數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

1、,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 總體與樣本, 統(tǒng)計(jì)量, 2-分布,t-分布和F-分布, 關(guān)于正態(tài)總體的重要定理,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論的理論為基礎(chǔ)、通過(guò)試驗(yàn)所得 數(shù)據(jù)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用廣泛，內(nèi)容 豐富。,簡(jiǎn) 介,我們僅介紹其有關(guān)參數(shù)估計(jì)與參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)等基本 內(nèi)容。,概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ),數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的重要應(yīng)用。,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),1、隨機(jī)樣本,定義1 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，將所研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總 體(母體),其中每個(gè)對(duì)象稱(chēng)為個(gè)體。,由于通常關(guān)注的是研究對(duì)象的某些個(gè)數(shù)量指標(biāo),因此

2、 也稱(chēng)這些數(shù)量指標(biāo)取值的全體為總體,其中每個(gè)元素稱(chēng)為 個(gè)體.,一、總體與個(gè)體,例如,檢驗(yàn)燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命:受檢的全體燈泡就 是總體,每個(gè)燈泡就是個(gè)體。也可理解：全體燈泡壽命數(shù) 值構(gòu)成總體，每個(gè)燈泡的壽命數(shù)值為一個(gè)體。,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),又如,調(diào)查工大男生身高情況：工大全體男生就是總 體，每個(gè)工大男生就是一個(gè)個(gè)體。也可理解：全體工大男 生身高數(shù)值構(gòu)成總體，每個(gè)工大男生身高數(shù)值就是一個(gè)個(gè) 體。,燈泡的壽命檢驗(yàn)是一個(gè)破壞性試驗(yàn),即當(dāng)?shù)弥粋€(gè)燈 泡壽命時(shí),該燈泡的使用價(jià)值也就消失了.因此,不可能抽 檢每個(gè)燈泡!,可以逐一測(cè)量每個(gè)工大男生的身高,但工作量大.而我 們僅需對(duì)工大男

3、生身高情況有個(gè)大致了解,因此,不必要抽 測(cè)每個(gè)工大男生!,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),做法 從總體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)體(燈泡、工大男 生),測(cè)試其所需數(shù)據(jù)(壽命、身高),最后對(duì)所得數(shù)據(jù)通過(guò) 整理加工和分析來(lái)推斷總體(這批燈泡壽命、工大男生身 高)的分布情況,從而了解整體情況.,一般,我們所研究的總體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)X是一個(gè)隨 機(jī)變量,其取值在客觀上有一定的分布.因此,對(duì)總體的研 究,就是對(duì)相應(yīng)的隨機(jī)變量X的研究。,今后,我們稱(chēng)X的分布函數(shù)和數(shù)字特征分別為總體的 分布函數(shù)和數(shù)字特征,并不再區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量 X.對(duì)總體的稱(chēng)呼:總體,總體X與總體F.,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與

4、數(shù)理統(tǒng)計(jì),例如,當(dāng)XN(,2)時(shí),稱(chēng)總體X為正態(tài)總體.正態(tài) 總體有以下三種類(lèi)型:,未知,但2已知; 2未知,但已知; ,2均未知.,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)就是通過(guò)對(duì)從總體中抽取的 一部分個(gè)體(稱(chēng)為總體的樣本)進(jìn)行觀察,根據(jù)所記錄的 數(shù)據(jù)(樣本值)經(jīng)整理與加工,以推斷總體的某些性質(zhì).,“從總體中抽取一個(gè)個(gè)體”就是對(duì)總體進(jìn)行一次觀 察(試驗(yàn)),并記錄其數(shù)據(jù)結(jié)果.,在相同條件下對(duì)總體X進(jìn)行n次獨(dú)立、重復(fù)的觀察, 將n次試驗(yàn)結(jié)果依次記為 ,則稱(chēng)之為來(lái)自 總體X的容量為n的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本;n次試驗(yàn)完成后 所得樣本的一組觀察值 稱(chēng)為樣本值.,二、樣本與樣本值,河南理工

5、大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),定義2,顯然,若X的分布函數(shù)為F(x),則 的聯(lián)合 分布函數(shù)為,定義2 設(shè)總體X的分布函數(shù)為F,若X1，X2，Xn 是相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F的n個(gè)隨機(jī)變量,則稱(chēng) 之是來(lái)自總體F(分布函數(shù)F,總體X)的容量為n的(簡(jiǎn)單隨 機(jī))樣本,其觀察值 稱(chēng)為樣本值。,特別的,若X的概率密度為f(x),則 的聯(lián)合 概率密度為,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),若X的概率分布為p(x),則 的聯(lián)合概率分 布為,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),樣本來(lái)自總體,必然攜帶有反映總體性質(zhì)的各種信 息。,后面介紹的內(nèi)容僅限于有關(guān)總體參數(shù)的估計(jì)與推斷， 稱(chēng)為參數(shù)估計(jì)與參數(shù)假

6、設(shè)檢驗(yàn)。,三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù),數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)就是通過(guò)對(duì)樣本的研究來(lái)對(duì)總 體的未知參數(shù)或分布類(lèi)型作出估計(jì)，對(duì)有關(guān)總體的假設(shè) 作出推斷。,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),總 體 X,樣本X1,X2,Xn,樣本值x1,x2,xn,隨機(jī)抽樣 獲得樣本,完成試驗(yàn) 獲得數(shù)據(jù),整理加工 統(tǒng)計(jì)推斷,統(tǒng)計(jì) 工作,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),2、抽樣分布,一、統(tǒng)計(jì)量,樣本是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一 般不是直接使用樣本本身，而是對(duì)樣本進(jìn)行整理和加工, 即針對(duì)具體問(wèn)題構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)統(tǒng)計(jì)量,利用這些函數(shù) 來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷,揭示總體的統(tǒng)計(jì)特性.,定義3 設(shè)X1，X2，Xn是來(lái)自總體

