高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2.5 夾角的計算 空間向量的應(yīng)用-求空間角與距離素材 北師大版選修2-1（通用）

1、空間向量的應(yīng)用-求空間角與距離一、考點梳理1.自新教材實施以來，近幾年高考的立體幾何大題，在考查常規(guī)解題方法的同時，更多地關(guān)注向量法（基向量法、坐標法）在解題中的應(yīng)用。坐標法（法向量的應(yīng)用），以其問題（數(shù)量關(guān)系：空間角、空間距離）處理的簡單化，而成為高考熱點問題。可以預(yù)測到，今后的高考中，還會繼續(xù)體現(xiàn)法向量的應(yīng)用價值。2.利用法向量求空間角和空間距離，其常用技巧與方法總結(jié)如下：1)求直線和直線所成的角若直線AB、CD所成的角是a，cosa=2).利用法向量求線面角設(shè)為直線與平面所成的角，為直線的方向向量與平面的法向量之間的夾角，則有或。特別地時， ，；時，或。計算公式為：或3).利用法向量求二

2、面角設(shè)、分別為平面、的法向量，二面角的大小為，向量、的夾角為，則有或。計算公式為： 4).利用法向量求點面距離如圖點P為平面外一點，點A為平面內(nèi)的任一點，平面的法向量為n,過點P作平面a的垂線PO，記OPA=q，則點P到平面的距離naAPOq5).法向量在距離方面除應(yīng)用于點到平面的距離外，還能處理異面直線間的距離，線面間的距離，以及平行平面間的距離等。其一，這三類距離都可以轉(zhuǎn)化為點面間的距離；其二，異面直線間的距離可用如下方法操作：在異面直線上各取一點A、B，AB在上的射影長即為所求。為異面直線AD、BC公共垂直的方向向量，可由及求得，其計算公式為：。其本質(zhì)與求點面距離一致。向量是新課程中引進

3、的一個重要解題工具。而法向量又是向量工具中的一朵廳葩，解題方法新穎，往往能使解題有起死回生的效果，所以在學(xué)習(xí)中應(yīng)起足夠的重視。二、范例分析例1 已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折成直二面角，如圖所示，（1）證明：；（2）求二面角的大小。 分析：題干給出一個直二面角和一條對稱軸，易知，故有著明顯的建系條件；另外給出梯形的邊長、高，則各點坐標較易求得。用坐標法求解，可避開二面角的尋找、理推等困撓，只需先求面與面的法向量，再用公式計算便可。第（1）問的作用在于證明面，也就找到了一個法向量；而面的法向量可用由及求得，只是解出x、y、z關(guān)系后，對z的取值要慎重，可先觀

4、察二面角的大小是銳角、直角，還是鈍角。解：（1）證明：由題設(shè)知、，所以是所折成的直二面角的平面角，即。故可以O(shè)為原點，、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標第，如圖，則相關(guān)各點的坐標是：，從而，即。（2）解：因為，所以。由（1），所以平面，是平面的一個法向量。設(shè)是平面的一個法向量，由取，得。設(shè)二面角的大小為，由、的方向可知，所以，即二面角的大小是。感悟：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找證求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎淡化了學(xué)生的空間想象能力，但實質(zhì)不然，向量法對學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教

5、育改革的精神。（2）利用坐標法求解和距離，關(guān)鍵是有明顯或較為明顯的建系條件，從而建立適當?shù)目臻g直角坐標系盡可能多地使空間的點在坐標軸上或坐標平面內(nèi)，正確表達已知點的坐標。在立體幾何數(shù)量關(guān)系的解決中，法向量的運用可以使問題簡單化，其難點在于掌握和應(yīng)用法向量解決空間解和距離求法的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉(zhuǎn)化和思想方法。例2如圖，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點， （）求證平面AGC平面BGC； （）求GB與平面AGC所成角的正弦值. （）求二面角BACG的大小. 解析：如圖，以A為原點建立直角坐標系，則，（I）證明：略 （II）由題意可得，設(shè)平面

6、AGC的法向量為，由 （III）因是平面AGC的法向量，又AF平面ABCD，平面ABCD的法向量，得 ， 二面角BACG的大小為 感悟：因為二面角的大小有時為鈍角，有時為銳角、直角，所以在計算之前應(yīng)先依題意判斷一下所求二面解的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或“補角”。例3如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2（）求證：AO平面BCD；（）求異面直線AB與CD所成角的大?。唬ǎ┣簏cE到平面的距離.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。（I）證明：連結(jié)OC在中，由已知可得而即

7、 平面（II）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系，則異面直線AB與CD所成角的大小為（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則 令得是平面ACD的一個法向量。又點E到平面ACD的距離例4（06江西卷）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，是的中點（1）求點到面的距離；（2）求異面直線與所成的角；（3）求二面角的大小解析:(1)以為原點,、分別為、軸建立空間直角坐標系.則有、設(shè)平面的法向量為則由由，則點到面的距離為所以異面直線與所成的角.(3)設(shè)平面的法向量為則由知:由知:取由(1)知平面的法向量為則.結(jié)合圖形可知,二面角的大小為:.例5（06江蘇卷）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC

8、、BC邊上的點，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2）（）求證：A1E平面BEP；（）求直線A1E與平面A1BP所成角的大??；圖1圖2（）求二面角BA1PF的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）解法:（1）作面于,連、,則四邊形是正方形,且,以為原點,以為軸,為軸建立空間直角坐標系如圖,則(2)設(shè)平面的法向量為則由知:;同理由知:可取同理,可求得平面的一個法向量為由圖可以看出,三面角的大小應(yīng)等于則,即所求二面角的大小是.(3)設(shè)是線段上一點,則平面的一個法向量為要使與面成角,由圖可知與的夾角為,所以則,解得,則故線段上存在點,且,時與面成角.【解后反思】在立體幾何學(xué)習(xí)中,我們要多培養(yǎng)空間想象能力, 對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后的不變量,二面角的平面角的適當選取是立體幾何的核心考點之一.是高考數(shù)學(xué)必考的知識點之一.作,證,解,是我們求二面角的三步驟.作:作出所要求的二面角,證:證明這是我們所求二面角,并將這個二面角進行平面化,置于一個三角形中,最好是直角三角形,利用我們解三角形的知識求二面角的平面角.向量的運用也為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度,不過在向量運用過程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托題目的圖形,坐標才