2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.3空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案

1、8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系最新考綱考情考向分析1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.主要考查與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假判斷和求解異面直線所成的角，題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的空間想象能力和邏輯推理能力.1四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2

2、直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：.3直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況4平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況5等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)知識(shí)拓展1唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直2異

3、面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)如果兩個(gè)不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.()(2)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說，相交于過A點(diǎn)的任意一條直線()(3)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.()(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面()(5)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線()(6)若a，b是兩條直線，是兩個(gè)平面，且a，b，則a，b是異面直線()題組二教材改編2P52B組T1(2)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直

4、線B1C與EF所成角的大小為() A30 B45C60 D90答案C解析連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C即為所求的角又B1D1B1CD1C，B1D1C為等邊三角形，D1B1C60.3P45例2如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件_時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件_時(shí)，四邊形EFGH為正方形答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四邊形EFGH為菱形，EFEH，故ACBD.(2)四邊形EFGH為正方形，EFEH且EFEH，EF綊AC，EH綊BD，ACBD且ACBD.題組三易錯(cuò)自

5、糾4(2017湖南省湘中名校聯(lián)考)已知l，m，n為不同的直線，為不同的平面，則下列判斷正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若l，m，m，則mlD若m，n，lm，ln，則l答案C解析A中，m，n可能的位置關(guān)系為平行、相交、異面，故A錯(cuò)誤；B中，m與n也有可能平行，B錯(cuò)誤；C中，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知C正確；D中，若mn，根據(jù)線面垂直的判定可知D錯(cuò)誤，故選C.5(2017湖北七市聯(lián)考)設(shè)直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B過直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直C與直線m垂直的直線不可能與平面平行D與直線m平行的平面不可能與平面垂直答案

6、B解析對(duì)于A，在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直，過交點(diǎn)與直線m垂直的直線只有一條，在平面內(nèi)與此直線平行的直線都與m垂直，不正確；對(duì)于B，過直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直，在直線m上取一點(diǎn)作平面的垂線，兩條直線確定一個(gè)平面與平面垂直，正確；對(duì)于C，與直線m垂直的直線不可能與平面平行，不正確；對(duì)于D，與直線m平行的平面不可能與平面垂直，不正確6.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為_答案3解析平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與

7、EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行故互為異面的直線有且只有3對(duì)題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用典例 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，如圖所示則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點(diǎn)思

8、維升華 共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法：首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合(2)證明點(diǎn)共線問題的兩種方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 (2018沈陽質(zhì)檢)如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交

9、于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線證明(1)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三點(diǎn)共線題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系典例 (1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交答案D解析方法一由于l與直線l1，l2分別共面，故

10、直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交若ll1，ll2，則l1l2，這與l1，l2是異面直線矛盾故l至少與l1，l2中的一條相交方法二如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確(2)(2017唐山一中月考)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào))答案解析在圖中，直線GHMN；在圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，NGH，因此直線GH與MN異面；在圖中，連接GM，GMHN，因此GH與MN共面

11、；在圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH與MN異面所以在圖中GH與MN異面思維升華 空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決跟蹤訓(xùn)練(1)(2016山東)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析若直線a和直線b相交，則平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直線a和

12、直線b可能平行或異面或相交，故選A.(2)已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論：若ab，ac，則bc；若ab，ac，則bc；若ab，bc，則ac.其中正確的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案B解析在空間中，若ab，ac，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以錯(cuò)，顯然成立題型三求異面直線所成的角典例 (2018南寧模擬)如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案D解析連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角連接A1C1，由AB1

13、，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.引申探究將上例條件“AA12AB2”改為“AB1，若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為”，試求的值解設(shè)t，則AA1tAB.AB1，AA1t.A1C1，A1BBC1，cosA1BC1.t3，即3.思維升華 用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角跟蹤訓(xùn)練 (2017佛山模擬)如圖所示，

14、在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1AB1，則異面直線AB1與BD所成的角為_答案60解析取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E為異面直線AB1與BD所成的角設(shè)AB1，則A1A，AB1，B1E，故AB1E60.構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系典例 已知m，n是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有正確的命題是_(填序號(hào))思想方法指導(dǎo) 本題可通過構(gòu)造模型法完成，構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后利用模型直觀地對(duì)問題作出判斷，這樣減少了抽象