7、X的樣本,x1，x2， ，xn為其樣本值,則稱(chēng)不含任何總體分布中未知參數(shù)的 連續(xù)函數(shù) 為統(tǒng)計(jì)量,相應(yīng)實(shí)數(shù) 稱(chēng)為其觀察值。,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),常用統(tǒng)計(jì)量有:,樣本均值,(修正)樣本方差,(修正)樣本標(biāo)準(zhǔn)差,樣本k階原點(diǎn)矩,樣本k階中心矩,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),說(shuō)明, (修正)樣本方差還可表示為,【推導(dǎo)】,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 樣本方差,樣本均值是樣本一階原點(diǎn)矩；樣本方差是樣本二階 中心矩。, 上述各統(tǒng)計(jì)量的觀察值為,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 重要結(jié)論：樣本矩(的連續(xù)函數(shù))依概率收斂 于總體矩(的連續(xù)函數(shù))矩估計(jì)的理論基礎(chǔ)

8、。,總體k階(原點(diǎn))矩,總體的期望就是其一階矩:,總體的方差:,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 定義, 性質(zhì), 重要積分,補(bǔ)充知識(shí): -函數(shù),河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),完全由樣本確定的函數(shù)就是統(tǒng)計(jì)量。, 定義 設(shè)X1，X2，Xn是來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體 N(0,1)的樣本,稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量,下面,介紹來(lái)自正態(tài)總體的幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布.,1、2-分布(卡方分布),服從自由度為n的2-分布,記為,二、抽樣分布,統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，它的分布稱(chēng)為抽樣分布。,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), -分布的概率密度為,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), -分布的性質(zhì)與數(shù)字特征,-分布的

9、可加性:,-分布的期望與方差為:, 上分位點(diǎn)(雙側(cè)/2分位點(diǎn)),定義 點(diǎn) 為 分布的上分位點(diǎn),河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),查附表5P.443:,雙側(cè)分位點(diǎn),查附表5:,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),2、t-分布, 定義 設(shè) 且X與Y獨(dú)立，則稱(chēng) 隨機(jī)變量,服從自由度為n的t-分布,記為, t-分布的概率密度為,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), t-分布的概率密度性質(zhì),t-分布的概率密度為偶函數(shù)，且以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率 密度為其極限(n)。,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 上分位點(diǎn)(雙側(cè)/2分位點(diǎn)),定義 點(diǎn) 為 分布的上分位點(diǎn),查附表3P.441:,河南理工大學(xué)

10、精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),雙側(cè)/2分位點(diǎn):,顯然,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),3、F-分布, 定義 設(shè) 且X與Y獨(dú)立，則 稱(chēng)隨機(jī)變量,服從自由度為(n1,n2)的F-分布,記為, F-分布的概率密度為,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), F-分布的性質(zhì),由F分布定義可得：,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 上分位點(diǎn)(雙側(cè)/2分位點(diǎn)),定義 點(diǎn) 為 分布的上分位點(diǎn),查附表5P.447:,F分布上分位點(diǎn)有如下性質(zhì)：,證明,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),三、樣本均值與樣本方差的分布,設(shè)總體X有均值與方差：,是來(lái)自X (無(wú)論X服從何種分布!)的一個(gè) 樣本，則總有:

11、,特別的,當(dāng) 時(shí),樣本均值,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),對(duì)于單正態(tài)總體N(,2)的均值與方差有:,定理1 設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體N(,2)的 樣本,則,、,、,、,、 獨(dú)立.,注意:,即2,卡方分布定義,證明,且兩者獨(dú)立, 由 t 分布的定義知,定理,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),定理2 設(shè)X1，X2，Xn與Y1，Y2，Yn分別是來(lái) 自正態(tài)總體N(1,2), N(2,2)的樣本,且這兩個(gè)樣 本相互獨(dú)立,又 分別為兩樣本的均值與方差,則,其中,對(duì)于同方差的雙正態(tài)總體N(1,2), N(2,2)的 均值差有:,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),上面介紹的3個(gè)重要分布與4個(gè)重

12、要公式在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)中有著重要應(yīng)用，必須牢記!,2-分布,t-分布,F-分布,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例1】在正態(tài)總體N(12,4)中隨機(jī)抽取容量為5的樣本 X1，X2，X3，X4，X5，試求,（1）樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于1的概 率；,（2）,（3）,解正態(tài)總體樣本均值的分布,(1) 因?yàn)?所以,于是,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),(2).,(3).,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),解t-分布,2-分布，F(xiàn)-分布。,因?yàn)閄t(n),所以由t-分布定義知：存在兩個(gè)相互獨(dú) 立的隨機(jī)變量,由Y,Z的相互獨(dú)立可得:Y2與Z也相互獨(dú)立。,再由F-分布定義得:,使有,【例2】已知 ，證明 。,由2-分布定義知：,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),解因?yàn)閄iP(),所以E(Xi)=D(Xi)=(i=1,2,n),【例3】設(shè)X1，X2，X3，X4，X5為來(lái)自泊松分布 P()的