[課件資料]期末總復(fù)習(xí)-D11

1、1,第十一章 線面積分的計算,一、 曲線積分的計算法,二、曲面積分的計算法,2,一、曲線積分的計算法,1. 基本方法,曲線積分,第一類 ( 對弧長 ),第二類 ( 對坐標 ),(1) 選擇積分變量,定積分,用參數(shù)方程,用直角坐標方程,用極坐標方程,(2) 確定積分上下限,第一類: 下小上大,第二類: 下始上終,練習(xí)題: P249 題 3 (3), (6),3,P249 3(3). 計算,其中L為擺線,上對應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.,提示:,4,P249 3(6). 計算,其中 由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,從 z 軸正向看沿逆時針方向.,5,(1) 利用

2、對稱性及重心公式簡化計算 ;,(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;,(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ;,(4) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .,2. 基本技巧,見后,見后,6,平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件,設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有,(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分,(3),(4) 在 D 內(nèi)每一點都有,與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān).,函數(shù),則以下四個條件等價:,在 D 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有,( 格林公式 ),函數(shù),在 D 上具有連續(xù)一

3、階偏導(dǎo)數(shù),8,例1. 計算,其中 為曲線,解: 利用輪換對稱性 , 有,利用重心公式知,( 的重心在原點),9,例2. 計算,其中L 是沿逆,時針方向以原點為中心、,解法1 令,則,這說明積分與路徑無關(guān), 故,a 為半徑的上半圓周.,10,解法2,它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式),則,添加輔助線段,(2) 若 L 同例2 , 如何計算下述積分:,(1) 若L 改為順時針方向,如何計算下述積分:,思考:,11,思考題解答:,(1),(2),12,計算,其中L為上半圓周,提示:,沿逆時針方向.,練習(xí)題: P249 題 3(5),3(5).,用格林公式:,13,二、曲面積分的計算法,1. 基本方

4、法,曲面積分,第一類( 對面積 ),第二類( 對坐標 ),二重積分,(1) 選擇積分變量 代入曲面方程,(2) 積分元素投影,第一類: 始終非負,第二類: 有向投影,(3) 確定二重積分域, 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面,14,2. 基本技巧,(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用條件,添加輔助面的技巧,(輔助面一般取平行坐標面的平面),(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化,15,練習(xí):,P250 題4(3),其中 為半球面,的上側(cè).,且取下側(cè) ,原式 =,P250 題4(2) , P250 題 10 同樣可利用高斯公式計算.,記半球域為 ,高斯公式有,計算,利用,16,例5.,證明: 設(shè),(常向量),則,單位外法向向量,試證,17,例6. 計算曲面積分,其中,解:,18,例7. 設(shè) 是曲面,解: 取足夠小的正數(shù) , 作曲面,取下側(cè),使其包在 內(nèi),為 xOy 平面上夾于,之間的部分, 且取下側(cè) ,取上