15、性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤對(duì)于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體化抽象為直觀去判斷解析借助于長(zhǎng)方體模型來解決本題，對(duì)于，可以得到平面，互相垂直，如圖(1)所示，故正確；對(duì)于，平面，可能垂直，如圖(2)所示，故不正確；對(duì)于，平面，可能垂直，如圖(3)所示，故不正確；對(duì)于，由m，可得m，因?yàn)閚，所以過n作平面，且g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙g，所以mn，故正確答案1在下列命題中，不是公理的是()A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D如

16、果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線答案A解析選項(xiàng)A是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的2(2018佛山模擬)在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與直線A1B1，EF，BC都相交的直線()A不存在 B有且只有兩條C有且只有三條 D有無數(shù)條答案D解析在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1B1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與BC有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M的位置不同時(shí)確定不同的平面，從而與BC有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與A1B1，EF，BC分別有交點(diǎn)P，M，N，如圖，故有無數(shù)條直線與直線A1B1，EF，BC都相交3(2017濟(jì)南模擬)a，

17、b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是()A若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C若ab，則a，b與c所成的角相等D若ab，bc，則ac答案C解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若ab，bc，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確故選C.4(2017福州質(zhì)檢)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90答案C解析如圖，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使得ADAC，連接D

18、A1，BD，則四邊形ADA1C1為平行四邊形，所以DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角又A1DA1BDB，所以A1DB為等邊三角形，所以DA1B60.故選C.5下列命題中，正確的是()A若a，b是兩條直線，是兩個(gè)平面，且a，b，則a，b是異面直線B若a，b是兩條直線，且ab，則直線a平行于經(jīng)過直線b的所有平面C若直線a與平面不平行，則此直線與平面內(nèi)的所有直線都不平行D若直線a平面，點(diǎn)P，則平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)P且與直線a平行的直線有且只有一條答案D解析對(duì)于A，當(dāng)，a，b分別為第三個(gè)平面與，的交線時(shí)，由面面平行的性質(zhì)可知ab，故A錯(cuò)誤對(duì)于B，設(shè)a，b確定的平面為，顯然a，故B錯(cuò)誤對(duì)于C，當(dāng)a時(shí)，直

19、線a與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，故C錯(cuò)誤易知D正確故選D.6以下四個(gè)命題中，不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析顯然是正確的；中若A，B，C三點(diǎn)共線，則A，B，C，D，E五點(diǎn)不一定共面；中構(gòu)造長(zhǎng)方體(或正方體)，如圖所示，顯然b，c異面，故不正確；中空間四邊形中四條線段不共面，故只有正確7給出下列命題，其中正確的命題為_(填序號(hào))如果線段AB在平面內(nèi)，那么直線AB在平面內(nèi)；兩個(gè)不同的平面可以

20、相交于不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C；若三條直線a，b，c互相平行且分別交直線l于A，B，C三點(diǎn)，則這四條直線共面；若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面；兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形答案8(2018廣州質(zhì)檢)如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中：GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_答案解析把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60角，DEMN.9如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平

21、面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_答案4解析EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行，所以與EF相交的平面有4個(gè)10.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_答案解析取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以ADBC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D圓柱下底面，所以C1DAD.因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直線A

22、C1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.11.(2018石家莊調(diào)研)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)求證：D1，H，O三點(diǎn)共線證明如圖，連接BD，B1D1，則BDACO，BB1綊DD1，四邊形BB1D1D為平行四邊形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，則H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.即D1，H，O三點(diǎn)共線12.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值解如圖所示，取AC的

23、中點(diǎn)F，連接EF，BF，在ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，EFCD.BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角在RtEAB中，ABAC1，AEAD，BE.在RtEAF中，AFAC，AE，EF.在RtBAF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB.異面直線BE與CD所成角的余弦值為.13(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，記l1DD1，l2DC，l3DA.若l4AA1，滿足l1l2，l2l3，l3l4，此時(shí)l1l4，可以排除選項(xiàng)A和C.若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；若取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定14.(2017鄭州質(zhì)檢)如圖，在矩形ABCD中，AB2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在ADE翻折過程中，下列四個(gè)命