法A：算術(shù)插值，認(rèn)定擴(kuò)散系數(shù)與x成線性關(guān)系,當(dāng)物性參數(shù)是x或待求變量的連續(xù)函數(shù)時(shí)能

21、夠給出較好的結(jié)果 不能用于物性參數(shù)在交界面處方式突變的情況。,交界面參數(shù)的計(jì)算,方法一：利用節(jié)點(diǎn)物性參數(shù)插值 方法B：調(diào)和平均法 通過(guò)控制面的流的唯一性原則 節(jié)點(diǎn)W至節(jié)點(diǎn)P之間的流可以用w用下式計(jì)算：,交界面參數(shù)的計(jì)算調(diào)和平均法,通過(guò)控制容積W右控制面w的流應(yīng)該按下式計(jì)算,其中，w是待求變量在控制界面w處的值未知,交界面參數(shù)的計(jì)算調(diào)和平均法,通過(guò)控制容積P左控制面w的流應(yīng)該按下式計(jì)算,其中，w是待求變量在控制界面w處的值未知,交界面參數(shù)的計(jì)算調(diào)和平均法,顯然，方程（49）、（50）和（51）給出的都是控制面w的流，應(yīng)該給出唯一值。即：,聯(lián)立上述方程，消去w，求得w，,交界面參數(shù)的計(jì)算調(diào)和平均法

22、,特點(diǎn)： 大多數(shù)情況下能夠給出合理的結(jié)果 在突變界面上不能設(shè)置節(jié)點(diǎn) 在極端情況下可能會(huì)導(dǎo)致失效 文獻(xiàn)中得到廣泛應(yīng)用,交界面參數(shù)的計(jì)算,方法2：Kirchhoff變換法 依據(jù)：對(duì)于變物性問(wèn)題，在很多情況下可以利用Kirchhoff變換變換成常物性問(wèn)題,可以證明：,交界面參數(shù)的計(jì)算 Kirchhoff變換法,節(jié)點(diǎn)待求變量之間的積分平均值 精度最高的插值方法 需要進(jìn)行大量的積分計(jì)算,交界面參數(shù)的計(jì)算,方法3：待求變量插值法 選用合理的插值方法，計(jì)算待求變量在控制界面處的值 利用待求變量在控制界面處的值計(jì)算交界面參數(shù)。 最直接的插值方法：線性插值,交界面參數(shù)的計(jì)算,方法3：待求變量插值法 計(jì)算精度與K

23、irchhoff變換法相當(dāng) 不需要積分運(yùn)算 最好將節(jié)點(diǎn)布置在突變界面上 采用外節(jié)點(diǎn)法劃分網(wǎng)絡(luò)方便 是一種值得推薦的方法,數(shù)值算例,數(shù)值算例,問(wèn)題A：?jiǎn)我唤橘|(zhì)，變擴(kuò)散系數(shù),問(wèn)題B：復(fù)合介質(zhì)，變擴(kuò)散系數(shù)（本文方法突變面在節(jié)點(diǎn)上，調(diào)和平均方法突變面在控制面上）,問(wèn)題C：復(fù)合介質(zhì)，變擴(kuò)散系數(shù)突變界面從x=1平移到x=1.0075，保證突變界面位于節(jié)點(diǎn)和控制面之間,問(wèn)題D：同問(wèn)題B，常物性復(fù)合材料（本文方法突變面在節(jié)點(diǎn)上，調(diào)和平均方法突變面在控制面上）,問(wèn)題E：與問(wèn)題C類似，常物性復(fù)合材料，突變界面從x=1平移到x=1.0075，保證突變界面位于節(jié)點(diǎn)和控制面之間,問(wèn)題F：對(duì)流-擴(kuò)散問(wèn)題，變物性,問(wèn)題G：

24、同問(wèn)題A， 但0=0,問(wèn)題H：同問(wèn)題B，但0=0,問(wèn)題I：?jiǎn)我唤橘|(zhì)，變物性，二維,問(wèn)題J：復(fù)合介質(zhì)，變物性，二維,特別提示,盡管調(diào)和平均法在文獻(xiàn)中得到了廣泛的應(yīng)用，但它并不是一種非常有效的插值方法； 采用待求變量插值法或Kirchhoff變換法可以取得更好地結(jié)果； 調(diào)和平均法有可能給出錯(cuò)誤的結(jié)果。,3.8 四個(gè)基本原則,不同的離散化方法會(huì)得到不同的離散化方程 合理的離散化方程應(yīng)該起碼滿足下述3個(gè)方面的要求 數(shù)學(xué)上與原方程相容 物理上能給出合理的解 計(jì)算上能節(jié)約時(shí)間 Patankar從物理觀點(diǎn)出發(fā)，提出了判定差分格式好壞的4個(gè)基本原則，具有重要指導(dǎo)意義,原則之一,控制界面上流的相容性原則 要求同

25、一時(shí)間通過(guò)同一控制面的流應(yīng)該相等。,該原則要求：,但如果，,則違反相容性原則。,原則之二,系數(shù)同號(hào)原則：方程中相鄰節(jié)點(diǎn)待求變量前的系數(shù)必須同號(hào)。 考慮源項(xiàng)等于0時(shí)的離散化方程,對(duì)于擴(kuò)散系統(tǒng)，例如導(dǎo)熱，某一點(diǎn)處溫度的升高必然會(huì)導(dǎo)致其相鄰區(qū)域的溫度也升高，比如,E E ,但如果系數(shù)符號(hào)不一致，則會(huì)出現(xiàn)相反的情況。,原則之三,相鄰系數(shù)之和原則 依據(jù)：對(duì)于線性微分方程，如果不考慮它的定解問(wèn)題，那么如果為齊次方程的一個(gè)解，則（ +C)也必為方程的解。 離散化方程也必須反映這一事實(shí)。于是，,節(jié)點(diǎn)P的相鄰節(jié)點(diǎn)待求變量前的系數(shù),原則之三,相鄰系數(shù)之和原則 更一般的，如果考慮源項(xiàng)和非穩(wěn)定項(xiàng)的作用，必然有：,原則之四,負(fù)斜率源項(xiàng)原則 要求：源項(xiàng)的斜率必須小于等于0 依據(jù)：當(dāng)源項(xiàng)是待求變量的函數(shù)時(shí)，即 SS（） 為了加速收斂過(guò)程，一般要對(duì)源項(xiàng)進(jìn)行線性化除理，即把源項(xiàng)寫成下面的形式， SSc+Sp 其中Sp是源項(xiàng)的斜率，該原則要求：,原則之四,由來(lái) 重復(fù)前面的離散化過(guò)程，對(duì)于一維穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，可以證明，源項(xiàng)線性化的差分方程變?yōu)椋?其中aE和aW的定義沒變，但是，,注意到：aE0，aW0。但是，當(dāng)Sp0時(shí)，有可能導(dǎo)致aP0，從而違反系數(shù)同號(hào)原則和相鄰系數(shù)之和原則,特別提示,四